专题17三角函数的图象和性质(教学案)(解析版)43401.pdf

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1、名师整理，助你成功 1.能画出 ysin x，ycos x，ytan x 的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间0，2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间2，2内的单调性 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数 ysin x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，0)，2，1，(，0)，32，1，(2，0)(2)余弦函数 ycos x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，1)，2，0，(，1)，32，0，(2，1)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 kZ)函数 ysin x ycos x ytan x 图象

2、 定义域 R R x|xR，且x k2，kZ 值域 1，1 1，1 R 周期性 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增 区间 2k2，2k2 2k，2k k2，k2 名师整理，助你成功 递减 区间 2k2，2k32 2k，2k 无 对称 中心(k，0)k2，0 k2，0 对称轴 方程 xk2 xk 无 高频考点一三角函数的定义域及简单的三角不等式【例 1】(1)函数 f(x)2tan2x6的定义域是()A.x|x6 B.x|x12 C.x|xk6（kZ）D.x|xk26（kZ）(2)不等式 32cos x0 的解集是_.(3)函数 f(x)64x2log2(2sin x1)的定义域是_.

3、【解析】(1)由正切函数的定义域，得 2x6k2，即 xk26(kZ)，故选 D.(2)由 32cos x0，得 cos x32，由余弦函数的图象，得在一个周期，上，不等式 cos x32的解集为x|56x56，故原不等式的解集为x|562kx562k，kZ.(3)由题意，得64x20，2sin x10，由得8x8，由得 sin x12，由正弦曲线得62kx562k(kZ).名师整理，助你成功 所以不等式组的解集为116，76 6，56 136，8.【答案】(1)D(2)x|562kx562k，kZ (3)116，76 6，56 136，8 【方法规律】(1)三角函数定义域的求法 以正切函数为

4、例，应用正切函数 ytan x 的定义域求函数 yAtan(x)的定义域.转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域.(2)简单三角不等式的解法 利用三角函数线求解.利用三角函数的图象求解.【变式探究】(1)函数 ytan 2x 的定义域是()A.x|xk4，kZ B.x|xk28，kZ C.x|xk8，kZ D.x|xk24，kZ (2)函数 y sin xcos x的定义域为_.【解析】(1)由 2xk2，kZ，得 xk24，kZ，ytan 2x 的定义域为x|xk24，kZ.(2)法一 要使函数有意义，必须使 sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0，2上 ysin x

5、和 ycos x 的图象，如图所示.在0，2内，满足 sin xcos x 的 x 为4，54，再结合正弦、余弦函数的周期是 2，所以原函数的定义域为x|2k4x2k54，kZ.法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).所以定义域为x|2k4x2k54，kZ.名师整理，助你成功 法三 sin xcos x 2sinx40，将x4视为一个整体，由正弦函数ysin x的图象和性质可知2kx42k(kZ)，解得 2k4x2k54(kZ).所以定义域为x|2k4x2k54，kZ.【答案】(1)D(2)x|2k4x2k54，kZ 高频考点二 三角函数的值域(最值)【例 2】(1)

6、(2017全国卷)函数 f(x)sin2x 3cos x34x0，2的最大值是_.(2)(2016全国卷)函数 f(x)cos 2x6cos2x 的最大值为()A.4 B.5 C.6 D.7(3)函数 ysin xcos xsin xcos x 的值域为_.【解析】(1)f(x)sin2x 3cos x34x0，2，f(x)1cos2x 3cos x34，令 cos xt 且 t0，1，则 yt2 3t14t3221，则当 t32时，f(x)取最大值 1.(2)由 f(x)cos 2x6cos2x 12sin2x6sin x2sin x322112，所以当 sin x1 时函数的最大值为 5，

7、故选 B.(3)设 tsin xcos x，则 t2sin2xcos2x2sin xcos x，sin xcos x1t22，且 2t 2.yt22t1212(t1)21.当 t1 时，ymax1；当 t 2时，ymin12 2.函数的值域为12 2，1.名师整理，助你成功【答案】(1)1(2)B(3)12 2，1 【方法规律】求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如 yasin xbcos xc 的三角函数化为 yAsin(x)c 的形式，再求值域(最值)；(2)形如 yasin2xbsin xc 的三角函数，可先设 sin xt，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)；(3

8、)形如 yasin xcos xb(sin xcos x)c 的三角函数，可先设 tsin xcos x，化为关于 t 的二次函数求值域(最值).【变式探究】(1)函数 y2sin6x3(0 x9)的最大值与最小值之和为()A.2 3 B.0 C.1 D.1 3(2)已知函数 f(x)sinx6，其中 x3，a，若 f(x)的值域是12，1，则实数 a 的取值范围是_.【解析】(1)因为 0 x9，所以36x376，所以 sin6x332，1.所以 y 3，2，所以 ymaxymin2 3.选 A.(2)由 x3，a，知 x66，a6.x66，2时，f(x)的值域为12，1，由函数的图象知2a

9、676，所以3a.【答案】(1)A(2)3，高频考点三 三角函数的性质 例 3、(1)(2017山东卷)函数 y 3sin 2xcos 2x 的最小正周期为()A.2 B.23 C.D.2(2)设函数 f(x)sin12x 3cos12x|2的图象关于 y 轴对称，则()A.6 B.6 C.3 D.3【解析】(1)y232sin 2x12cos 2x 2sin2x6，T22.名师整理，助你成功(2)f(x)sin12x 3cos12x 2sin12x3，由题意可得 f(0)2sin32，即 sin31，32k(kZ)，56k(kZ)，|2，k1 时，6.【答案】(1)C(2)A【变式探究】(1

10、)函数 y2cos2x41 是()A.最小正周期为 的奇函数 B.最小正周期为 的偶函数 C.最小正周期为2的奇函数 D.最小正周期为2的偶函数(2)设函数 f(x)sin12x 3cos12x|2的图象关于 y 轴对称，则()A.6 B.6 C.3 D.3【解析】(1)y2cos2x41cos2x4cos2x2cos22x sin 2x，则函数为最小正周期为 的奇函数.(2)f(x)sin12x 3cos12x 2sin12x3，由题意可得 f(0)2sin32，即 sin31，32k(kZ)，56k(kZ)，|0)在区间2，23上是增函数，则 的取值范围是_.名师整理，助你成功【解析】(1

11、)由已知可得函数为 ysin2x3，欲求函数的单调减区间，只需求 ysin2x3的单调增区间.由 2k22x32k2，kZ，得 k12xk512，kZ.故所求函数的单调递减区间为k12，k512(kZ).(2)法一 由 2k2x2k2，kZ，得 f(x)的增区间是2k2，2k2(kZ).因为 f(x)在2，23上是增函数，所以2，232，2.所以22且232，所以 0，34.法二 因为 x2，23，0.所以 x2，23，又 f(x)在区间2，23上是增函数，所以2，232，2，则22，232，又 0，得 00，得 034.【答案】(1)k12，k512(kZ)(2)0，34【方法规律】(1)求

12、较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 yAsin(x)形式，再求 yAsin(x)的单调区间，只需把 x 看作一个整体代入 ysin x 的相应单调区间内即可，注意要先把 化为正数.(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数 的范围的问题，首先，明确已知的单名师整理，助你成功 调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.【举一反三】(1)若函数 f(x)2sin(4x)(0，|2，x4为 f(x)的零点，x4为 yf(x)图象的对称轴，且 f(x)在18，536上单调，则 的最大值为()

13、A.11 B.9 C.7 D.5【解析】(1)由题可得，4242k，kZ，3k，kZ，0，max23.(2)因为 x4为 f(x)的零点，x4为 f(x)的图象的对称轴，所以44T4kT，即24k14T4k142，所以 4k1(kN)，又因为 f(x)在18，536上单调，所以5361812T222，即 12，由此得 的最大值为 9，故选 B.【答案】(1)B(2)B【方法规律】(1)对于可化为 f(x)Asin(x)形式的函数，如果求 f(x)的对称轴，只需令 x2k(kZ)，求 x 即可；如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令 xk(kZ)，求 x 即可.(2)对于可化为 f(x)Ac

14、os(x)形式的函数，如果求 f(x)的对称轴，只需令 xk(kZ)，求 x 即可；如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令 x2k(kZ)，求 x 即可.高频考点四、由对称性求参数 例 4、若函数 ycosx6(N*)图象的一个对称中心是6，0，则 的最小值为()A1 B2 C4 D8【答案】B【解析】由题意知66k2(kZ)6k2(kZ)，又 N*，min2，故选 B.【感悟提升】(1)对于函数 yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线 xx0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f(x0)的值进行判断 名师整

15、理，助你成功(2)求三角函数周期的方法：利用周期函数的定义 利用公式：yAsin(x)和 yAcos(x)的最小正周期为2|，ytan(x)的最小正周期为|.【变式探究】(1)已知函数 f(x)2sin(x)，对于任意 x 都有 f6x f6x，则 f6的值为_(2)已知函数 f(x)sinxacosx 的图象关于直线 x53对称，则实数 a 的值为()A 3 B33 C.2 D.22【答案】(1)2 或2(2)B【解析】(1)f6x f6x，x6是函数 f(x)2sin(x)的一条对称轴 f62.(2)由 x53是 f(x)图象的对称轴，可得 f(0)f103，解得 a33.1.【2019

16、年高考北京卷】函数 f（x）=sin22x 的最小正周期是_【答案】2【解析】函数 2sin 2f xx1 cos42x，周期为2.2.(2018全国卷)函数 f(x)tan x1tan2x的最小正周期为()A.4 B.2 名师整理，助你成功 C D2【答案】C【解析】由已知得 f(x)tan x1tan2xsin xcos x1sin xcos x2sin xcos xcos2xsin2xcos2xsin xcos x12sin 2x，所以 f(x)的最小正周期为 T22。3.(2019高考全国卷)下列函数中，以2为周期且在区间4，2单调递增的是()Af(x)|cos 2x|Bf(x)|si

17、n 2x|Cf(x)cos|x|Df(x)sin|x|【答案】A【解析】函数 f(x)|cos 2x|的周期为2，当 x4，2时，2x2，函数 f(x)单调递增，故 A 正确；函数 f(x)|sin 2x|的周期为2，当 x4，2时，2x2，函数 f(x)单调递减，故 B 不正确；函数 f(x)cos|x|cos x 的周期为 2，故 C 不正确；f(x)sin|x|sin x，x0，sin x，x0，由正弦函数图象知，在 x0 和 x0，|.若 f 582，f 1180，且 f(x)的最小正周期大于 2，则()A.23，12 B.23，1112 C.13，1124 D.13，724【解析】f

18、 582，f 1180，且 f(x)的最小正周期大于 2，f(x)的最小正周期为 4118583，2323，f(x)2sin23x.2sin2358 2，得 2k12，kZ，又|bc Bbca Ccba Dcab【答案】C【解析】因为 bcos 55sin 35sin 33，所以 ba.因为 cos 351，所以sin 35cos 35sin 35.又 ctan 35sin 35cos 35sin 35，所以 cb，所以 cba.（2014新课标全国卷 如图 1-1，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA，终边为射线 OP，过点 P 作直线 OA

19、的垂线，垂足为 M，将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x)，则 yf(x)在0，上的图像大致为()图 1-1 名师整理，助你成功 A B C D【答案】C【解析】根据三角函数的定义，点 M(cos x，0)，OPM 的面积为12|sin xcos x|，在直角三角形 OPM 中，根据等积关系得点 M 到直线 OP 的距离，即 f(x)|sin xcos x|12|sin 2x|，且当 x2时上述关系也成立，故函数 f(x)的图像为选项 C 中的图像（2014新课标全国卷 函数 f(x)sin(x2)2sin cos(x)的最大值为_【答案】1【解析】函数 f(x)sin(x2)2sin cos(x)sin(x)2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin sin x，故其最大值为 1.（2014重庆卷）已知函数 f(x)3sin(x)0，22的图像关于直线 x3对称，且图像名师整理，助你成功 上相邻两个最高点的距离为.(1)求 和 的值；(2)若 f23460，排除选项 C；x，y0，排除选项 A；故选 D.