「经济数学基础讲义第2章导数与微分」46922.pdf

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1、第 2 章 导数与微分 1 极限概念 研究函数是利用极限的方法来进行；极限是一个变量在变化过程中的变化趋势.例 1 圆的周长的求法.早在公元63 年,古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形等的边长近似圆的周长，显然随着边数的增加,正多边形的边长将无限趋近圆的周长.例 2 讨论当x时，x1的变化趋势.例 3 讨论一个定长的棒，每天截去一半,随着天数的增加,棒长的变化趋势。“一尺之棰，日截其半，万世不竭”庄子天下 定义 2.3 设函数)(xf在点0 x的邻域(点0 x可以除外）内有定义,如果当x无限趋于0 x(但0 xx）时，)(xf无限趋近于某个常数A，则称x趋于0 x时

2、,)(xf以A为极限,记为 Axfxx)(lim0 或Axf)()(0 xx 若自变量x趋于0 x时,函数)(xf没有一个固定的变化趋势,则称函数)(xf在0 x处没有极限 在理解极限定义时要注意两个细节：.0 xx 时,(0 xx)2.00000)()(xxxxxxxx(包括这两种情况)例 1 讨论2xy 时，22lim xx=?解:求极限时,可以利用极限的概念和直观的了解,我们可以借助几何图形来求函数的极限由几何图形可以看出,当2x时，42 xy，即22lim xx=4 例 2 讨论函数112xxy,当1x时的极限11lim21xxx 解:此函数在1x处没有定义，可以借助图形求极限由 图形

3、得到211lim21xxx 2.13 左极限和右极限 考虑函数xy,依照极限的定义,不能考虑0 x的极限.因为xy 在0 x处无定义 又如函数010)(xxxxf，如果讨论0 x是的极限，则函数分别在0 x和0 x时不是同一个表达式，必须分别考虑由此引出左右极限的概念.定义 24 设函数f x()在点x0的邻域（x0点可以除外)内有定义,如果当xx0且x无限于x0(即x从x0的左侧趋于x0，记为xx0）时，函数f x()无限地趋近于常数 L,则称当x趋于x0时，f x()以 L 为左极限，记作=L；如果当xx0且无限趋于x0（即 x 从x0的右侧趋于x0，记为xx0）时,函数f x()无限地趋

4、近于常数R,则称当x趋于x0时,f x()以R为右极限，记作=R 极限存在的充分必要条件：极限)(lim0 xfxx存在的充分必要条件是:函数f x()在0 x处的左，右极限都存在且相等即 例 3 010)(xxxxf,求)(lim0 xfx 解:注意到此函数当x=0 的两侧表达式是不同，在 0 点处分别求左、右极限.11lim)(lim00 xxxf，0lim)(lim00 xxfxx 可见左右极限都存在但不相等;由几何图形易见,由极限的定义知，函数在某点处有极限存在需在该点处的左右端同趋于某个常数,因此此函数在 0 点处极限不存在.2.1.4 无穷小量 0)(lim0 xfxx称当0 xx

5、 时，)(xf为无穷小量,简称无穷小.补充内容：无穷小量是一个特殊的变量,它与有极限变量的关系是:变量y以为极限的充分必要条件是:y可以表示成A与一个无穷小量的和,即)0(limlimAyAy 无穷小量的有以下性质：性质 1 有限个无穷小量的和是无穷小量；性质 2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量；性质 3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量 无穷大量:在某个变化过程中,绝对值无限增大且可以大于任意给定的正实数的变量称为无穷大量.例如 因为xx2lim,所以，当x时,x2是无穷大量.无穷小量与无穷大量有如下“倒数关系”：定理：当0 xx(或x）时,若)(xf是无穷小（而0)(xf），则)(1xf

6、是无穷大；反之，若)(xf是无穷大,则是无穷小 例 4 2xy，当0 x时，?2x 解：由图形可知,当0 x时，02x,当0 x时,2x是无穷小量.2 极限的运算 2.2.极限的四则运算法则 在某个变化过程中,变量vu,分别以BA,为极限,则 BAvuvulimlim)lim(，BAvuvulimlim)lim(例 1 求22lim xx 解:422)lim)(lim()(limlim22222xxxxxxxxx 例 2 求11lim21xxx 解:21)1(lim1)1)(1(lim11lim1121xxxxxxxxx 例 3 求xxxx2231lim 解:31)13()11(lim31li

7、m22222xxxxxxxxx 例 求xxx11lim0 解:)11()11)(11(lim11lim00 xxxxxxxx )11(lim0 xxxx21111lim0 xx 2 .两 个 重 要 极 限 1.1sinlim0 xxx 几何说明:如图，设x为单位圆的圆心角，则x对应的小三角形的面积为2sin x，x对应的扇形的面积为2x,x对应的大三角形的面积为2tan x当0 x时，它们的面积都是趋于0 的，即之比的极限是趋于 1 的.例 1 xxx3sinlim0 解：xxx3sinlim0333sin3lim0 xxx333sinlim0 xxx 2e)11(limxxx e)1(li

8、m10 xxx 例 2 求极限xxx)311(lim 解:31313313e)311(lim)311(lim)311(limxxxxxxxxx 例 3 求极限xxx10)21(lim 解 22210)2(21010e)2(1(lim)2(1(lim)21(limxxxxxxxxx 23 函数的连续性 定义 设函数)(xf在点0 x的邻域内有定义，若满足)()(lim00 xfxfxx,则称函数)(xf在点0 x处连续点0 x是)(xf的连续点.函数间断、间断点的概念 如果函数f x()在点x0处不连续,则称f x()在点x0处发生间断.使f x()发生间断的点x0，称为f x()的间断点 例如

9、 函数32,xyxy，xyxycos,sin,xyxye,ln 在定义域内都是连续的.例 1 13211)(xxxxxf ,问)(xf在1x处是否连续?注意:此函数是分段函数，1x是函数的分段点.解:1)32(lim)(lim11xxfxx,2)1(lim)(lim11xxfxx)(lim1xfx不存在,)(xf在1x处是间断的.例 2 0001sinxxxxy ,问)(xf在0 x处是否连续？解：)0(01sinlim)(lim00fxxxfxx (无穷小量有界变量无穷小量）)(xf在0 x处是连续的.结论:(1）基本初等函数在其定义域内是连续的；(2)连续函数的四则运算、复合运算在其有定义处连续；(3）初等函数在其定义区间内是连续的.例 3xxxx220cos1elim 解:21110cos01ecos1elim220220 xxxx 注意：xxx22cos1e是初等函数,在0 x处有定义，利用 结论有极限值等于函数值.24 导 数 与 微 分 的 概 念 本节的主要内容是导数与微分的概念.三个引例 边际成本问题 瞬时速率问题 曲线切线问题 引例 1:边际成本问题 总成本,q总产量 已知 时当qqqqCC00),(当自变量产生改变量，相应的函数也产生改变量)()(0qqCqC），qqCqqC)()(00（成本平均变化率),qqCqqCq)()(lim000(边际成本)