「线性代数第五章相似矩阵」46276.pdf

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1、第五章 相似矩阵 1 特征值与特征向量 特征值是方阵的一个重要特征量，矩阵理论的很多结果都与特征值有关，在工程技术及其理论研究方面都有很重要的应用。定义 1:设A为n阶方阵,如果存在数和n维非列向量X，满足：(1)AXX。则称是方阵A的特征值(也称为特征根），X是方阵A的属于特征值的特征向量。例如矩阵1000A,取11=0X ,20=1X ,则有 11=1AXX,22=0AXX,所以 1,是A的特征值,12,X X是分别属于特征值 1 和 0 的特征向量。(）式又可以写成()0 (2)EA X。即特征向量是齐次线性方程组()的非零解，从而有|0 (3)EA。（3）称为方阵A的特征方程，求解方程

2、(）即得矩阵A的特征值。|EA称为方阵A的特征多项式。对求出的特征值0，代入方程组(2）求解即得属于0的特征向量。例：已知方阵A满足 2AE，证明：A的特征值只能为 1 或1。证明：设是A的任一特征值，则有非零向量X,使得 AXX。两 边 左 乘 以A,有22()()A XAAAXX。又 2AE，所 以 2(1)0X。由于0X，从而 21,即 1。例 2：求矩阵110430102A 的特征值与特征向量。解:因 2110|430(2)(1)102EA。所以矩阵A的特征值2 或 1。当2时,310100410010100000，1001 。故属于2的特征向量为11(0)kk。当 1时,210101

3、420012101000,2121。故属于1的特征向量为 222(0)kk。2 相似矩阵 定义：若n阶方阵A和B,存在一个可逆矩阵P,使得 1P APB。则称矩阵A与B相似，记为 AB。对于相似矩阵,有下列性质:1）任一方阵A，它与自身相似;2）若A与B相似，则B与A相似；3）若A与B相似，B与C相似,则A与C相似；4）A与B相似，则|EAEB。证明:只证 4）,因A与B相似,存在可逆矩阵P,使得 1P APB。从而 111|()|EBPEPP APPEA P 1|PEAPEA。如果方阵A相似与对角形矩阵，则称A可以对角化。并非每个方阵均可以对角化,例如矩阵0100A，对任何 2 阶可逆矩阵P

4、，1P AP均不能为对角形矩阵。下面给出一般方阵A相似对角形的条件。若A相似对角形，则有 11 (4)nP AP 记 1(,)nPXX,由（)式可得 111(,)(,)nnnA XXXX 即 111(,)(,)nnnAXAXXX。从而 1,2,iiiAXXin()。由定义知i为A的特征值，由P可逆知iX为非零向量,且12,nXXX线性无关。所以它是属于i的特征向量。以上过程可逆，故存在下面定理。定理 1：n阶方阵A可以对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。该定理给出了矩阵相似对角形的充分必要条件,但如何找出n个线性无关的特征向量,则需要下列一些结果。定理 2:方阵A的属于不同特征值

5、的特征向量线性无关。证明：设1,sXX是分别属于不同特征值1,s的特征向量,当1s 时，命题成立。设当sk时命题成立，则当1sk时，设有 11110 (5)kkkkl Xl XlX（5）式乘以1k,有 1 1111110 (6)kkkkkkkl Xl XlX 再对(5)式两边左乘以A,有 1 111110 (7)k kkkkkl Xl XlX（6）()得 11111()()0 kkkkklXlX。由归纳假设,1,sXX线性无关。从而 1()0 (1,2,)ikilik。由于1ki,所以 0 (1,2,)ilik，代入（5）式，得 10kl。即 11,kXX 线性无关,故1sk命题成立。从而定理

6、得证。推论 1：n阶方阵A有n个不同的特征值，则A一定可以对角化。实际计算中，先求出n阶方阵A的全部特征值,再找出属于每个特征值的特征向量的极大线性无关组。可以证明所有这些线性无关向量组所构成的“大”向量组仍然线性无关。若这个“大”向量组中向量个数等于n，则A可以对角化，若向量个数小于n,则A不能对角化。例 3：判别下列矩阵是否可以对角化)211020413A ；2)100011001A。解:1)2211|020(1)(2)413EA。特征值为 11,22（二重根)。当 11 时，111101030010414000,1101 。当22时,11141144000000411000,21410,

7、31401 所以A相似于对角形。取 123(,)P ，则有 1122P AP。（)3101|011(1)001EA,特征值为 1（三重根）。当1时，000001001000000000，1100 ，1010 。故A不能对角化。例 4:已知 111X是矩阵2125312Aab的一个特征向量。1）求,a b和X对应的特征值。2）问A能否相似对角形 解:1）因X是A的属于特征值的特征向量,则有 2121153111211ab。从而 (2)1205()301(2)0ab 解得 1,3,0ab 。2)因 212533102A，3212|533(1)102EA，所以特征值1(三重根)。又 312101523011101000 基础解系中仅含一个线性无关的向量，故A不能对角化。3 实对称矩阵的对角化 上一节提到，并非每个方阵均可以对角化，这一节介绍一类能对角化的矩阵 实对称矩阵。记X表示向量X中每个分量取其共轭复数所构成的向量,A为矩阵A中每个元素取其共轭复数所构成的矩阵,则 AXAX。性质 1：实对称矩阵A的特征值为实数。证明：因A是实对称矩阵，所以,AA AA。设是A的特征值，则有向量0X，使得 AXX,且有AXX。考虑 ()X AXXXX X，