2023年新高考数学大一轮复习专题28空间几何体的结构特征、表面积与体积(解析版)43049.pdf

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1、 专题 28 空间几何体的结构特征、表面积与体积 【考点预测】知识点一：构成空间几何体的基本元素点、线、面（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体（2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）知识点二：简单凸多面体棱柱、棱锥、棱台 1棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；（5）直平行

2、六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；（7）正方体：棱长都相等的长方体 2棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥 3棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台 简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示 知识点三：简单旋转体圆柱、圆锥、圆台、球 1圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱 2圆柱：以直角三角形的一条

3、直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥 3圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台 4球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）知识点四：组合体 由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体 知识点五：表面积与体积计算公式 表面积公式 表面积 柱体 2直棱柱底SchS 2(斜棱柱底Sc lSc为直截面周长)2222()圆锥Srrlr rl 锥体 12正棱锥底SnahS 2()圆锥Srrlr rl 台体 1()2正棱台上下Sn aa hSS

4、22)圆台（Srrr lrl 球 24SR 体积公式 体积 柱体 柱VSh 锥体 13锥VSh 台体 1()3台VSSSS h 球 343VR 知识点六：空间几何体的直观图 1斜二测画法 斜二测画法的主要步骤如下：（1）建立直角坐标系在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直角坐标系（2）画出斜坐标系在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于 O x，O y，使45 x O y（或135），它们确定的平面表示水平平面（3）画出对应图形在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于 x轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于y轴的线段

5、，在直观图中画成平行于 y轴，且长度变为原来的一般可简化为“横不变，纵减半”（4）擦去辅助线图画好后，要擦去 x轴、y轴及为画图添加的辅助线（虚线）被挡住的棱画虚线 注：直观图和平面图形的面积比为2:4 2平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点 【题型归纳目录】题型一：空间几何体的结构特征 题型二：空间几何体的表面积与体积 题型三：直观图 题型四：最短路径问题【典例例题】Sh 题型一：空间几何体的结构特征 例 1（2022全国模拟预测）以下结论中错误的是（）A经过不共面的四点的球有且仅有一个 B平行六面体的每个面都是平行四边形 C正棱柱的每条侧棱均与上下底

6、面垂直 D棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直【答案】D【解析】对于 A，经过不共面的四点的球，即为该四面体的外接球，有且仅有一个，故 A 正确，对于 B，平行六面体的每个面都是平行四边形，故 B 正确，对于 C，正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直，故 C 正确，对于 D，棱台的每条侧棱延长线交于一点，侧棱中有可能与底面垂直，故 D 错误，故选：D 例 2（2022全国高三专题练习（文）下列说法正确的是（）A经过三点确定一个平面 B各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥 C各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱 D一个三棱锥的四个面可以都为直角三角形【答案】D【解析】A.错误，经过不共线的三点确定一个平面

7、；B.错误，正八面体的八个面也都是正三角形；C.错误，侧面都是正方形，但底面如果不是正多边形，也不是正棱柱，比如侧面是正方形，但底面是菱形的柱体不是正四棱柱；D.正确，底面是直角三角形，一条侧棱和底面垂直，并且垂直落在非直角顶点处的三棱锥，即可满足条件.故选：D 例 3（2022海南模拟预测）“三棱锥PABC是正三棱锥”的一个必要不充分条件是（）A三棱锥PABC是正四面体 B三棱锥PABC不是正四面体 C有一个面是正三角形 DABC是正三角形且PAPBPC【答案】C【解析】由正三棱锥的定义，得三棱锥PABC是正三棱锥等价于“有一个面是正三角形，其他面是等腰三角形”，对于 A：因为三棱锥PABC

8、是正四面体等价于四个面是全等的正三角形，所以“三棱锥PABC是正四面体”是“三棱锥PABC是正三棱锥”的充分不必要条件，即选项 A 错误；对于 B：因为一个正三棱锥可能是正四面体，也可能不是正四面体，所以“三棱锥PABC不是正四面体”是“三棱锥PABC是正三棱锥”的既不充分也不必要条件，即选项 B 错误；对于 C：因为三棱锥PABC是正三棱锥等价于有一个面是正三角形，其他面是等腰三角形，所以“有一个面是正三角形”是“三棱锥PABC是正三棱锥”的必要不充分条件，即选项 C 正确；对于 D：因为三棱锥PABC是正三棱锥等价于有一个面是正三角形，其他面是等腰三角形，当但正三角形不一定是ABC，所以“

9、ABC是正三角形且PAPBPC”是“三棱锥PABC是正三棱锥”的充分不必要条件，即选项 D 错误.故选：C.例 4（2022全国高三专题练习）给出下列命题:在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是（）A0 B1 C2 D3【答案】A【解析】不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线;不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图(1)所示;不一定，当以斜

10、边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,如图(2)所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.故选：A 例 5（2022山东省东明县第一中学高三阶段练习）下列说法正确的是（）A有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B过空间内不同的三点，有且只有一个平面 C棱锥的所有侧面都是三角形 D用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台【答案】C【解析】对A：根据棱柱的定义知，有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，所

11、以A错误，反例如图：对B：若这三点共线，则可以确定无数个平面，故B错误；对C：棱锥的底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，故C正确；对D：只有用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故D错误，故选：C.例 6（2022全国高三专题练习）给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是（）A0 B1 C2 D3【答案】A【解析】不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；不一定，当以斜边所在直线为旋转

12、轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.故选：A.例 7（2022全国高三专题练习）莱昂哈德欧拉，瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他的研究论著几乎涉及到所有数学分支，有许多公式定理解法函数方程常数等是以欧拉名字命名的.欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数 V棱数 E面数 F 之间总满足数量关系2,VFE，此式称为欧拉公式，已知某凸 32 面体，12 个面是五边形，20 个面是六边形，则该 32 面体的棱数为_；顶点的个数为_.【答案】9

13、0 60【解析】因为某凸 32 面体，12 个面是五边形，20 个面是六边形，则该 32 面体的棱数：12 520 6902；因为顶点数 V棱数 E面数 F 之间总满足数量关系2VFE，设顶点的个数为x，则32902x，解得60 x，故答案为：90；60.例 8（2022安徽合肥一六八中学模拟预测（理）如图，正方体1AC上、下底面中心分别为1O，2O，将正方体绕直线12OO旋转360，下列四个选项中为线段1AB旋转所得图形是（）A B C D【答案】D【解析】解：设正方体的棱长等于a，1AB的中点到旋转轴的距离等于12a，而A、1B两点到旋转轴的距离等于22a，1AB的中点旋转一周，得到的圆较

14、小，可得所得旋转体的中间小，上、下底面圆较大 由此可得 A、C 项不符合题意，舍去 又在所得旋转体的侧面上有无数条直线，且直线的方向与转轴不共面，B 项不符合题意，只有 D 项符合题意 故选：D 例 9（多选题）（2022全国高三专题练习）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）（多选）A是棱台 B是圆台 C是棱锥 D是棱柱【答案】CD【解析】题图中的几何体不是由棱锥被一个平面所截得到的，且上、下底面不是相似的图形，所以不是棱台；题图中的几何体上、下两个面不平行，所以不是圆台；图中的几何体是三棱锥；题图中的几何体前、后两个面平行，其他面都是平行四边形，且每相邻两个平行四边形的公共边都互相

15、平行，所以是棱柱.故选:CD.例 10（2022陕西西北工业大学附属中学高三阶段练习（理）碳 60（60C）是一种非金属单质，它是由60 个碳原子构成的分子，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共 32 个面，且满足：顶点数棱数面数2则其六元环的个数为_.【答案】20【解析】根据题意，碳60（Co）由60个顶点，有32个面，由顶点数棱数面数2 可得：棱数为6032290，设正五边形有x个，正六边形有y个，则325690 2xyxy，解得：1220 xy，所以六元环的个数为20个，故答案为：20【方法技巧与总结】熟悉几何体的基本概念.

16、题型二：空间几何体的表面积与体积 例 11（多选题）（2022湖北高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄决胜千里大智大勇的象征（如图 1）图 2 是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC所在圆的半径分别是 3 和 9，且120ABC，则该圆台的（）A高为4 2 B体积为50 23 C表面积为34 D上底面积下底面积和侧面积之比为1:9:22【答案】AC【解析】解：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则11223,22933rR，解得1,3rR圆台

17、的母线长6l，圆台的高为226(3 1)4 2h，则选项A正确；圆台的体积22152 24 233 1 133 ，则选项B错误；圆台的上底面积为，下底面积为9，侧面积为1 3624，则圆台的表面积为92434，则C正确；由前面可知上底面积下底面积和侧面积之比为1:9:24，则选项 D 错误 故选：AC 例 12（2022青海海东市第一中学模拟预测（理）设一圆锥的侧面积是其底面积的 3 倍，则该圆锥的高与母线长的比值为（）A89 B2 23 C63 D23【答案】B 【解析】设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，高为 h，由题意得23rlr，解得3lr，又222lrh，则2 2hr，2 23hl

18、 故选：B.例 13（2022云南二模（文）已知长方体1111ABCDA BC D的表面积为 62，所有棱长之和为 40，则线段1AC的长为（）A38 B372 C393 D29【答案】A【解析】由题意知：11262AB ADAB AAAD AA，140104ABADAA，故22221111222100ABADAAABADAAAB ADAB AAAD AA，则222138ABADAA，所以2221138ACABADAA.故选：A.例 14（2022福建省福州第一中学三模）已知AB，CD分别是圆柱上下底面圆的直径，且ABCD，.1O，O 分别为上下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三

19、棱锥ABCD的体积为 18，则该圆柱的侧面积为（）A9 B12 C16 D18【答案】D【解析】分别过,A B作圆柱的母线,AE BF，连接,CE DE CF DF，设圆柱的底面半径为r 则三棱锥ABCD的体积为两个全等四棱锥CABFE减去两个全等三棱锥A CDE 即311122222183323rrrrrrr ，则3r 圆柱的侧面积为218rr 故选：D 例 15（2022河南模拟预测（文）在正四棱锥PABCD中，2 2AB，若正四棱锥PABCD的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（）A22 B2 22 C422 D8 22【答案】C【解析】如图，连接 AC，BD，记ACBDO，连接 OP，所以

20、OP 平面 ABCD.取 BC 的中点 E，连接OEPE，.因为正四棱锥PABCD的体积是 8，所以218833ABOPOP，解得3OP.因为122BEBC，所以在直角三角形POE中,229211PEOPBE，则PBC的面积为112 2112222BC PE，故该四棱锥的侧面积是4 22.故选：C 例 16（2022全国高三专题练习）九章算术中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭ABCDEFHG，其中上底面与下底面的面积之比为1:4，方亭的高hEF，62BFEF，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和12 5，则方亭的体积为（）A24 B64

21、3 C563 D16【答案】C【解析】由题意得12EFAB，设2EFx，则4ABx，6BFx.过点E、F在平面ABFE内分别作EMAB，FNAB，垂足分别为点M、N，在等腰梯形ABFE中，因为/EF AB，EMAB，FNAB，则四边形MNFE为矩形，所以，2MNEFx，EMFN，因为AEBF，EMFN，90AMEBNF，所以，RtAMERtBNF，所以，2ABEFAMBNx，所以，225FNBFBNx，所以等腰梯形ABFE的面积为22453 53 52xxSxx，得1x.所以，22EFx，44ABx，故方亭的体积为15624 166433.故选：C.例 17（2022湖南高三阶段练习）如图，一

22、种棱台形状的无盖容器（无上底面1111DCBA）模型其上、下底面均为正方形，面积分别为24cm，29cm，且1111A AB BCCD D，若该容器模型的体积为319cm3，则该容器模型的表面积为（）A25 39 cm B219cm C25 59 cm D25 379 cm【答案】C【解析】由题意得该容器模型为正四棱台，上、下底面的边长分别为 2cm，3cm.设该棱台的高为 h，则由棱台体积公式13Vh SSS S下下上上，得：191(496)33h 得1cmh，所以侧面等腰梯形的高23251cm22h，所以25232495 59 cm2表S，故选：C 例 18（2022海南海口二模）如图是一

23、个圆台的侧面展开图，其面积为3，两个圆弧所在的圆半径分别为2 和 4，则该圆台的体积为（）A7 33 B7 36 C7 1512 D7 1524【答案】D【解析】圆台的侧面展开图是一扇环，设该扇环的圆心角为，则其面积为221142322，得2，所以扇环的两个圆弧长分别为和2，设圆台的上底半径，下底半径分别为12,r r，圆台的高为h，则122,22rr 所以112r，21r，又圆台的母线长422l 所以圆台的高为221152122h，所以圆台的体积为22111157 1511322224V 故选：D.例 19（2022全国高三专题练习）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为 10 的球面上，其上、

24、下底面的半径分别为 4 和 5，则该圆台的侧面积为（）A8 10 B8 11 C9 10 D9 11【答案】C【解析】因为圆台下底面半径为 5，球的直径为210R，所以圆台下底面圆心与球心重合，底面圆的半径为5R，画出轴截面如图，设圆台上底面圆的半径r，则4r 所以球心O到上底面的距离2222543hRr，即圆台的高为 3，所以母线长223(54)10l，所以129 10Srrl侧，故选：C.例 20（2022河南安阳模拟预测（文）已知圆柱12OO的底面半径为 1，高为 2，AB，CD 分别为上、下底面圆的直径，ABCD，则四面体 ABCD 的体积为（）A13 B23 C1 D43【答案】D【

25、解析】解：如图所示：连接11CO DO，因为ABCD，12ABOO，且122OOCDO，所以AB 平面1CDO，所以11ABCDA CDOB CDOVVV，111142 2 23323 CDOSAB，故选：D 例 21（2022山东烟台市教育科学研究院二模）鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，其内部的凹凸部分啮合十分精巧图 1 是一种鲁班锁玩具，图 2 是其直观图它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为2 若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为_ 【答案】16896 2【解析】将鲁班锁补成正方体1111ABCDA B

26、C D，然后以点A为坐标原点，AB、AD、1AA所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，在鲁班锁所在几何体上任取一个顶点0,2,22 2P，观察图形可知，P到鲁班锁所在几何体上其他顶点的距离的最大值在PE、PF、PG、PH、PM、PN、PR、PS中取得，结合图形可知2,0,0E、22,0,0F、22 2,2,0G、22 2,22,0H、22,22 2,0M、2,22 2,0N、0,22,0R、0,2,0S，则22422 2168 2PE，22222222 220 12 2PF，222 22 224 16 2PG，222 22 2428 16 2PH，22222 222224

27、16 2PM，22222222 220 12 2PN，22422 2168 2PR，2222 2128 2PS，所以，P到鲁班锁所在几何体上其他顶点的距离的最大值28 16 2，所以，若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），设该正方体的棱长的最小值为a，则28 16 2a，该正方体的表面积为2616896 2Sa.故答案为：16896 2.例 22（2022湖北省天门中学模拟预测）已知一个圆柱的体积为2，底面直径与母线长相等，圆柱内有一个三棱柱，与圆柱等高，底面是顶点在圆周上的正三角形，则三棱柱的侧面积为_.【答案】6 3【解析】设圆柱的底面半径为r，则222rr，1r，设三棱柱底面边

28、长为a，则22sin60ar，3a，三棱柱的侧面积为323326 3ar ，故答案为：6 3 例 23（2022上海闵行二模）已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的 4 倍，则它的侧面积扩大为原来的_倍.【答案】2【解析】设圆柱的高为h，底面半径为r，则体积为2r h，体积扩大为原来的 4 倍，则扩大后的体积为24r h，因为高不变，故体积 224 2r hrh，即底面半径扩大为原来的 2 倍，原来侧面积为2rh，扩大后的圆柱侧面积为2 24rhrh，故侧面积扩大为原来的 2 倍.故答案为：2 例 24（2022浙江绍兴模拟预测）有书记载等角半正多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体

29、，如图，将正四面体沿相交于同一个顶点的三条梭上的3个点截去一个正三棱锥，如此共截去4个正三棱锥，若得到的几何体是一个由正三角形与正六边形围成的等角半正多面体，且正六边形的面积为2，则原正四面体的表面积为_ 【答案】12【解析】设正六边形的边长为a，根据题意有23624a，可得284 396 3a，由题意可知，原正四面体的棱长为3a，故原正四面体的表面积为 2334124Sa，故答案为：12.例 25（2022上海徐汇三模）设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥顶点到直线AB的距离为3，AB和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的侧面积为_.【答案】22【解析】设圆锥的顶点为P，底面圆圆心为点O，

30、取线段AB的中点E，连接OE、PE、OA、OB，因为PAPB，OAOB，则OEAB，PEAB，故3PE，因为PO 平面OAB，OE 平面OAB，POOE，所以，OE为直线PO、AB的公垂线，故1OE，因为112AEAB，222OAOEAE，222PAPEAE，所以，圆锥PO的底面圆半径为2，母线长为2，因此，该圆锥的侧面积为222 2.故答案为：22.例 26（2022全国高三专题练习）中国古代的“牟合方盖”可以看作是两个圆柱垂直相交的公共部分，计算其体积所用的“幂势即同，则积不容异”是中国古代数学的研究成果，根据此原理，取牟合方盖的一半，其体 积等于与其同底等高的正四棱柱中，去掉一个同底等高

31、的正四棱锥之后剩余部分的体积（如图 1 所示）现将三个直径为 4 的圆柱放于同一水平面上，三个圆柱的轴所在的直线两两成角都相等，三个圆柱的公共部分为如图 2 所示的几何体，该几何体中间截面三角形边长为8 33，则该几何体的体积为_ 【答案】128 39【解析】根据题意，图 2 立体图形的一半，其体积等于与其同底等高的正三棱柱中，去掉一个与其同底等高正三棱锥之后的体积，因为该几何体中间截面三角形边长为8 33，所以该底面积1 8 3 8 316 3sin602333S，因为圆柱的直径为 4，所以该几何体一半的高为 2，所以对应正三棱柱及三棱锥的高均为 2，所以对应正三棱柱的体积16 332 32

32、33V，正三棱锥的体积1116 332 32339V，所以该几何体的体积为1128 329VV.故答案为：128 39【方法技巧与总结】熟悉几何体的表面积、体积的基本公式，注意直角等特殊角.题型三：直观图 例 27（2022全国高三专题练习）如图，已知用斜二测画法画出的ABC的直观图是边长为a的正三角形，原ABC的面积为 _ 【答案】262a【解析】过点C作/C My轴，且交x轴于点M，过点C作CDx 轴，且交x轴于点D，则32C Da ，所以45CMD，则62C Ma，所以原三角形的高6CMa，底边长为a，其面积为216622Saaa 故答案为：262a 例 28（2022浙江镇海中学模拟预

33、测）如图，梯形ABCD是水平放置的一个平面图形的直观图，其中45ABC，1ABAD，DCBC，则原图形的面积为（）A212 B222 C22 D12【答案】B 【解析】解：由题得212BC ,所以1122(2)222222SA DB CA B.故选：B 例 29（2022全国高三专题练习）如图，ABC 是水平放置的ABC 的斜二测直观图，其中2OCOAOB ，则以下说法正确的是（）AABC 是钝角三角形 BABC 是等边三角形 CABC 是等腰直角三角形 DABC 是等腰三角形，但不是直角三角形【答案】C【解析】解：将其还原成原图，如图，设2AC，则可得21OBOB，2ACAC，从而2ABBC

34、，所以222ABBCAC，即ABBC，故ABC是等腰直角三角形.故选：C.例 30（2022全国高三专题练习）如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形ABCD ，已知 2,2A OOBB C ，则四边形ABCD的周长为（）A20 B12 C84 3 D84 2【答案】A【解析】由题设2 2O C ，则原四边形中4 2OC，又4D CDCA BAB ，故226BCOCOB，且ADBC，所以四边形ABCD的周长为20ABBCDCAD.故选：A 例 31（2022全国高三专题练习（文）如图，已知等腰直角三角形O A B ，OAAB 是一个平面图形的直观图，斜边2OB，则这个平面图形的面积是

35、（）A22 B1 C2 D2 2【答案】D【解析】2O B ，OAAB ，45A O B ，2O A ，由此可知平面图形是如下图所示的Rt OAB，其中OAOB，2OBO B，22 2OAO A，112 2 22 222OABSOA OB.故选：D.例 32（2022全国高三专题练习）一个三角形的水平直观图在xO y 是等腰三角形，底角为30，腰长为 2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B到x轴距离是（）A1 B2 C2 D2 2【答案】D【解析】过点B作/B Cy轴，交x轴于点C，如图，在O BC中，30,135,2B O CB C OO B ，由正弦定理得，sin30sin135B CO

36、B ，于是得122222B C ，由斜二测画法规则知，在原平面图形中，顶点B到x轴距离是2 2.故选：D【方法技巧与总结】斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系：2S=4S直原 题型四：最短路径问题 例 33（多选题）（2022广东广州三模）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12OO，在轴截面ABCD中，2cmABADBC，且2CDAB，则（）A该圆台的高为1cm B该圆台轴截面面积为23 3cm C该圆台的体积为37 3cm3 D一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5cm【答案】BCD【解析】如图，作BECD交CD于E，易得12CD

37、ABCE，则22213BE，则圆台的高为3cm，A 错误；圆台的轴截面面积为213 3c4m232，B 正确；圆台的体积为317 3cm33443，C 正确；将圆台一半侧面展开，如下图中ABCD，设P为AD中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形COD，由1CEEO可得2BCOB，则4OC，4242COD，又32ADOPOA，则22435CP，即点C到AD的中点所经过的最短路程为5cm，D 正确.故选：BCD.例34（2022河南洛阳三模（理）在棱长为1的正方体1111ABCDA BC D中，点E为1CC上的动点，则1D EEB的最小值为_.【答案】5【解析】如图，将正方形11DCC D、11B

38、CC B铺平在同一平面上，当1,D E B三点共线时，1D EEB最小，最小值为22125，故答案为：5 例 35（2022黑龙江齐齐哈尔二模（文）如图，在直三棱柱111ABCA BC中，12,1,90AAABBCABC，点 E 是侧棱1BB上的一个动点，则下列判断正确的有_.（填序号）直三棱柱外接球的体积为6 存在点 E，使得1AEA为钝角 截面1AEC周长的最小值为2 26【答案】【解析】取AC中点D，11AC中点F，连接DF，矩形11ACC A中可得1/DFAA，1DFAA，1AA 平面ABC，所以DF 平面ABC，90ABC，所以D是ABC外心，同理F是111A BC的外心，所以DF的

39、中点O是直三棱柱外接球的球心，由已知2AC，22CD，又1211AOAD，所以2226()122OC，所以外接球的体积为346()632V，正确；矩形11AA B B中，11,2ABAA，1AA为直径的圆与1BB相切，切点为1BB的中点，当E为切点时，190AEA当E是1BB上其他点时，190AEA，错误；1AEC中，221(2)26AC，把矩形11BBC C与矩形11ABB A摊平，得正方形11AAC C，当1,A E C共线时，1AEEC最短，最短为2 2，所以截面1AEC周长的最小值为2 26，正确 故答案为：例 36（2022河南二模（理）在正方体1111ABCDA BC D中，2AB

40、，P是线段1BC上的一动点，则1A PPC的最小值为_.【答案】62【解析】如图，连接1A B、11AC，将1BCC沿1BC翻折到与11A BC在同一个平面，如下图：已知11A BC为等边三角形，1BCC为等腰三角形，两个三角形有公共边1BC，则当 P 是1BC中点时，1A、P、1C三点共线，此时1A PPC取最小值62 故答案为：62 例 37（2022陕西宝鸡二模（文）如图，在正三棱锥PABC中，30APBBPCCPA ，4PAPBPC，一只虫子从 A 点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到 A 点，则虫子爬行的最短距离是_.【答案】4 2【解析】如图所示，将三棱锥的侧面展开，因为3

41、0APBBPCCPA ，所以190APA，当虫子沿1AA爬行时，距离最短，又116164 2AA，所以虫子爬行的最短距离是4 2.故答案为：4 2.例 38（2022安徽宣城二模（理）已知正四面体 ABCD 的棱长为 2，P 为 AC 的中点，E 为 AB 中点，M是 DP 的动点，N 是平面 ECD 内的动点，则|AMMN的最小值是_.【答案】3336【解析】取CE中点O，连接,DO OP，由正四面体可知,DEAB CEAB，又DECEE，AB面CDE，又OPAB，OP面CDE，当|AMMN最小时，MN 面CDE，故N在线段DO上.由OP 面CDE可得OPOD，又111242OPAEAB，2

42、2213DP，111342OD，将PDO沿PD翻折到平面APD上，如图所示：易知30ADP，111sin,cos,2 32 3OPODODPODPDPDP 则333sinsin30sincos30cossin3012ODAODPODPODP，故|AMMN的最小值即A到OD的距离，即333333sin2126ADADO.故答案为：3336.例 39（2022新疆阿勒泰三模（理）如图，圆柱的轴截面 ABCD 是一个边长为 4 的正方形.一只蚂蚁从点A 出发绕圆柱表面爬到 BC 的中点 E，则蚂蚁爬行的最短距离为（）A22 41 B2 5 C22 1 D21【答案】C 【解析】将圆柱侧面展开半周，则

43、展开矩形长为2，2BE，22442 1AE.故选：C.例 40（2022云南昆明一中高三阶段练习（文）一竖立在水平地面上的圆锥形物体，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，已知圆锥底面半径为 1，母线长为 3，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）A3 B3 3 C D2【答案】B【解析】将圆锥沿过点P母线展开，由1,3rl，若扇形圆心角为，则23，所得扇形圆心角23，由余弦定理得蚂蚁爬行的最短路径长为222332 3 3 cos3 33 .故选：B【方法技巧与总结】此类最大路径问题：大胆展开，把问题变为平面两点间线段最短问题【过关测试】一、单选题 1（2022河北高三阶段练

44、习）已知圆锥的高为 1，母线长为6，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（）A2 B52 C5 53 D3【答案】D【解析】如图ABC是圆锥的轴截面，由题意母线6BC，高1CO，则11sin26CBO，CBO是锐角，所以30CBO，于是得轴截面顶角12090ACB，设截面三角形的顶角为，则过此圆锥顶点的截面面积 216sin2S，当两条母线夹角为90时，截面面积为21(6)32S 为所求面积最大值，故选：D.2（2022全国模拟预测（文）若过圆锥的轴SO的截面为边长为 4 的等边三角形，正方体1111ABCDA BC D的顶点A，B，C，D在圆锥底面上，1A，1B，1C，1D在圆锥侧面上，则该正

45、方体的棱长为（）A2 2 B3 3 C2 3 22 3 D2 3 62 2【答案】C【解析】根据题意过顶点S和正方体上下两个平面的对角线作轴截面如下所示：所以4SESFEF，60EF，所以2EO，22422 3SO，11A ACC为矩形，设1AAx，所以112ACACx，所以1122xAO，所以111AOSOEOSO，即111AOSOAAEOSO，即22 3222 3xx，解得2 3 22 3x.故选：C.3（2022全国高三专题练习）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为 4，则圆锥的体积为（）A43 B43 C83 D83【答案】D【解析】由题设，圆锥的体高、底面半径均为2，所以圆锥的

46、体积为2182233.故选：D 4（2022广东深圳高三阶段练习）通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是 1cm 和 4cm）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（）A32cm B1cm C3cm D3 32cm【答案】D【解析】由已知圆台的侧面展开图为半圆环，不妨设上、下底面圆的半径分别为r，()R rR，则21r ，24R，解得12r，2R 所以圆台轴截面为等腰梯形，其上、下底边的长分别为1cm和4cm，腰长为3cm，即1,4,3ADBCAB,过点A作AHBC,H为垂足，所以32BH，3 32AH 该圆台形容器

47、的高为3 3cm2，故选：D 5（2022全国高三专题练习）已知一个直三棱柱的高为 2，如图，其底面 ABC 水平放置的直观图（斜二测画法）为ABC ，其中1OAOBOC ，则此三棱柱的表面积为（）A44 2 B84 2 C84 5 D88 5【答案】C【解析】由斜二测画法的“三变”“三不变”可得底面平面图如图所示，其中222OAOBOC，所以5ABAC，所以此三棱柱的表面积为122 2(22 5)284 52S .故选：C 6（2022湖北天门市教育科学研究院模拟预测）已知某圆锥的侧面积为6 3，高为3，则该圆锥底面圆的半径为（）A2 B3 C4 D6【答案】B【解析】设该圆锥底面圆的半径为

48、r，则236 3r r，故223108rr，即229120rr，解得3r 故选：B 7（2022山西大同高三阶段练习）正四棱台的上下底面的边长分别为 24，侧棱长为 2，则其体积为（）A56 B28 23 C28 2 D563【答案】B【解析】如图所示，在正四棱台1111ABCDA BC D中，点1,O O分别为上、下底面的中心，连接111,OA O A OO，则由题意可知1OO 底面ABCD，112 2,2OAO A，过点1A作11/A EOO交AO于点E，则AE 底面ABCD，四边形11OEA O为矩形，112OEO A，所以2 222AE，因为12AA，所以221112AEOOAAAE，

49、即正四棱台的高为2，所以正四棱台的体积为2222128 24242233V.故选：B.8（2022江西九江三模（理）如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a，则ra（）A22 B34 C22 D3212【答案】D【解析】设储物盒所在球的半径为R，如图，小球最大半径r满足21 rR，所以2121RrR，正方体的最大棱长a满足22222aaR，解得：23aR，21321223ra，故选：D.9（2022浙江湖州模拟预测）如图，已知四边形ABCD，BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形，ABD 为

50、等边三角形，2BD，将ABD沿对角线BD翻折到PBD在翻折的过程中，下列结论中不正确的是（）ABDPC BDP与BC可能垂直 C直线DP与平面BCD所成角的最大值是45 D四面体PBCD的体积的最大是33【答案】C【解析】如图所示，取BD的中点M，连接,PM CM BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形,BDCM ABD为等边三角形,BDPM BD面PMC,BDPC,故 A 正确 对于 B，假设DPBC，又BCCD BC面PCD，BCPC，又2,2PBBC,=231,31PC，故DP与BC可能垂直，故 B 正确 当面PBD面BCD时，此时PM 面BCD，PDB即为直线DP与平面BCD所成角 此时