2023年高考数学二轮复习讲练测(新高考)专题01三角函数的图象与综合应用(原卷版)43899.pdf

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1、 专题 01 三角函数的图象与综合应用【命题规律】三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1、三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2、利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.3、三角恒等变换的求值、化简是高考命题的热点，常与三角函数的图象、性质结合在一起综合考查，如果单独命题，多用选择、填空题中呈现，难度较低；如果三角恒等变换作为工具，将其与三角函数及解三角形相结合求解最值、范围问题，多以解答题为主，中等难度【核心考点目录】核心考点一：齐次化模型 核心考点

2、二：辅助角与最值问题 核心考点三：整体代换与二次函数模型 核心考点四：绝对值与三角函数综合模型 核心考点五：的取值与范围问题 核心考点六：三角函数的综合性质【真题回归】1（2022全国高考真题）记函数()sin(0)4f xxb的最小正周期为 T若23T，且()yf x的图象关于点3,22中心对称，则2f（）A1 B32 C52 D3 2（2022全国高考真题（理）设函数()sin3f xx在区间(0,)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A5 13,36 B5 19,36 C13 8,63 D13 19,66 3（2022全国高考真题）若sin()cos()2 2 cossin4，则

3、（）Atan1 Btan1 Ctan1 Dtan1 4（2022全国高考真题（文）将函数()sin(0)3f xx的图像向左平移2个单位长度后得到曲线 C，若 C 关于 y 轴对称，则的最小值是（）A16 B14 C13 D12 5（多选题）（2022全国高考真题）已知函数()sin(2)(0)f xx的图像关于点2,03中心对称，则（）A()f x在区间50,12单调递减 B()f x在区间 11,1212有两个极值点 C直线76x是曲线()yf x的对称轴 D直线32yx是曲线()yf x的切线 6（2022全国高考真题（理）记函数 cos(0,0)fxx的最小正周期为 T，若3()2f

4、T，9x为()f x的零点，则的最小值为_【方法技巧与总结】1、三角函数图象的变换（1）将sinyx的图象变换为sin()yAx(0,0)A的图象主要有如下两种方法：（2）平移变换 函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对x作的变换；（3）伸缩变换 沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(01)或缩短(1)为原来的1（倍）（纵坐标y不变）；沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(1)A或缩短(01)A为原来的A（倍）（横坐标x不变）（4）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移 2、三角函数的单调性（1）三角函数的单调区间 sinyx的单调递增区间是2,

5、2()22kkk Z，单调递减区间是32,2()22kkk Z；cosyx的单调递增区间是2,2()kkk Z，单调递减区间是2,2()kkk Z；tanyx的单调递增区间是,()22kkk Z（2）三角函数的单调性有时也要结合具体的函数图象如结合|sin|yx，sin|yx，|cos|yx，cos|cosyxx的图象进行判断会很快得到正确答案 3、求三角函数最值的基本思路（1）将问题化为sin()yAxB的形式，结合三角函数的图象和性质求解.（2）将问题化为关于sinx或cos x的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解.（3）利用导数判断单调性从而求解.4、对称性及周期性常用结论（1

6、）对称与周期的关系 正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.（2）与三角函数的奇偶性相关的结论 若sin()yAx为偶函数，则有()2kk Z；若为奇函数，则有()kk Z.若cos()yAx为偶函数，则有()kk Z；若为奇函数，则有()2kk Z.若tan()yAx为奇函数，则有()kk Z 5、已知三角函数的单调区间求参数取值范刪的三种方法（1）子集法：求出原函数相应的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解 （2）反子集法：由所给区间求出

7、整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解（3）周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14个周期列不等式（组）求解.【核心考点】核心考点一：齐次化模型【规律方法】齐次分式：分子分母的正余弦次数相同，例如：sincossincosabcd（一次显型齐次化）或者222222sincos+sincossincos+sincossincosabcabc（二次隐型齐次化）这种类型题，分子分母同除以cos（一次显型）或者2cos（二次隐型），构造成tan的代数式，这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到.【典型例题】例 1（2022广东揭

8、阳高三阶段练习）若tan2，则sin1 sin 22sin4（）A25 B25 C65 D65 例 2（2022江苏省丹阳高级中学高三阶段练习）已知tan3，则3coscoscos2（）A34 B34 C310 D310 例 3（2022湖南高三阶段练习）已知曲线4yx在点1,4处的切线的倾斜角为2，则1 sincos12cos4（）A22 B2 2 C12 D1 例 4（2022湖北襄阳五中高三开学考试）若2，tan3，则1sin 2cos 2sincos22cos 2（）A35 B54 C45 D45 核心考点二：辅助角与最值问题【规律方法】第一类：一次辅助角:sincosab=22sin

9、()ab（其中tanba）第二类：二次辅助角2sincoscos,0axxbx a b 2sincoscosaxxbx22sin2cos21sin 2(tan)2222ababbbxxxa【典型例题】例 5（2022内蒙古赤峰二中高三阶段练习（理）已知函数 41sincos55f xxx，当x时，fx取得最大值，则cos（）A1717 B4 1717 C47 D17 例 6（2022四川省成都市新都一中高三阶段练习（理）若2,43x，则函数2()3sincos3 sinfxxxx的值域为（）A3 30,2 B30,2 C0,3 D0,33 例 7（2022 四川省成都市新都一中高三阶段练习（文

10、）若0,2x，则函数 23sin cos3sinf xxxx的值域为（）A3 30,2 B30,2 C0,3 D0,33 例 8（2022全国高三专题练习）函数 23sin22sinf xxx，若 123fxfx，则122xx的最小值是（）A23 B4 C3 D6 例 9（2022浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知关于 x 的方程sincos2ax bx有实数解，则 2211ab最小值是_ 例 10（2022全国高三专题练习）函数 44sinsincos44xf xxx的最小值为_.例 11（2022全国高三专题练习）已知222351xxyy，,x yR，则22xy的最小值为_.核心考点三：

11、整体代换与二次函数模型【规律方法】三角函数和二次函数交汇也是一种常见题型，我们将其分为三类，第一类是最简单的，就是sinx，cos x与cos2 x之间的二次函数关系，第二类则有一点隐藏，就是sincosxx与sin cosxx之间的关系，第三类则是sincosax bx与sin2 x之间的关系.【典型例题】例 12（2022全国高三专题练习）函数3()sin(2)3cos2f xxx的最小值为_ 例 13（2022全国高考真题（文）函数cos22sinyxx的最大值为_.例 14（2022全国高考真题（理）函数sincossincosyxxxx的最大值是_.例 15（2022全国高三专题练习

12、）已知函数 sincos2sin cos2f xxxxx，则 fx的最大值为_.例 16（2022全国高三专题练习）若x是三角形的最小内角，则函数sincossincosyxxxx的最小值是 A122 B122 C1 D2 核心考点四：绝对值与三角函数综合模型【规律方法】关于 sinyx和 sinyx，如图，sinyx将 sinyx图像中x轴上方部分保留，x轴下方部分沿着x轴翻上去后得到，故 sinyx是最小正周期为的函数，同理sin()yAx是最小正周期为的函数；sinyx是将 sinyx图像中y轴右边的部分留下，左边的删除，再将y轴右边图像作对称至左边，故 sinyx不是周期函数.我们可以

13、这样来表示：，sin(22)sinsin(22)x xkkxx xkk，sin(0)sinsin(0)x xxx x【典型例题】例 17（2022安徽铜陵一中高三阶段练习（理）已知函数 sincosfxxx，则下列说法正确的是（）A fx的最小正周期为 B fx的最小值为22 C 3fxfx D 2f x 在5,012上有解 例 18（2022全国高三专题练习）已知()sin|sin|cos|cos|f xxxxx，给出下述四个结论:()yf x是偶函数;()yf x在3,22上为减函数;()yf x在(,2)上为增函数;()yf x的最大值为2 2.其中所有正确结论的编号是（）A B C D

14、 例 19（2022江苏泗阳县实验高级中学高三阶段练习）已知函数()cos|2|sin|f xxx，以下结论正确的是（）A是()f x的一个周期 B函数在20,3单调递减 C函数()f x的值域为5,1 D函数()f x在 2,2 内有 6 个零点 例 20（多选题）（2022安徽砀山中学高三阶段练习）已知函数()sincos336xxf x，则（）A fx的最小正周期为3 B fx的最大值为3 C fx在5,7 上单调递减 D fx在 4,4 上有4 个零点 例 21（2022湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）函数 sinsincoscosfxxxxx的最大值为_.例 22（2022全国高三

15、专题练习）已知函数 sin3 sin2fxxx，则 fx在,2上的最小值是 1；fx的最小正周期是2；直线2kxkZ是 fx图象的对称轴；直线2yx与 fx的图象恰有 2 个公共点.其中说法正确的是_.例 23（2022陕西长安一中高一期末）关于函数 sinsinfxxx有下述四个结论：fx是偶函数；fx在区间2,上递增；fx在,上有 4 个零点；fx的最大值为 2.其中所有正确结论的编号_.例 24（2022云南省玉溪第一中学高二期中（文）设函数 cos 2sinfxxx，下述四个结论正确结论的编号是_.fx是偶函数；fx的最小正周期为；fx的最小值为 0；fx在0,2上有 3 个零点.核心

16、考点五：的取值与范围问题【规律方法】1、()sin()f xAx在()sin()f xAx区间()ab，内没有零点 kbkkakTab2kbkaTab2 同理，()sin()f xAx在区间ab，内没有零点 kbkkakTab2kbkaTab2 2、()sin()f xAx在区间()ab，内有3个零点 kbkkakTabT432(1)(3)(24)TbakTkakkb 同理()sin()f xAx在区间ab，内有2个零点 kbkkakTabT32232(2)2(332kTTbkakbak 3、()sin()f xAx在区间()ab，内有n个零点()(+1)1)(1)22nTnTbakkaknk

17、nb 同理()sin()f xAx在区间ab，内有n个零点(1)(1()()22+1)nTnTbkkaknknba 4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为214nT，则21(21)42nnTba 5、已知单调区间(,)a b，则2Tab.【典型例题】例 25（2022河南模拟预测（文）已知函数 2sin0,02fxx，3x 为 fx的一个零点，3x为 yfx图象的一条对称轴，且 fx在,20216内不单调，则的最小值为_.例 26（2022全国高三专题练习）若函数 cos0fxx在区间2,3内既没有最大值1，也没有最小值1，则的取值范围是_.例 27（2022上海高

18、三专题练习）已知函数cos,yax x （其中,a为常数，且0）有且仅有 3 个零点，则的最小值是_ 例 28（2022宁夏平罗中学高三期中（理）已知函数 sin(0)3fxx，若 fx在2，内单调且有一个零点，则的最大值是_ 例 29（2022湖南永州市第一中学高三阶段练习）若函数 2sin04fxx在,46上为增函数，则的最大值为_.例 30（2022全国高三阶段练习（理）已知函数()2cos(0)4f xx的最小正周期为T，()f x的一个极值点为x.若 233T，则的最大值是_.例 31（2022陕西蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文）将函数 sin2cos2 3sin3222xxxfx(

19、0)的图象向左平移3个单位长度,得到曲线C.若C关于y轴对称,则的最小值是_ 例 32（2022北京师大附中高三阶段练习）记函数 cos0,0fxx 的最小正周期为T，若 32f T，12x为 fx的零点，则的最小值为_ 例 33（2022云南高三阶段练习）已知函数 sin0,2fxx，若,06是 fx图象的一个对称中心，fx在区间5 7,18 18上有最大值点无最小值点，且571818ff，记满足条件的的取值集合为M，则=M_.例 34（2022四川成都模拟预测（理）已知函数 2sin03fxx，若03f，且 fx在5,312上有最大值，没有最小值，则的最大值为_ 例 35（2022全国高三

20、专题练习（理）设函数()sin()f xx，其中0 且1(0),0263fff，则的最小值为_ 例 36（2022福建省福州教育学院附属中学高三开学考试）已知 sin03fxx，63ff，且 fx在区间,63 上有最小值，无最大值，则_.例 37（多选题）（2022山西高三阶段练习）已知函数()3sin(0)6f xx，若()f x在区间,3内没有零点，则的值可以是（）A18 B12 C76 D32 核心考点六：三角函数的综合性质【典型例题】例 38（多选题）（2022山东德州高三期中）已知函数()sin()0,0,02f xAxA同时满足下列三个条件：该函数的最大值为2；该函数图象的两条对称

21、轴之间的距离的最小值为；该函数图象关于5,03对称.那么下列说法正确的是（）A的值可唯一确定 B函数56fx是奇函数 C当52()6xkkZ时，函数()f x取得最小值 D函数()f x在区间,63 上单调递增 例 39（多选题）（2022湖北襄阳高三期中）函数()sin(2)3f xx的图象向左平移4个单位长度，得到函数()g x的图象，则下列结论正确的有（）A直线56x是()g x图象的一条对称轴 B()g x在(,)2 6上单调递增 C若()g x在(0,)上恰有 4 个零点，则2329(,1212 D()g x在,4 2上的最大值为12 例 40（多选题）（2022江苏南通高三期中）已

22、知函数 fx，g x的定义域均为 R，它们的导函数分别为 fx，gx 若1yfx是奇函数，cosgxx，fx与 g x图象的交点为11,xy，22,xy，,mmxy，则（）A fx的图象关于点1,0对称 B fx的图象关于直线1x对称 C g x的图象关于直线12x 对称 D1miiixym 例 41（多选题）（2022山东菏泽高三期中）已知函数 sin0,0,0fxAxA的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A22f B fx在区间50,12单调递减 C fx在区间 11,12 12上有且仅有 2 个零点 D将 fx的图象向右平移12个单位长度后，可得到一个奇函数的图象 例 42（多选题

23、）（2022河北模拟预测）已知函数()sin()(0,0),()04f xxf，且对任意xR均有()(),()2f xff x在0,2上单调递减，则下列说法正确的有（）A函数()f x为偶函数 B函数()f x的最小正周期为2 C若1()(0,2)3f xx的根为(1ix i，2，)n，则14niix D若(2)()fxf x在(,)m n上恒成立，则nm的最大值为3 例 43（多选题）（2022广东深圳实验学校光明部高三期中）已知函数()sin()0,0,2f xAxA的部分图象如图（1）所示，函数1111()cos0,0,|g xAxA的部分图象如图（2）所示，下列说法正确的是（）A函数(

24、)yf x的周期为2 B函数()yf x的图象关于直线1912x对称 C函数()1yf x在区间0,2 上有 4 个零点 D将函数()yf x的图像向左平移23可使其图像与()yg x图像重合 例 44（多选题）（2022福建厦门外国语学校高三期中）将函数 cos 23fxx图像上所有的点向右平移6个单位长度，得到函数 g x的图像，则下列说法正确的是（）A g x的最小正周期为 B g x图像的一个对称中心为7,012 C g x的单调递增区间为5,Z36kkk D g x的图像与函数sin 26yx的图像重合 例 45（多选题）（2022黑龙江齐齐哈尔高三期中）已知 44cossin22x

25、xf x，则下列说法错误的是（）A函数 fx的最小正周期为2 B函数4fx为奇函数 C函数 fx在,63 上的值域为5,18 D函数 34yf x在区间2,2上的零点个数为 8 【新题速递】一、单选题 1（2022河北张家口市第一中学高三期中）函数 tan0,02fxx某相邻两支图象与坐标轴分别交于点,06A，2,03B，则方程 sin 2,0,3fxxx所有解的和为（）A512 B56 C2 D 2（2022北京市第十一中学高三阶段练习）已知函数 22cos4fxx则（）A fx是奇函数 B函数 fx的最小正周期为4 C曲线 yfx关于2x 对称 D 12ff 3（2022贵州顶效开发区顶兴

26、学校高三期中（理）已知函数 sinfxx（0，），其图象相邻两条对称轴的距离为2，且对任意xR，都有 712fxf，则在下列区间中，fx为单调递减函数的是（）A,63 B70,12 C12,2 D7,12 4（2022吉林长春模拟预测）定义域为0,的函数 13sincoscos02f xxxx，其值域为1,12，则的取值范围是（）A30,2 B3,32 C10,3 D1 2,3 3 5（2022江苏南通高三期中）已知112tansin，则tan4（）A7 B17 C19 D43 6（2022河南高三阶段练习（理）设函数()sin()(0)5f xx，已知 fx在0,2有且仅有 5 个零点，下述

27、四个结论中，正确结论的编号是（）fx在(0,2)有且仅有 3 个极大值点 fx在(0,2)有且仅有 2 个极小值点 fx在05，单调递增 的取值范围是1229510，A B C D 7（2022天津市南开中学滨海生态城学校高三阶段练习）下列关于函数()4coscos3f xxx的命题，正确的有（）个（1）它的最小正周期是2（2）,012是它的一个对称中心（3）6x 是它的一条对称轴（4）它在0,3上的值域为2,3 A0 B1 C2 D3 8（2022宁夏六盘山高级中学高三期中（理）已知函数 sinfxx（其中0,2），30,88ffxf恒成立，且 fx在区间,12 24上单调，给出下列命题 f

28、x是偶函数；304ff；是奇数；的最大值为 3；其中正确的命题有（）A B C D 二、多选题 9（2022重庆八中高三阶段练习）已知函数 sin2(0)fxx，曲线 yfx关于点7,012中心对称，则（）A将该函数向左平移6个单位得到一个奇函数 B fx在37,46上单调递增 C fx在 7,12 12上只有一个极值点 D曲线 yfx关于直线6x 对称 10（2022福建泉州五中高三期中）已知函数 sin 23fxx，则下列结论正确的是（）A直线76x 是 fx的对称轴 B点2,03是 fx的对称中心 C fx在区间22,3上单调递减 D fx的图象向右平移712个单位得cos2yx的图象

29、11（2022山东青岛高三期中）已知函数i()sin 23s n 22 3sincos66f xxxxx，则（）A()f x的最大值为 2 B3x 是()f x的图象的一条对称轴 C()f x在,63上单调递减 D()f x的图象关于,06对称 12（2022 湖北荆门市龙泉中学高三阶段练习）设 sinfxx（其中为正整数，2），且 fx的一条对称轴为12x ；若当0时，函数 fx在,55单调递增且在,33不单调，则下列结论正确的是（）A2 B fx的一个对称中心为5,06 C函数 fx向右平移12个单位后图象关于y轴对称 D将 fx的图象的横坐标变为原来的一半，得到 g x的图象，则 g x

30、的单调递增区间为5,Z242242kkk 三、填空题 13（2022甘肃兰州市外国语高级中学高三阶段练习（文）已知函数 sin0,02fxx的相邻对称轴之间的距离为2，且 fx图象经过点,03P，则下列说法正确的是_.（写出所有正确的题号）A该函数解析式为 sin 23fxx；B函数 fx的一个对称中心为2,03 C函数 21yfx的定义域为5,2424kkkZ D将函数 yfx的图象向右平移(0)b b个单位，得到函数 g x的图象，且函数 g x的图象关于原点对称，则b的最小值为3.14（2022四川省遂宁市教育局模拟预测（文）正割（Secant，sec）是三角函数的一种，正割的数学符号为

31、 sec，出自英文 secant该符号最早由数学家吉拉德在他的著作三角学中所用，正割与余弦互为倒数，即1seccosxx若函数()secsinf xxxx，则下列结论正确的有_ 函数()f x的图像关于直线x对称；函数()f x图像在,()f处的切线与x轴平行，且与x轴的距离为；函数()f x在区间95,168上单调递增；()f x为奇函数，且()f x有最大值，无最小值 15（2022河南驻马店市第二高级中学高三阶段练习（理）若1sincos2，则sin1 sin2sincos_ 16（2022吉林东北师大附中模拟预测）已知函数()sin|3 cosfxxx，若关于 x 的方程()f xm在

32、4,23上有三个不同的实根，则实数 m 的取值范围是_ 四、解答题 17（2022江西丰城九中高三开学考试（理）已知函数 22 3sin cos2cos1f xxxx(1)求函数 fx的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数 gxfxk在区间0,2内有两个不同的零点，求实数 k 的取值范围 18（2022江苏盐城高三阶段练习）已知函数 22cos2sin cossin(04)f xxxxx，且_ 从以下三个条件中任选一个，补充在上面条件中，并回答问题：过点,2;8函数 fx图象与直线20y 的两个相邻交点之间的距离为;函数 fx图象中相邻的两条对称轴之间的距离为2(1)求函数 fx的单调递增区

33、间；(2)设函数 2cos 23g xx，则是否存在实数m，使得对于任意10,2x，存在20,2x，21mgxfx成立?若存在，求实数m的取值范围;若不存在，请说明理由 19（2022黑龙江哈师大附中高三阶段练习）已知函数 4sincos33fxxx(1)求函数 fx的单调递增区间；(2)若函数 32g xf x在区间（0，）上恰有 2 个零点1212,xxxx，求12cosxx的值 20（2022福建省诏安县桥东中学高三期中）已知函数 sin0,0,f xAxA的部分图象如图所示.(1)求 fx的解析式及对称中心；(2)先将 fx的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12倍，得到函数 g x图

34、象，再将 g x图象右平移12个单位后得到 h x的图象，求函数 yhx在 3,124x上的单调减区间.21（2022青海西宁市海湖中学高三期中）某同学用“五点法”画函数()sin()0,|2f xAx在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x 0 2 32 2 x 3 56 sin()Ax 0 5 5 0(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x的解析式；(2)将()yf x图象上所有点向左平移(0)个单位长度，得到()yg x的图象若()yg x图象的一个对称中心为5,012，求的最小值 22（2022北京北大附中高三阶段练习）已知函数 sin0,22fxx的部分图像如下图所示.(1)直接写出 fx的解析式；(2)若对任意0,3s，存在0,tm，满足 fsft，求实数m的取值范围.