2020年高考数学一轮复习知识点总结：极限与导数45051.pdf

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1、12020 年高考数学一轮复习知识点总结：极限与导数极 限考试内容：教学归纳法数学归纳法应用数列的极限函数的极限根限的四则运算函数的连续性考试要求：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题（2）了解数列极限和函数极限的概念（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质13.极 限知识要点1.第一数学归纳法：证明当n取第一个0n时结论正确；假设当kn（0,nkNk）时，结论正确，证明当1 kn时，结论成立.第二数学归纳法：设)(nP是一个与正整数n有关的命题，如果当0nn（Nn0）时，)(nP成立

2、；假设当kn（0,nkNk）时，)(nP成立，推得1 kn时，)(nP也成立.那么，根据对一切自然数0nn 时，)(nP都成立.22.数列极限的表示方法：aannlim当n时，aan.几个常用极限：CCnlim（C为常数）),(01lim是常数kNknkn对于任意实常数，当1|a时，0limnna当1a时，若 a=1，则1limnna；若1a，则nnnna)1(limlim不存在当1a时，nnalim不存在数列极限的四则运算法则：如果bbaabnnnlim,lim，那么babannn)(limbabannn)(lim)0(limbbabannn特别地，如果C是常数，那么CaaCaCnnnnnl

3、imlim)(lim.数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当1q时，无穷等比数列的各项和为)1(11qqaS.（化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限.33.函数极限；当自变量x无限趋近于常数0 x（但不等于0 x）时，如果函数)(xf无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于0 x时，函数)(xf的极限为a.记作axfxx)(lim0或当0 xx 时，axf)(.注：当0 xx 时，)(xf是否存在极限与)(xf在0 x处是否定义无关，因为0 xx 并不要求0 xx.（当然，)(xf在0 x是否有定义也与)(xf在0 x处是否存在极限无关.函数)(xf在0 x有定义

4、是)(lim0 xfxx 存在的既不充分又不必要条件.）如1111)(xxxxxP在1x处无定义，但)(lim1xPx 存在，因为在1x处左右极限均等于零.函数极限的四则运算法则：如果bxgaxfxxxx)(lim,)(lim00，那么baxgxfxx)()(lim0baxgxfxx)()(lim0)0()()(lim0bbaxgxfxx特别地，如果C是常数，那么)(lim)(lim00 xfCxfCxxxx.nxxnxxxfxf)(lim)(lim00（Nn）注：各个函数的极限都应存在.四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.几个常用极限：401limxn0limx

5、xa（0a1）；0limxxa（a1）1sinlim0 xxx1sinlim0 xxxexxx)11(lim，exxx10)1(lim（71828183.2e）4.函数的连续性：如果函数f（x），g（x）在某一点0 xx 连续，那么函数)0)()()(),()(),()(xgxgxfxgxfxgxf在点0 xx 处都连续.函数f（x）在点0 xx 处连续必须满足三个条件：函数f（x）在点0 xx 处有定义；)(lim0 xfxx 存在；函数f（x）在点0 xx 处的极限值等于该点的函数值，即)()(lim00 xfxfxx.函数f（x）在点0 xx 处不连续（间断）的判定：如果函数f（x）在点

6、0 xx 处有下列三种情况之一时，则称0 x为函数f（x）的不连续点.f（x）在点0 xx 处没有定义，即)(0 xf不存在；)(lim0 xfxx 不存在；)(lim0 xfxx 存在，但)()(lim00 xfxfxx.5.零点定理，介值定理，夹逼定理：零点定理：设函数）（xf在闭区间,ba上连续，且0)()(bfaf.那么在开区间),(ba内至少有函数)(xf的一个零点，即至少有一点（ab）使0)(f.介值定理：设函数)(xf在闭区间,ba上连续，且在这区间的端点取不同函数值，BbfAaf)(,)(，那么对于BA,之间任意的一个数C，在开区间),(ba内至少有一点，使得Cf)(（ab）.

7、5 夹 逼 定 理：设 当|00 xx 时，有)(xg)(xf)(xh，且Axhxgxxxx)(lim)(lim00，则必有.)(lim0Axfxx注：|0 xx：表示以0 x为的极限，则|0 xx 就无限趋近于零.（为最小整数）6.几个常用极限：1,0limqqnn)0(0!limanannkaannkn,1(0lim为常数）0lnlimnnnknnkn,0(0)(lnlim为常数）6高中数学第十四章导数考试内容：导数的背影导数的概念多项式函数的导数利用导数研究函数的单调性和极值函数的最大值和最小值考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景（2）理解导数的几何意义（3）掌握函数，y=c(c为

8、常数)、y=xn(nN+)的导数公式，会求多项式函数的导数（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值14.导数知识要点导数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则71.导数（导函数的简称）的定义：设0 x是函数)(xfy 定义域的一点，如果自变量x在0 x处有增量x，则函数值y也引起相应的增量)()(00 xfxxfy；比值xxfxxfxy)()(00称为函数)(xfy 在点0 x到xx0之间

9、的平均变化率；如果极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000存在，则称函数)(xfy 在点0 x处可导，并把这个极限叫做)(xfy 在0 x处的导数，记作)(0 xf或0|xxy，即)(0 xf=xxfxxfxyxx)()(limlim0000.注：x是增量，我们也称为“改变量”，因为x可正，可负，但不为零.以知函数)(xfy 定义域为A，)(xfy 的定义域为B，则A与B关系为BA.2.函数)(xfy 在点0 x处连续与点0 x处可导的关系：函数)(xfy 在点0 x处连续是)(xfy 在点0 x处可导的必要不充分条件.可以证明，如果)(xfy 在点0 x处可导，那么)(xfy 点

10、0 x处连续.事实上，令xxx0，则0 xx 相当于0 x.于是)()()(lim)(lim)(lim0000000 xfxfxxfxxfxfxxxx).()(0)()(limlim)()(lim)()()(lim0000000000000 xfxfxfxfxxfxxfxfxxxfxxfxxxx如果)(xfy 点0 x处连续，那么)(xfy 在点0 x处可导，是不成立的.例：|)(xxf在点00 x处连续，但在点00 x处不可导，因为xxxy|，当x0 时，1xy；当x0 时，1xy，故xyx0lim不存在.8注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3.导数的几

11、何意义：函数)(xfy 在点0 x处的导数的几何意义就是曲线)(xfy 在点)(,(0 xfx处的切线的斜率，也就是说，曲线)(xfy 在点P)(,(0 xfx处的切线的斜率是)(0 xf，切线方程为).)(00 xxxfyy4.求导数的四则运算法则：)(vuvu)(.)()()(.)()(2121xfxfxfyxfxfxfynn)()(cvcvvccvuvvuuv（c为常数）)0(2vvuvvuvu注：vu,必须是可导函数.若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设xxxf2sin2)(，xxxg2cos)(，则)(),(xg

12、xf在0 x处均不可导，但它们和)()(xgxfxx cossin在0 x处均可导.5.复合函数的求导法则：)()()(xufxfx或xuxuyy复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6.函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数)(xfy 在某个区间内可导，如果)(xf0，则)(xfy 为增函数；如果)(xf0，则)(xfy 为减函数.常数的判定方法；9如果函数)(xfy 在区间I内恒有)(xf=0，则)(xfy 为常数.注：0)(xf是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如32xy 在),(上并不是都有0)(xf，有一个点例外即x=0 时f（x）=0，同样0)(xf是 f（x）递

13、减的充分非必要条件.一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7.极值的判别方法：（极值是在0 x附近所有的点，都有)(xf)(0 xf，则)(0 xf是函数)(xf的极大值，极小值同理）当函数)(xf在点0 x处连续时，如果在0 x附近的左侧)(xf0，右侧)(xf0，那么)(0 xf是极大值；如果在0 x附近的左侧)(xf0，右侧)(xf0，那么)(0 xf是极小值.也就是说0 x是极值点的充分条件是0 x点两侧导数异号，而不是)(xf=0.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点.当然，极值是一个局部概念

14、，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注：若点0 x是可导函数)(xf的极值点，则)(xf=0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点0 x是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数3)(xxfy，0 x使)(xf=0，但0 x不是极值点.例如：函数|)(xxfy，在点0 x处不可导，但点0 x是函数的极小值点.108.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.9.几种常见的函数导数：I.0C（C为 常 数）xxcos)(sin211)(arcsinxx1)

15、(nnnxx（Rn）xxsin)(cos211)(arccosxxII.xx1)(lnexxaalog1)(log11)(arctan2xxxxee)(aaaxxln)(11)cot(2xxarcIII.求导的常见方法：常用结论：xx1|)|(ln.形如).()(21naxaxaxy或).()().()(2121nnbxbxbxaxaxaxy两边同取自然对数，可转化求代数和形式.无理函数或形如xxy 这类函数，如xxy 取自然对数之后可变形为xxylnln，对两边求导可得xxxxxyyxyyxxxyylnln1ln.高中数学第十五章 复数11考试内容：复数的概念复数的加法和减法复数的乘法和除法数系的扩充考试要求：（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想