2023年新高考数学大一轮复习专题28空间几何体的结构特征、表面积与体积(原卷版)43484.pdf

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1、 专题 28 空间几何体的结构特征、表面积与体积 【考点预测】知识点一：构成空间几何体的基本元素点、线、面（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体（2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）知识点二：简单凸多面体棱柱、棱锥、棱台 1棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；（5）直平行

2、六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；（7）正方体：棱长都相等的长方体 2棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥 3棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台 简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示 知识点三：简单旋转体圆柱、圆锥、圆台、球 1圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱 2圆柱：以直角三角形的一条

3、直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥 3圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台 4球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）知识点四：组合体 由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体 知识点五：表面积与体积计算公式 表面积公式 表面积 柱体 2直棱柱底SchS 2(斜棱柱底Sc lSc为直截面周长)2222()圆锥Srrlr rl 锥体 12正棱锥底SnahS 2()圆锥Srrlr rl 台体 1()2正棱台上下Sn aa hSS

4、22)圆台（Srrr lrl 球 24SR 体积公式 体积 柱体 柱VSh 锥体 13锥VSh 台体 1()3台VSSSS h 球 343VR 知识点六：空间几何体的直观图 1斜二测画法 斜二测画法的主要步骤如下：（1）建立直角坐标系在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直角坐标系（2）画出斜坐标系在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于 O x，O y，使45 x O y（或135），它们确定的平面表示水平平面（3）画出对应图形在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于 x轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于y轴的线段

5、，在直观图中画成平行于 y轴，且长度变为原来的一般可简化为“横不变，纵减半”（4）擦去辅助线图画好后，要擦去 x轴、y轴及为画图添加的辅助线（虚线）被挡住的棱画虚线 注：直观图和平面图形的面积比为2:4 2平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点 【题型归纳目录】题型一：空间几何体的结构特征 题型二：空间几何体的表面积与体积 题型三：直观图 题型四：最短路径问题【典例例题】Sh 题型一：空间几何体的结构特征 例 1（2022全国模拟预测）以下结论中错误的是（）A经过不共面的四点的球有且仅有一个 B平行六面体的每个面都是平行四边形 C正棱柱的每条侧棱均与上下底

6、面垂直 D棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直 例 2（2022全国高三专题练习（文）下列说法正确的是（）A经过三点确定一个平面 B各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥 C各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱 D一个三棱锥的四个面可以都为直角三角形 例 3（2022海南模拟预测）“三棱锥PABC是正三棱锥”的一个必要不充分条件是（）A三棱锥PABC是正四面体 B三棱锥PABC不是正四面体 C有一个面是正三角形 DABC是正三角形且PAPBPC 例 4（2022全国高三专题练习）给出下列命题:在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是

7、棱锥;直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是（）A0 B1 C2 D3 例 5（2022山东省东明县第一中学高三阶段练习）下列说法正确的是（）A有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B过空间内不同的三点，有且只有一个平面 C棱锥的所有侧面都是三角形 D用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 例 6（2022全国高三专题练习）给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、下底

8、面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是（）A0 B1 C2 D3 例 7（2022全国高三专题练习）莱昂哈德欧拉，瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他的研究 论著几乎涉及到所有数学分支，有许多公式定理解法函数方程常数等是以欧拉名字命名的.欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数 V棱数 E面数 F 之间总满足数量关系2,VFE，此式称为欧拉公式，已知某凸 32 面体，12 个面是五边形，20 个面是六边形，则该 32 面体的棱数为_；顶点的个数为_.例 8（2022安徽合肥一六八中学模拟预测（理）如图，正方体1AC上、下底面中心分别为1O，2O，将正方体绕直线12OO旋转

9、360，下列四个选项中为线段1AB旋转所得图形是（）A B C D 例 9（多选题）（2022全国高三专题练习）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）（多选）A是棱台 B是圆台 C是棱锥 D是棱柱 例 10（2022陕西西北工业大学附属中学高三阶段练习（理）碳 60（60C）是一种非金属单质，它是由60 个碳原子构成的分子，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共 32 个面，且满足：顶点数棱数面数2则其六元环的个数为_.【方法技巧与总结】熟悉几何体的基本概念.题型二：空间几何体的表面积与体积 例 11（多选题）（2022湖北

10、高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄决胜千里大智大勇的象征（如图 1）图 2 是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC所在圆的半径分别是 3 和 9，且120ABC，则该圆台的（）A高为4 2 B体积为50 23 C表面积为34 D上底面积下底面积和侧面积之比为1:9:22 例 12（2022青海海东市第一中学模拟预测（理）设一圆锥的侧面积是其底面积的 3 倍，则该圆锥的高与母线长的比值为（）A89 B2 23 C63 D23 例 13（2022云

11、南二模（文）已知长方体1111ABCDA BC D的表面积为 62，所有棱长之和为 40，则线段1AC的长为（）A38 B372 C393 D29 例 14（2022福建省福州第一中学三模）已知AB，CD分别是圆柱上下底面圆的直径，且ABCD，.1O，O 分别为上下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥ABCD的体积为 18，则该圆柱的侧面积为（）A9 B12 C16 D18 例 15（2022河南模拟预测（文）在正四棱锥PABCD中，2 2AB，若正四棱锥PABCD的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（）A22 B2 22 C422 D8 22 例 16（2022全国高三专题练习）

12、九章算术中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭ABCDEFHG，其中上底面与下底面的面积之比为1:4，方亭的高hEF，62BFEF，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和12 5，则方亭的体积为（）A24 B643 C563 D16 例 17（2022湖南高三阶段练习）如图，一种棱台形状的无盖容器（无上底面1111DCBA）模型其上、下底面均为正方形，面积分别为24cm，29cm，且1111A AB BCCD D，若该容器模型的体积为319cm3，则该容器模型的表面积为（）A25 39 cm B219cm C25 59 cm D25 379

13、cm 例 18（2022海南海口二模）如图是一个圆台的侧面展开图，其面积为3，两个圆弧所在的圆半径分别为2 和 4，则该圆台的体积为（）A7 33 B7 36 C7 1512 D7 1524 例 19（2022全国高三专题练习）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为 10 的球面上，其上、下底面的半径分别为 4 和 5，则该圆台的侧面积为（）A8 10 B8 11 C9 10 D9 11 例 20（2022河南安阳模拟预测（文）已知圆柱12OO的底面半径为 1，高为 2，AB，CD 分别为上、下底面圆的直径，ABCD，则四面体 ABCD 的体积为（）A13 B23 C1 D43 例 21（2022

14、山东烟台市教育科学研究院二模）鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，其内部的凹凸部分啮合十分精巧图 1 是一种鲁班锁玩具，图 2 是其直观图它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为2 若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为_ 例 22（2022湖北省天门中学模拟预测）已知一个圆柱的体积为2，底面直径与母线长相等，圆柱内有一个三棱柱，与圆柱等高，底面是顶点在圆周上的正三角形，则三棱柱的侧面积为_.例 23（2022上海闵行二模）已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的 4 倍，则它的侧面积扩大为原来的_倍.例 24（2

15、022浙江绍兴模拟预测）有书记载等角半正多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图，将正四面体沿相交于同一个顶点的三条梭上的3个点截去一个正三棱锥，如此共截去4个正三棱锥，若得到的几何体是一个由正三角形与正六边形围成的等角半正多面体，且正六边形的面积为2，则原正四面体的表面积为_ 例 25（2022上海徐汇三模）设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥顶点到直线AB的距离为3，AB和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的侧面积为_.例 26（2022全国高三专题练习）中国古代的“牟合方盖”可以看作是两个圆柱垂直相交的公共部分，计算其体积所用的“幂势即同，则积不容异”是中国古代数学的研究成果

16、，根据此原理，取牟合方盖的一半，其体积等于与其同底等高的正四棱柱中，去掉一个同底等高的正四棱锥之后剩余部分的体积（如图 1 所示）现将三个直径为 4 的圆柱放于同一水平面上，三个圆柱的轴所在的直线两两成角都相等，三个圆柱的公共部分为如图 2 所示的几何体，该几何体中间截面三角形边长为8 33，则该几何体的体积为_ 【方法技巧与总结】熟悉几何体的表面积、体积的基本公式，注意直角等特殊角.题型三：直观图 例 27（2022全国高三专题练习）如图，已知用斜二测画法画出的ABC的直观图是边长为a的正三角形，原ABC的面积为 _ 例 28（2022浙江镇海中学模拟预测）如图，梯形ABCD是水平放置的一个

17、平面图形的直观图，其中45ABC，1ABAD，DCBC，则原图形的面积为（）A212 B222 C22 D12 例 29（2022全国高三专题练习）如图，ABC 是水平放置的ABC 的斜二测直观图，其中2OCOAOB ，则以下说法正确的是（）AABC 是钝角三角形 BABC 是等边三角形 CABC 是等腰直角三角形 DABC 是等腰三角形，但不是直角三角形 例 30（2022全国高三专题练习）如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形ABCD ，已知2,2A OOBB C ，则四边形ABCD的周长为（）A20 B12 C84 3 D84 2 例 31（2022全国高三专题练习（文）如图

18、，已知等腰直角三角形O A B ，OAAB 是一个平面图形的直观图，斜边2OB，则这个平面图形的面积是（）A22 B1 C2 D2 2 例 32（2022全国高三专题练习）一个三角形的水平直观图在xO y 是等腰三角形，底角为30，腰长为 2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B到x轴距离是（）A1 B2 C2 D2 2 【方法技巧与总结】斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系：2S=4S直原 题型四：最短路径问题 例 33（多选题）（2022广东广州三模）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12OO，在轴截面ABCD中，2cmABADBC，且2CDAB，则（）A该圆

19、台的高为1cm B该圆台轴截面面积为23 3cm C该圆台的体积为37 3cm3 D一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5cm 例34（2022河南洛阳三模（理）在棱长为1的正方体1111ABCDA BC D中，点E为1CC上的动点，则1D EEB的最小值为_.例 35（2022黑龙江齐齐哈尔二模（文）如图，在直三棱柱111ABCA BC中，12,1,90AAABBCABC，点 E 是侧棱1BB上的一个动点，则下列判断正确的有_.（填序号）直三棱柱外接球的体积为6 存在点 E，使得1AEA为钝角 截面1AEC周长的最小值为2 26 例 36（2022河南二模（理）

20、在正方体1111ABCDA BC D中，2AB，P是线段1BC上的一动点，则1A PPC的最小值为_.例 37（2022陕西宝鸡二模（文）如图，在正三棱锥PABC中，30APBBPCCPA ，4PAPBPC，一只虫子从 A 点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到 A 点，则虫子爬行的最短距离是_.例 38（2022安徽宣城二模（理）已知正四面体 ABCD 的棱长为 2，P 为 AC 的中点，E 为 AB 中点，M是 DP 的动点，N 是平面 ECD 内的动点，则|AMMN的最小值是_.例 39（2022新疆阿勒泰三模（理）如图，圆柱的轴截面 ABCD 是一个边长为 4 的正方形.一只蚂蚁

21、从点A 出发绕圆柱表面爬到 BC 的中点 E，则蚂蚁爬行的最短距离为（）A22 41 B2 5 C22 1 D21 例 40（2022云南昆明一中高三阶段练习（文）一竖立在水平地面上的圆锥形物体，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，已知圆锥底面半径为 1，母线长为 3，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）A3 B3 3 C D2 【方法技巧与总结】此类最大路径问题：大胆展开，把问题变为平面两点间线段最短问题【过关测试】一、单选题 1（2022河北高三阶段练习）已知圆锥的高为 1，母线长为6，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为 （）A2 B52 C5 53 D3 2（202

22、2全国模拟预测（文）若过圆锥的轴SO的截面为边长为 4 的等边三角形，正方体1111ABCDA BC D的顶点A，B，C，D在圆锥底面上，1A，1B，1C，1D在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（）A2 2 B3 3 C2 3 22 3 D2 3 62 2 3（2022全国高三专题练习）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为 4，则圆锥的体积为（）A43 B43 C83 D83 4（2022广东深圳高三阶段练习）通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是 1cm 和 4cm）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（）A

23、32cm B1cm C3cm D3 32cm 5（2022全国高三专题练习）已知一个直三棱柱的高为 2，如图，其底面 ABC 水平放置的直观图（斜二测画法）为ABC ，其中1OAOBOC ，则此三棱柱的表面积为（）A44 2 B84 2 C84 5 D88 5 6（2022湖北天门市教育科学研究院模拟预测）已知某圆锥的侧面积为6 3，高为3，则该圆锥底面圆的半径为（）A2 B3 C4 D6 7（2022山西大同高三阶段练习）正四棱台的上下底面的边长分别为 24，侧棱长为 2，则其体积为（）A56 B28 23 C28 2 D563 8（2022江西九江三模（理）如图，一个四分之一球形状的玩具储

24、物盒，若放入一个玩具小球，合上盒 盖，可放小球的最大半径为r.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a，则ra（）A22 B34 C22 D3212 9（2022浙江湖州模拟预测）如图，已知四边形ABCD，BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形，ABD为等边三角形，2BD，将ABD沿对角线BD翻折到PBD在翻折的过程中，下列结论中不正确的是（）ABDPC BDP与BC可能垂直 C直线DP与平面BCD所成角的最大值是45 D四面体PBCD的体积的最大是33 10（2022全国高三专题练习）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148

25、 5m时，相应水面的面积为2140 0km；水位为海拔157 5m时，相应水面的面积为2180 0km，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148 5m上升到157 5m时，增加的水量约为（72.65）（）A931.0 10 m B931.2 10 m C931.4 10 m D931.6 10 m 二、多选题 11（2022 河北高三阶段练习）如图，正方体1111ABCDA BC D棱长为 1，P 是1A D上的一个动点，下列结论中正确的是（）ABP的最小值为32 BPAPC的最小值为22 C当 P 在直线1A D上运动时，三棱锥1BACP的体积不变 D以点 B 为球

26、心，22为半径的球面与面1AB C的交线长为63 12（2022全国高三专题练习）如图，四边形ABCD为正方形，ED 平面ABCD，,2FBED ABEDFB，记三棱锥EACD，FABC，FACE的体积分别为123,V V V，则（）A322VV B31VV C312VVV D3123VV 13（2022江苏常州高级中学模拟预测）棱长为 1 的正方体1111ABCDA BC D中，点 P 为线段1AC上的动点，点 M，N 分别为线段11AC，1CC的中点，则下列说法正确的是（）A11APAB B三棱锥1MB NP的体积为定值 C160,120APD D1APD P的最小值为23 14（2022

27、湖北高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄决胜千里大智大 勇的象征（如图 1）图 2 是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC所在圆的半径分别是 3 和 9，且120ABC，则该圆台的（）A高为4 2 B体积为50 23 C表面积为34 D上底面积下底面积和侧面积之比为1:9:22 三、填空题 15（2022全国高三专题练习）已知一三角形 ABC 用斜二测画法画出的直观图是面积为3的正三角形ABC (如图)，则三角形 ABC 中边长与正三角形ABC

28、的边长相等的边上的高为_ 16（2022上海模拟预测）已知圆柱的高为 4，底面积为9，则圆柱的侧面积为_；17（2022新疆三模（理）已知一个棱长为 a 的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为 1，母线长为 2，则 a 的最大值为_.18（2022吉林长春高三阶段练习（理）中国古代数学家刘徽在九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，如图（1）（2）.刘徽未能求得牟合方盖的体积，直言“欲陋形措意，惧失正理”，不得不说“敢不阙疑，以俟能言者”.约 200 年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立

29、体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等，如图（3）（4）.已知八分之一的正方体去掉八分之一的牟合方盖后的剩余几何体与长宽高皆为八分之一正方体棱长的倒四棱锥“等幂等积”，祖暅由此推算出牟合方盖的体积.据此可知，若正方体的棱长为 1，则其牟合方盖的体积为 _.四、解答题 19（2022吉林长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，已知四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，且1,4,5ABDCABDC PMPC.(1)求证：PA平面MDB；(2)当直线,PC PA与底面ABCD所成的角都为4，且4,DCDAAB时，求出多面体MPABD的体积.20（2022全国南宁二中高三期末（文）图 1

30、是由矩形ABGF，RtADE和菱形ABCD组成的一个平面图形，其中2AB，1AEAF，60BAD，将该图形沿 AB，AD 折起使得 AE 与 AF 重合，连接 CG，如图 2.(1)证明：图 2 中的 C，D，E，G 四点共面；(2)求图 2 中三棱锥CBDG的体积.21（2022全国高三专题练习）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 AB侧面 BB1C1C，ABBC1，BB12，BCC160 (1)求证：BC1平面 ABC；(2)E 是棱 CC1上的一点，若三棱锥 EABC 的体积为312，求线段 CE 的长 22（2022青海海东市第一中学模拟预测（文）如图，在三棱柱111ABCA BC中，112224ACAAABACBC，160BAA (1)证明：平面ABC 平面11AA B B(2)设 P 是棱1CC上一点，且12CPPC，求三棱锥111APB C体积