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1、 专题 6.3 等比数列及其前 n 项和 1.理解等比数列的概念 2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题 4.了解等比数列与指数函数的关系 知识点一 等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q(q0)表示 数学语言表达式:anan1q(n2,q 为非零常数),或an1anq(nN*,q 为非零常数)知识点二 等比数列的通项公式及前 n 项和公式(1)若等比数列an的首项为 a1,公比是 q,则其通项公
2、式为 ana1qn1;通项公式的推广:anamqnm.(2)等比数列的前 n 项和公式:当 q1 时,Snna1;当 q1 时,Sna1(1qn)1q a1anq1q.知识点三 等比数列及前 n 项和的性质(1)如果 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项即:G 是 a 与 b 的等比中项a,G,b成等比数列G2ab.(2)若an为等比数列,且 klmn(k,l,m,nN*),则 akalaman(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即 ak,akm,ak2m,仍是等比数列,公比为 qm(4)当 q1,或 q1 且 n 为奇数时,Sn,S2nSn,S3nS2n仍成
3、等比数列,其公比为 qn【必会结论】等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:anamqnm(n,mN*)(2)若 mnpq2k(m,n,p,q,kN*),则 amanapaqa2k.(3)若数列an,bn(项数相同)是等比数列,则an,1an,a2n,anbn,anbn(0)仍然是等比数列 (4)在等比数列an中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 an,ank,an2k,an3k,为等比数列,公比为 qk.(5)公比不为1 的等比数列an的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2nSn,S3nS2n仍成等比数列,其公比为 qn.(6)等比数列an满足 a10,q1或 a10,0q0,0q1或
4、 a11时,an是递减数列 考点一 等比数列基本量的运算【典例 1】【2019 年高考全国 I 卷理数】记 Sn为等比数列an的前 n 项和若,则 S5=_。【方法技巧】(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量 a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解;(2)等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论,当 q1 时,an的前 n 项和 Snna1;当 q1时,an的前 n 项和 Sna11qn1qa1anq1q。【变式 1】【2019 年高考全国 III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项和为 15,
5、且,则a3=()A16 B8 C4 D2 考点二 等比数列的判定与证明【典例 2】(2018全国高考)已知数列满足,设(1)求;(2)判断数列是否为等比数列,并说明理由;(3)求的通项公式【方法技巧】等比数列的判定方法 定义法 若an1anq(q 为非零常数,nN*)或anan1q(q 为非零常数且 n2,nN*),则an是等比数列 中项公式法 若数列an中,an0 且 a2n1anan2(nN*),则an是等比数列 通项公式法 若数列an的通项公式可写成 ancqn1(c,q 均为非零常数,nN*),则an是等比数列 前 n 项和公式法 若数列an的前 n 项和 Snkqnk(k 为非零常数
6、,q0,1),则an是等比数列 【特别提醒】(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法,常用于证明;后两种方法常用于选择题、填 空题中的判定;(2)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等比数列即可。【变式 2】(山东东营一中 2019 届高三模拟)已知数列an的前 n 项和为 Sn,a11,Sn14an2(nN*),若 bnan12an,求证:bn是等比数列。考点三 等比数列的性质及应用【典例 3】(湖南长郡中学 2019 届高三模拟)(1)已知等比数列an的各项为正数,且 a5a6a4a718,则 log3a1log3a2log3a10()A12 B10 C8 D2log3
7、5(2)设等比数列an中,前 n 项和为 Sn,已知 S38,S67,则 a7a8a9等于()A.18 B18 C.578 D.558(3)已知等比数列an共有 2n 项,其和为240,且奇数项的和比偶数项的和大 80,则公比 q_.【方法技巧】(1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若 mnpq(m,n,p,qN*),则 amanapaq”,可以减少运算量,提高解题速度(2)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形此外,解题时注意设而不求思想的运用【变式 3】(浙江效实中学 2019 届高三模拟)在等比数列an中,如果 a1a240,a3a460,那么 a7a8()A135 B100 C95 D80 考点四 等比数列的前 n 项和【典例 4】(2018全国卷)等比数列an中,a11,a54a3.(1)求an的通项公式;(2)记 Sn为an的前 n 项和若 Sm63,求 m.【变式 4】(江苏启东中学 2019 届高三模拟)已知数列an的首项 a10,an13an2an1(nN*),且 a123.(1)求证:1an1 是等比数列,并求出an的通项公式;(2)求数列1an的前 n 项和 Tn.
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