「高中数学教学论文高一数学知识要点与公式总结」46388.pdf

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1、高一数学知识要点与公式总结 一、集合与简易逻辑:1)、理解集合中的有关概念（)集合中元素的特征：确定性,互异性,无序性。）2(集合与元素的关系用符号 ,表示。)(常用数集的符号表示：自然数集；正整数集、;整数集；有理数集、实数集。(4)集合的表示法:列举法，描述法，韦恩图。（）空集是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。2）、集合中元素的个数的计算：()若集合 中有 n 个元素，则集合 的所有不同的子集个数为_,所有真子集的个数是_，所有非空真子集的个数是 。3)、若 ;则 是 的充分非必要条件；若 ；则 是 的必要非充分条件；若 ；则 是 的充要条件;若 ；则

2、是 的既非充分又非必要条件;、）4原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的；)、反证法:当证明“若，则”感到困难时，改证它的等价命题“若 则”成立，步骤：、假设结论反面成立；2、从这个假设出发,推理论证,得出矛盾;3、由矛盾判断假设不成立,从而肯定结论正确。矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；、导出与假设相矛盾的命题;3、导出一个恒假命题。适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个 否定 正面词语 至少有一个 任意的 所有的 至多有 n 个 任意两个 否定 二、函数 1)、映射与函数:)(映射的概念：）

3、2（一一映射：(3）函数的概念：2)、函数的三要素:,。)(函数解析式的求法:定义法(拼凑）：换元法:待定系数法:赋值法：(2)函数定义域的求法：含参问题的定义域要分类讨论;对于实际问题,在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。（3）函数值域的求法:配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值；逆求法(反求法):通过反解,用 y 来表示 x，再由的取值范围，通过解不等式,得出的取值范围；换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想;三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；基本不等式法:利用平均值不等式公式来求值域；单调性法：

4、函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。数形结合:根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。、)函数的性质:函数的单调性、奇偶性、周期性 单调性:定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。判定方法有:定义法(作差比较和作商比较）导数法（适用于多项式函数）复合函数法和图像法。应用：比较大小，证明不等式，解不等式。奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称,比较 f(x)与f(-)的关系。f(x)f（x）=0 f(x)=f(x)f()为偶函数;f(x)+（-x)=0 f（x）=(-)f()为奇函数。判别方法:定义法，图像法,复合函数法 应用：把函数值进行转化求解。周期性:定义:若函数 f(x)

5、对定义域内的任意 x 满足：f(+T)=（x),则 T 为函数 f(x)的周期。其他：若函数 f()对定义域内的任意满足:f(x）f(x-a),则 2为函数 f（x）的周期 应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。、)图形变换：函数图像变换：（重点)要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。常见图像变化规律:(注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考）平移变换 y=f（x)f(x+a)，y=f()+b 注意:（)有系数,要先提取系数。如：把函数 y=f(x）经过 平移得到函数 yf(2+4)的图象。()会结合向量的平移,理解按照向量(m，)平移的意义。对称变换=

6、f（x)y=f（-x),关于 y 轴对称 y=f(x)y=-f(x）,关于轴对称 y=f()yf|,把轴上方的图象保留,x 轴下方的图象关于轴对称 y=()y|f（）把 y 轴右边的图象保留,然后将轴右边部分关于 y 轴对称。（注意:它是一个偶函数）伸缩变换:f(x)=f（x）,y=f（x)=A(+)具体参照三角函数的图象变换。5)、反函数：）1（定义：()函数存在反函数的条件：;）3（互为反函数的定义域与值域的关系:；）4（求反函数的步骤：将 看成关于 的方程，解出 ，若有两解，要注意解的选择;将 互换，得 ；写出反函数的定义域(即 的值域)。(5)互为反函数的图象间的关系：(6）原函数与反

7、函数具有相同的单调性；（)原函数为奇函数,则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。三、数列 本章是高考命题的主体内容之一，应切实进行全面、深入地复习,并在此基础上,突出解决下述几个问题：（1)等差、等比数列的证明须用定义证明,值得注意的是，若给出一个数列的前 项和，则其通项为 若 满足 则通项公式可写成.(2）数列计算是本章的中心内容,利用等差数列和等比数列的通项公式、前 项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.(3）解答有关数列问题时,经常要运用各种数学思想 善于使用各种数学思想解答数列题,是我们复习应达到的目标.函数思想:等差等比数列的通项公式求和公式都

8、可以看作是 的函数,所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为 及；已知 求 时，也要进行分类;整体思想：在解数列问题时,应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势,运用整 体思想求解）4（在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析,将实际问题抽象化,转化为数学问题,再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用,决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错.)、基本概念:1、数列的定义及表示方法:2、数列的项与项数:3、有穷数列与无穷数列：、递增(减)、摆动、循环数列:5、数列an的通项公式 an：6

9、、数列的前 n 项和公式 Sn:7、等差数列、公差 d、等差数列的结构:8、等比数列、公比 q、等比数列的结构：2)、基本公式:9、一般数列的通项 a与前项和n 的关系：an=10、等差数列的通项公式：n=1+(-)d n=ak+(n-k）(其中 a1 为首项、a为已知的第 k 项)当 d时，n 是关于的一次式；当=时，n 是一个常数。11、等差数列的前 n 项和公式：Sn Sn n=当 d0 时,Sn 是关于的二次式且常数项为 0；当 d=0 时(a10），Sn=n1 是关于 n 的正比例式。2、等比数列的通项公式：a=a1 n1 an=ak qn-(其中 a1 为首项、ak 为已知的第 k

10、 项,an0)、3等比数列的前 n 项和公式:当 q=1 时,n=n a1（是关于 n 的正比例式);当 q1 时，Sn n=3)、有关等差、等比数列的结论 14、等差数列an的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、S2m-S、S32m、S4m-3、仍为等差数列。15、等差数列n中,若n=+q，则 、等比数列n中，若n=pq,则 17、等比数列n的任意连续 m 项的和构成的数列m、2mS、-Sm、S4m-m、仍为等比数列。、两个等差数列a与bn的和差的数列an+bn、a-n仍为等差数列。19、两个等比数列an与b的积、商、倒数组成的数列 an bn、仍为等比数列。、0等差数列an的任意等距离的

11、项构成的数列仍为等差数列。、1等比数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。22、三个数成等差的设法:a-d,a,+d;四个数成等差的设法:ad,-d,a+,a+3d 、三个数成等比的设法：q,aq;四个数成等比的错误设法:a/3,aq,a,aq324、an为等差数列，则()是等比数列。25、n(bn0）是等比数列，则ogbn(c0 且 c 1)是等差数列。4)、数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。28、分组法求数列的和：如 a=2+3n 2、错位相减法求和:如 an=（-1)n 0、裂项法求和:如 an=1/n(+)3、倒序相加法求

12、和:如 an 32、在等差数列 中,有关 Sn 的最值问题常用邻项变号法求解：在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。四、常用的初等函数：)1(一元二次函数：一般式：;对称轴方程是 ；顶点为 ；两点式：；对称轴方程是 ;与 轴的交点为 ；顶点式：;对称轴方程是 ；顶点为 ;一元二次函数的单调性:二次函数求最值问题：首先要采用配方法，、若顶点的横坐标在给定的区间上，则 时：在顶点处取得最小值,最大值在距离对称轴较远的端点处取得;时:在顶点处取得最大值,最小值在距离对称轴较远的端点处取得;、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则 时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远

13、的端点处取得；时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得,最小值在距离对称轴较远的端点处取得;有三个类型题型：(1)顶点固定,区间也固定。(2)顶点含参数(即顶点变动),区间固定,这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。(3）顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数 指数运算法则:指数函数:y（a,a1),图象恒过点（0,1）,单调性与 a 的值有关，在解题中，往往要对 a 分 a1 和a，a1)图象恒过点（1,0）,单调性与 a 的值有关，在解题中,往往要对分 a1 和0,则。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负

14、号,如果正负号未定，要注意分类讨论。图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象)，直接比较大小。中介值法:先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比,然后再比较它们的大小 2)、均值不等式:两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。基本应用：放缩，变形;求函数最值:注意:一正二定三取等;积定和小，和定积大。常用的方法为：拆、凑、平方；)、绝对值不等式:注意:上述等号“=”成立的条件;）、常用的基本不等式：5）、证明不等式常用方法:（）比较法：作差比较:作差比较的步骤:作差:对要比较大小的两个数(或式）作差。变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。判

15、断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号。注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。(2)综合法：由因导果。（）分析法:执果索因。基本步骤:要证只需证,只需证（4)反证法:正难则反。（)放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有:添加或舍去一些项，将分子或分母放大(或缩小）利用基本不等式,利用常用结论：（6)换元法：换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元。（7）构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式;）、不等式的解法：）(一元一次不等式：、:若 ,则 ;若 ，则 ；、:若

16、 ,则 ;若 ，则 ；)2（一元二次不等式：一元二次不等式二次项系数小于零的,同解变形为二次项系数大于零;注:要对 进行讨论：（)绝对值不等式:若 ,则 ；;注意：（）.几何意义：）2（解有关绝对值的问题,考虑去绝对值,去绝对值的方法有：对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值;.)3(通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。.)4(含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。）（分式不等式的解法：通解变形为整式不等式;）7（不等式组的解法:分别求出不等式组中，每个不等式的解集,然后求其交集，即是这个不等式组的解集,在求交集中,通常把每个不等式的解集

17、画在同一条数轴上,取它们的公共部分。）（解含有参数的不等式:解含参数的不等式时,首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论:不等式两端乘除一个含参数的式子时,则需讨论这个式子的正、负、零性.在求解过程中,需要使用指数函数、对数函数的单调性时,则需对它们的底数进行讨论.在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向,对应的一元二次方程根的状况（有时要分析),比较两个根的大小,设根为（或更多分 、讨论。六,三角公式汇总 1)、任意角的三角函数 在角 的终边上任取一点,记：,正弦:余弦：正切：余切：正割：余割:注:我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图,与单位圆有关的有向线段、分别叫做角 的正弦线、余弦线、正切线。2）、同角三角函数的基本关系式倒数关系：，。商数关系：,。平方关系：，,。3)、诱导公式、的三角函数值，等于 的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限）、的三角函数值,等于 的异名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号。（口诀:函数名改变,符号看象限)4)、和角公式和差角公式