专题3.1导数的概念及其运算(讲)(解析版)43174.pdf

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1、 专题 3.1 导数的概念及其运算 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数 yc(c 为常数)，yx，y1x，yx2，yx3，y x的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如 yf(axb)的复合函数)的导数；5.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；6.了解微积分基本定理的含义。知识点 1导数的概念(1)函数 yf(x)在 xx0处的导数：函数 yf(x)在 xx0处的瞬时变化率 limx0 yxlimx0 fx0 xfx0 x为函数 yf

2、(x)在 xx0处的导数，记作 f(x0)或 yxx0，即 f(x0)limx0 yxlimx0 fx0 xfx0 x。【特别提醒】函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”。(2)导数的几何意义：函数f(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)。【特别提醒】曲线 yfx在点Px0，y0处的切线是指P为切点，斜率为 kfx0的切线

3、，是唯一的一条切线。(3)函数f(x)的导函数：称函数 f(x)limx0 fxxfxx为f(x)的导函数。(4)f(x)是一个函数，f(x0)是函数f(x)在x0处的函数值(常数)，f(x0)0。知识点 2基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1 f(x)sin x f(x)cos x f(x)cos x f(x)sin x f(x)ax(a0，且 a1)f(x)axln a f(x)ex f(x)ex f(x)logax(a0，且 a1)f(x)1xln a f(x)ln x f(x)1x 知识点 3.导数的运算法则 若 f(x)，g(x)存在，则有：

4、(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)f（x）g（x）f（x）g（x）f（x）g（x）g（x）2(g(x)0).知识点 4复合函数的导数 复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u)，ug(x)的导数间的关系为 yxyuux，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积。知识点 5.定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义 如果函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点将区间a，b等分成 n 个小区间，在每个小区间上任取一点 i(i1，2，n)，作和式 ni1f(i)x ni1 banf(i)，当

5、n时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间a，b上的定积分，记作abf(x)dx，即abf(x)dx 在abf(x)dx 中，a，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式.(2)定积分的几何意义 f(x)abf(x)dx 的几何意义 f(x)0 表示由直线 xa，xb，y0 及曲线 yf(x)所围成的曲边梯形的面积 f(x)0 表示由直线 xa，xb，y0 及曲线 yf(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数 f(x)在a，b上有正有负 表示位于 x 轴上方的曲边梯形的面积减去位于 x 轴

6、下方的曲边梯形的面积 知识点 6.定积分的性质 (1)abkf(x)dxkabf(x)dx(k 为常数).(2)abf1(x)f2(x)dxabf1(x)dxabf2(x)dx.(3)abf(x)dxacf(x)dxcbf(x)dx(其中 acb).知识点 7.微积分基本定理 一般地，如果 f(x)是在区间a，b上的连续函数，且 F(x)f(x)，那么abf(x)dxF(b)F(a).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式.可以把 F(b)F(a)记为 F(x)ba，即abf(x)dxF(x)ba)F(b)F(a).【特别提醒】函数 f(x)在闭区间a，a上连续，则有(1)若 f(

7、x)为偶函数，则aaf(x)dx20af(x)dx.(2)若 f(x)为奇函数，则aaf(x)dx0.考点一 导数的运算【典例 1】(2018天津卷)已知函数 f(x)exln x，f(x)为 f(x)的导函数，则 f(1)的值为_.【解析】由题意得 f(x)exln xex1x，则 f(1)e.【答案】e【方法技巧】1求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导 2常见形式及具体求导 6 种方法 连乘形式 先展开化为多项式形式，再求导 三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导 分式形式 先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导 对数形式

8、先化为和、差形式，再求导 复合函数 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元【变式1】（湖北省华中师范大学第一附属中学2018-2019学年期中）设0()sinfxx，10()()f xfx，21()()fxf x，1()()nnfxfx，nN，则2019()fx()Asin x Bsin x Ccosx D1coscos4BC【答案】C【解析】1cosfxx，2sinfxx，3cosfxx，4sinfxx，因此 433costfxfxx，故 20194 504 33cosfxfxfxx，故 C。考点二 导数的几何意义及其应用【典例 2】【2019 年高考全国卷】已知曲线elnxyaxx

9、在点（1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，则（）Ae1ab，Ba=e，b=1 C1e1ab，D1ea，1b 【答案】D【解析】eln1,xyax 切线的斜率1|e12xkya，1ea，将(1,1)代入2yxb，得21,1bb.故选 D。【举一反三】【2019 年高考全国卷】曲线23()exyxx在点(0)0，处的切线方程为_ 【解析】223(21)e3()e3(31)e,xxxyxxxxx 所以切线的斜率0|3xky，则曲线23()exyxx在点(0,0)处的切线方程为3yx，即30 xy【答案】30 xy【方法技巧】1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线 y

10、f(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线方程是 yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上。【变式 2】(2018全国卷)设函数 f(x)x3(a1)x2ax，若 f(x)为奇函数，则曲线 yf(x)在点(0,0)处的切线方程为 ()Ay2x Byx Cy2x Dyx【答案】D【解析】法一：f(x)x3(a1)x2ax，f(x)3x22(a1)xa.又 f(x)为奇函数，f(x)f(x)恒成立，即

11、x3(a1)x2axx3(a1)x2ax 恒成立，a1，f(x)3x21，f(0)1，曲线 yf(x)在点(0,0)处的切线方程为 yx.法二：f(x)x3(a1)x2ax 为奇函数，f(x)3x22(a1)xa 为偶函数，a1，即 f(x)3x21，f(0)1，曲线 yf(x)在点(0,0)处的切线方程为 yx.【举一反三】(2018全国卷)曲线 y2ln(x1)在点(0，0)处的切线方程为_.【解析】由题意得 y2x1.在点(0，0)处切线斜率 ky|x02.曲线 y2ln(x1)在点(0，0)处的切线方程为 y02(x0)，即 y2x.【答案】y2x 考点三 定积分的计算【典例 3】（福

12、建省上杭第一中学 2018-2019 学年期中）计算20(cos)xxe dx为()A2e B22e C21e D21e【答案】A【解析】222200(cos)(sin)|sin12xxxedxxeee，故选 A。【方法技巧】运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分.【变式 3】（福建省宁德市高中同心顺联盟校 2018-2019 学年期中）已知函数20()cos0 xf xx x,则12()f x dx的值等于

13、（）A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】由题意，函数20()cos0 xf xx x，根据定积分的运算性质，可得1010100222()cos2sin|2|123f x dxxdxdxxx，故选 C。考点四 定积分的几何意义【典例 4】（甘肃兰州一中 2018-2019 学年期中）由抛物线 y22x 与直线 yx4 围成的平面图形的面积为_.【解析】如图所示，解方程组y22x，yx4，得两交点为(2，2)，(8，4).法一：选取横坐标 x 为积分变量，则图中阴影部分的面积 S 可看作两部分面积之和，即 S2022xdx28(2xx4)dx18.法二：选取纵坐标 y 为积分变量，则图中阴影部

14、分的面积 S24y412y2dy18.【答案】18 【方法技巧】1.运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常用此方法求定积分.2.利用定积分求曲边梯形面积的基本步骤：画草图、解方程得积分上、下限，把面积表示为已知函数的定积分(注意：两曲线的上、下位置关系，分段表示的面积之间的关系).【变式 4】（安徽省马鞍山二中 2018-2019 学年期中）（）A B C D【答案】A【解析】令，画出图像，由定积分的几何意义可得：所求即为右上圆的面积，故所求定积分的值为。考点五 定积分在物理中的应用【典例 5】（河北省衡水第一中学 2018-2019 学年调研）物体 A 以 v3t21(

15、m/s)的速度在一直线 l上运动，物体 B 在直线 l 上，且在物体 A 的正前方 5 m 处，同时以 v10t(m/s)的速度与 A 同向运动，出发后，物体 A 追上物体 B 所用的时间 t(s)为()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】(1)因为物体 A 在 t 秒内行驶的路程为0t(3t21)dt，物体 B 在 t 秒内行驶的路程为0t10tdt.所以0t(3t2110t)dt(t3t5t2)t0t3t5t25.整理得(t5)(t21)0，解得 t5.【方法技巧】(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为 vv(t)，那么从时刻 ta 到 tb 所经过的位移 sa

16、bv(t)dt.(2)变力做功：一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同方向从 xa 移动到 xb 时，力 F(x)所做的功是 WabF(x)dx.【变式 5】（福建武平第一中学 2018-2019 学年期中）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t)73t251t(t 的单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A.125ln 5 B.825ln 113 C.425ln 5 D.450ln 2【答案】C【解析】令 v(t)0，得 t4 或 t83(舍去)，汽车行驶距离 s0473t251tdt 7t32t225ln（1t）40 282425ln 5425ln 5(m).