2020年中考数学高分攻略压轴专题：圆(全国版含解析)44875.pdf

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1、 1 2020 年中考数学压轴专题：圆 1如图 1，ABD内接于O，AD是直径，BAD的平分线交BD于H，交O于点C，连接DC并延长，交AB的延长线于点E，（1）求证：AEAD；（2）若，求的值；（3）如图 2，连接CB并延长，交DA的延长线于点F，若AHHC，AF6，求BEC的面积 解：（1）AD是直径，ACD90，即ACED，BD是BAD的平分线，故AEAD；（2），则设BE3a，AB2a，ADAE5a，O交BD于点G，2 BD是BAD的平分线，则，则OCBD，故OCAB，则OC是ADE的中位线，则OGABa，OCAD，则CGOCOG，CGAB，则；（3）设：OGm，则AB2m，当AHHC

2、时，由（2）知，AHBCHG（AAS），则ABCG2m，则OC3m，即圆的半径为 3m，ABCO，则，即，解得：m1，故AB2，AD6，BE4，则BD4，ECDC，则BEC的面积SEBDBEBD444 3 2如图，AB是O的直径，M是OA的中点，弦CDAB于点M，过点D作DECA交CA的延长线于点E（1）连接AD，求OAD；（2）点F在上，CDF45，DF交AB于点N若DE，求FN的长 解：（1）如图 1，连接OD，是的直径，于点 AB垂直平分CD，M是OA的中点，DOM60，AOOD，OAD是等边三角形，OAD60；（2）如图 2，连接CF，CN，4 OACD于点M，点M是CD的中点，AB垂

3、直平分CD，NCND，CDF45，NCDNDC45，CND90，CNF90，由（1）可知，AOD60，ACD30，又DECA交CA的延长线于点E，E90，ACD30，DE CD2DE2，CNCDsin452，由（1）可知，CAD2OAD120，F18012060，在 RtCFN中，FN 5 3如图 1，锐角ABC，ABAC，O是ABC的外接圆，连接BO并延长交AC于点D，（1）若BDC30，求BAC的度数；（2）如图 2，当 0BAC60时，作点C关于BD的对称点E，连接AE、DE，DE交AB于F 点E在O 上（选填“内”、“上”、“外”）；证明：AEFEAB；若BDC为等腰三角形，AD2，求

4、AE的长 解：（1）延长BD交圆O于点G，连结CG，如图：，AG，直径BG，BCG90，ABAC，BCACBA，设BCACBA，则AG1802，DCG90，BDCG+DCG1802+9030，80，BACG18028020；6（2）连结OC、OE，延长BD交圆O于点M，连结CM，如图：C、E是关于BD的对称点，OCOE，点E在O上，故答案为：上；证明：C、E是关于BD的对称点，23，45M，设1ABCx，则45M1802x，690 x，23M+62703x，AEFEDCEAD23242（2703x）2（1802x）1802x，AEF51802x，即AEFEAB；1ABCDBC，BDDC，BDC

5、为等腰三角形，分两种情况讨论：（）当BDBC时，12，即x2703x，解得：x67.5，44560，满足题意，此时AED为等腰直角三角形，AEAD2，AE2；（）当DCBC时，2DBC，即 2703x1802x，解得：x90，40，不满足 0BAC60；综上所述：AE2 7 4如图，AB是O的直径，点C、D在O上，AD与BC相交于点E连接BD，作BDFBAD，DF与AB的延长线相交于点F（1）求证：DF是O的切线；（2）若DFBC，求证：AD平分BAC；（3）在（2）的条件下，若AB10，BD6，求CE的长 解：（1）连接OD，CD，AB是直径，ADB90，ADO+ODB90，OAOD，BAD

6、ADO，BDFBAD，BDF+ODB90，ODF90，ODDF，DF是O的切 线；（2）DFBC，FDBCBD，CADCBD，且BDFBAD，8 CADBADCBDBDF，AD平分BAC；（3）AB10，BD6，AD8，CBDBAD，ADBBDE90，BDEADB，DE，AEADDE，CADBAD，sinCADsinBAD CE 5如图 1，在平面直角坐标系中，O1与x轴相切于点A（3，0），与y轴相交于B、C两点，且BC8，连接AB （1）求证：ABO1ABO；9（2）求AB的长；（3）如图 2，O2经过A、B两点，与y轴的正半轴交于点M，与O1B的延长线交于点N，求出BMBN的值（1）证明

7、：如图 11，连接AO1，O1与x轴相切于点A，OAO190，又AOB90，OAO1+AOB180，AO1OB，ABOO1AB，O1AO1B，O1ABABO1，ABO1ABO；（2）解：如图 12，过点O1作O1HBC于H，则CHBHBC4，O1HOHOAOAO190，四边形AO1HO是矩形，AO1AO3，在 RtO1HB中，O1B5，HOO1AO1B5，OBHOBH1，在 RtAOB中，AB；（3）解：如图 2，作点B关于x轴的对称点B，则点OBOB1，ABAB，BB2，ABOABO 1 0 由（1）知，ABOABO1，ABO1ABO，180ABO1180ABO，即ABNABM，又，AMBN

8、，AMBANB（AAS），MBNB，BMBNBMBMBB2，BMBN的值为 2 1 1 6如图，P是直径AB上的一点，AB6，CPAB交半圆于点C，以BC为直角边构造等腰RtBCD，BCD90，连接OD 小明根据学习函数的经验，对线段AP，BC，OD的长度之间的关系进行了探究 下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，BC，OD的长度的几组值，如下表：位置 1 位置 2 位置 3 位置 4 位置 5 位置 6 位置 AP 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 BC 6.00 5.48 4.90 4.24 3.46 2.

9、45 OD 6.71 7.24 7.07 6.71 6.16 5.33 在AP，BC，OD的长度这三个量中确定 AP 的长度是自变量，BC 的长度和 OD 的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，推断：当OD2BC时，线段AP的长度约为 4.5 1 2 解：（1）由图表观察，可看出随着AP的变化，BC和OD都在发生变化，且 都有唯一确定的值和其对应，所以AP的长度是自变量，BC和OD的长度都是这个自变量的函数，故答案分别为：AP，BC，OD；（2）如右图，可先描点，再画出如图所示图象；（3）由图象可推断：当OD2BC时

10、，线段AP的长度约为 4.5，故答案为：4.5 7如图，以ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若ACFC（1）求证：AC是O的切线；（2）若BF8，DF，求O的半径（3）过点B作O的切线交CA的延长线于G，如果连接AE，将线段AC以直线AE为对称轴作对称线段AH，点H正好落在O上，连接BH，求证：四边形AHBG为菱形 （1）证明：如图 1，连接OA，OD，则OAFD，1 3 D为BE的下半圆弧的中点，EODBOD18090，OFD+D90，CACF，CAFCFAOFD，CAF+OAF90，即CAO90，OACA，A

11、C是O的切线；（2）如图 1，设半径为r，则OFBFOB8r，在 RtOFD中，OF2+OD2DF2，（8r）2+r2（）2，解得，r16，r22（舍去），O的半径为 6；（3）如图 2，连接EH，由对称性可知ACAH，CAEHAE，又AEAE，CAEHAE（SAS），CEHA，EHAABE，CABE，OAOB，OABOBA，BE为O的直径，1 4 EAB90，OAB+OAE90，又CAE+OAE90，CAEOAB，COBAOABCAE，ACAB，CAEBAO（ASA），AEAOOE，AEO是等边三角形，AEO60，ABE90AEO30，AHBAEO60，ABG90ABE60，CAAH，CAA

12、B，AHAB，又AHB60，ABH是等边三角形，ABBHAH，GB，GA是O的切线，GBGA，又ABG60，ABG是等边三角形，ABBGAG，BHAHBGAG，四边形AHBG是菱形 1 5 8已知：ABC是O的内接三角形，AB为直径，ACBC，D、E是O上两点，连接AD、DE、AE（1）如图 1，求证：AEDCAD45；（2）如图 2，若DEAB于点H，过点D作DGAC于点G，过点E作EKAD于点K，交AC于点F，求证：AF2DG；（3）如图 3，在（2）的条件下，连接DF、CD，若CDFGAD，DK3，求O的半径 1 6 （1）证明：如图 1，连接CO，CE，AB是直径，ACB90，ACBC

13、，BCAB45，COA2B90，CADCED，AEDCADAEDCEDAECCOA45，即AEDCAD45；（2）如图 2，连接CO并延长，交O于点N，连接AN，过点E作EMAC于M，则CAN90，ACBC，AOBO，CNAB，AB垂直平分CN，ANAC，NABCAB，AB垂直平分DE，ADAE，DABEAB，NABEABCABDAB，即GADNAE，CANCME90，ANEM，NAEMEA，GADMEA，又GAME90，ADEA，ADGEAM（AAS），1 7 AGEM，AMDG，又MEF+MFE90，MFE+GAD90，MEFGAD，又GFME90，ADGEFM（ASA），DGMF，DGA

14、M，AFAM+MF2DG；（3）CDFGAD，FCDDCA，FCDDCA，CFDCDACBA，ACBC，AB为直径，ABC为等腰直角三角形，CFDCDACBA45，GFD为等腰直角三角形，设GFGDa，则FDa，AF2a，FAKDAG，AKFG90，AFKADG，在 RtAFK中，设FKx，则AK3x，FK2+AK2AF2，x2+（3x）2（2a）2，解得，xa（取正值），FKa，在 RtFKD中，FK2+DK2FD2，1 8 （a）2+32（a）2，解得，a（取正值），GFGD，AF，FCDDCA，CD2CAFC，CD2CG2+GD2，CG2+GD2CAFC，设FCn，则（n）2+（）2（+

15、n）n，解得，n，ACAF+CF+，ABAC，O的半径为 1 9 9如图，在ABCD中，AB4，BC8，ABC60点P是边BC上一动点，作PAB的外接圆O交BD于E（1）如图 1，当PB3 时，求PA的长以及O的半径；（2）如图 2，当APB2PBE时，求证：AE平分PAD；（3）当AE与ABD的某一条边垂直时，求所有满足条件的O的 半径 解：（1）如图 1，过点A作BP的垂线，垂足为H，作直径AM，连接MP，在 RtABH中，ABH60，BAH30，2 0 BHAB2，AHABsin602，HPBPBH1，在 RtAHP中，AP，AB是直径，APM90，在 RtAMP中，MABP60，AM，

16、O的半径为，即PA的长为，O的半径为；（2）当APB2PBE时，PBEPAE，APB2PAE，在平行四边形ABCD中，ADBC，APBPAD，PAD2PAE，PAEDAE，AE平分PAD；（3）如图 31，当AEBD时，AEB90，AB是O的直径，rAB2；如图 32，当AEAD时，连接OB，OE，延长AE交BC于F，ADBC，AFBC，BFEDAE，2 1 ，在 RtABF中，ABF60，AFABsin602，BFAB2，EF，在 RtBFE中，BE，BOE2BAE60，OBOE，OBE是等边三角形，r；当AEAB时，BAE90，AE为O的直径，BPE90，如图 33，过点D作BC的垂线，交

17、BC的延长线于点N，延开PE交AD于点Q，在 RtDCN中，DCN60，DC4，DNDCsin602，CNCD2，PQDN2，设QEx，则PE2x，在 RtAEQ中，QAEBADBAE30，AE2QE2x，PEDN，BPEBND，BP10 x，2 2 在 RtABE与 RtBPE中，AB2+AE2BP2+PE2，16+4x2（10 x）2+（2x）2，解得，x16（舍），x2，AE2，BE2，r，O的半径为 2 或或 2 3 10已知：四边形ABCD内接于O，连接AC，ABAD（1）如图 1，求证：CA平分BCD；（2）如图 2，连接BD交AC于点E，若BD为O直径，求证：tanCAD；（3）

18、如图 3，在（2）的条件下，点F为BC中点，连接AF并延长交O于G，若FG2，tanGAD，求DE的长 （1）证明：ABAD，ACBACD，CA平分BCD；（2）证明：如图 2，过点D作AC的平行线交BC延长线于Q，CADCBD，BD为直径，B CD90，2 4 tanCADtanCBD，DQAC QACB，ACDCDQ，由（1）得ACBACD，QCDQ，CDCQ，CEDQ，DE：EBCQ：BC，即DE：EBCD：CB，tanCAD；（3）如图 3，过点D、B分别作DHAG于H，BNAG于N，过O作OMAG于M，tanGAD，设AH3k，DH4k，BAN+NAD90，NAD+ADH90，BAN

19、ADH，又BNAAHD90，ABAD，ADHBAN（AAS），BNAH3k，ANDH4k，DHOMBN，且OBOD，MHMN，NHANAHk，OMAG，MAMG，AHNG3k，FN3k2，连接CG，过点C作CPAB，则ABFPCF，BAFP，又BFCF，ABFPCF（AAS），2 5 FAFP，BAFGCB，GCFP，FCGFPC，CF2FGFP，CFBF，即BN2+FN2FGFA，（3k）2+（3k2）22（4k+3k2），解得k1 或k（FN0舍去），在 RtAHD中，AH3，DH4，AD5，BDAB5，BF2BN2+FN2（3k）2+（3k2）210，BF，BC2，在 RtBCD中，CD

20、，tanCBD，DEBD 2 6 11已知：AB、AC是O中的两条弦，连接OC交AB于点D，点E在AC上，连接OE，AEOBDO（1）如图 1，若CADCOE，求证：；（2）如图 2，连接OA，若OABCOE，求证：AECD；（3）如图 3，在第（2）问的条件下，延长AO交O于点F，点G在AB上，连接GF，若ADC2BGF，AE5，DG1，求线段BG的长 （1）证明：设OE与AB交于点H，CADCOE，EHADHO，AEOODA，AEOBDO，BDO+ADO180，ADOBDO90，ODAB，；（2）证明：AEO+CEO180，BDO+ADO180，2 7 AEOBDO，CEOADO，在CEO

21、和ODA中，COEOAD，CEOADO，OCOA，CEOODA（AAS），CEOD，ECOAOD，OAACOC，AOC为等边三角形，AEACCE，CDOCOD，AECD；（3）证明：延长FG交OC于点S，延长CO到点T，使OTOS，连接AT，BF，设BGF，则BGFSGD，ADC2BGF2，ADCGSD+SGD DSGDGS SDDG1 AECD5 CSCDSD4 在FOS和AOT中，OSOT，SOFAOT，OFOA，FOSAOT（SAS）ATOFSO，ADC2，DATDTA，ADDT，设OAOCACr，OTOSr4，ODr5，ADDT2r9，在ADC中，CD5，ACr，AD2r9，ACD60

22、，解ADC得，r8，AD7，过点D作DKOA，在DOK中，2 8 OD3，DOK60，OK，AK，cosDAK，在ABF中，ABAFcosDAK，BGABAG 12已知四边形ABCD为O的内接四边形，直径AC与对角线BD相交于点E，作CHBD于H，CH与过A点的直线相交于点F，FADABD 2 9 （1）求证：AF为O的切线；（2）若BD平分ABC，求证：DADC；（3）在（2）的条件下，N为AF的中点，连接EN，若AED+AEN135，O的半径为 2，求EN的长（1）证明：如图 1，AC为O的直径，ADC90，DAC+DCA90，ABDDCA，FADABD，FADDCA，FAD+DCA90，

23、CAAF，AF为O的切线 （2）证明：如图 2，连接OD，ABDAOD，DBCDOC，BD平分ABC，ABDDBC，DOADOC，DADC （3）如图 3，连接OD交CF于M，作EPAD于P，AC为O的直径，ADC90 DADC，DOAC，3 0 FACDOC90，AFOM，AOOC，OMAF ODE+DEO90，OCM+DEO90 ODEOCM DOECOM，ODOC，ODEOCM，OEOM，设OMm，AE2m，APPE2m，DP2+m，AED+AEN135，AED+ADE135，AENADE，EANDPE，EANDPE，m，AN，AE，勾股定理得NE 3 1 13MN是O上的一条不经过圆心

24、的弦，MN4，在劣弧MN和优弧MN上分别有点A，B（不与M，N重合），且，连接AM，BM（1）如图 1，AB是直径，AB交MN于点C，ABM30，求CMO的度数；（2）如图 2，连接OM，AB，过点O作ODAB交MN于点D，求证：MOD+2DMO90；（3）如图 3，连接AN，BN，试猜想AMMB+ANNB的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由 解：（1）如图 1，AB是O的直径，AMB90，AMNBMN45 3 2 OMOB，OMBOBM30，CMO453015；（2）如图 2，连接OA，OB，ON ，AONBON 又 OAOB，ONAB ODAB，DON90 OMON，OM

25、NONM OMN+ONM+MOD+DON180，MOD+2DMO90；（3）如图 3，延长MB至点M，使BMAM，连接NM，作NEMM于点E 设AMa，BMb 四边形AMBN是圆内接四边形，3 3 A+MBN180 NBM+MBN180，ANBM，ANBN，AMNBMN（SAS），MNNM，BMAMa NEMM于点E ME2+（BN2BE2）MN2，化简得ab+NB216，AMMB+ANNB16 14已知，在PAB中，PAPB，经过A、B作O（1）如图 1，连接PO，求证：PO平分APB；（2）如图 2，点P在O上，PA：AB：2，E是O上一点，连接AE、BE求 tanAEB的值；（3）如图

26、3，在（2）的条件下，AE经过圆心O，AE交PB于点F，过F作FGBE于点G，EF+BG14，求线段OF的长度 （1）证明：连接OA，OB，则OAOB，又PAPB，PO垂直平分AB，PO平分APB；3 4 （2）解：延长PO，交AB于H，过点A作AMPB于M，由（1）知PH垂直平分AB，PA：AB：2，设AB2，则APBP，AHBH1，在 RtPAH中，PH3，SPABABPHPBAM，23AM，AM，在 RtPAM中，PM，tanAPM：，AEBAPM，tanAEB；（3）连接PO并延长，交AB于点H，由（1）知，PH垂直平分AB，AE为直径，在 RtEFG中，tanFEG，设FG3x，则E

27、G4x，EF5x，EF+BG14，BG145x，ABE90AHPPHB，PHEB，HPBGBF，HPBGBF，3 5 ，解得，x1，EF5，BEBG+EG9+413，ABBE，AE，OEAE，OFOEEF5，线段OF的长度为 15如图 1，在O中，点A为的中点，点D在O上（1）求证：BAC+2ADB180；（2）如图 2，点G为O上一点，DG与B C的延长线交于点K，若CBD2ABC，BCCK，求证：BGKG；3 6 （3）如图 3，在（2）的条件下，AC与BG的延长线交于点E，CE3AC15，BE10，求线段BD的长 （1）证明：如图 1，连接DC，点A为的中点，ADBADC，BDC2ADB

28、，四边形ABCD是圆内接四边形，BAC+BDC180，BAC+2ADB180；（2）如图 2，连接CG，ABCADCADB，BDC2ABC，CBD2ABC，BDCCDB，CBCD，BCCK，CDCK，CDKK，CBD+CDB+CDK+K180，CBD+K90，BDK90，BG为O的直径，BCG90，3 7 GCBK，又BCCK，BGKG；（3）CE3AC15，ACAB5，四边形ABGC是圆内接四边形，BAC+BGC180，CGE+BGC180，BACCGE，又EE，ECGEBA，即，GE6，CG，BGBEGE4，由（2）知，BGKG，KG4，在 RtBCG中，BC5，BKBC+CK10，BDGGCK90，KK，KCGKDB，即，DB，线段BD的长为 3 8