重庆康德卷2023学年高三(最后冲刺)数学试卷(含解析)35319.pdf

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1、2023 学年高考数学模拟测试卷 注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1函数2()1 cos1xf xxe图象的大致形状是（）A B C D 2i是虚数单位，复数1zi 在复

2、平面上对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3函数24yx的定义域为A，集合2log11Bxx，则AB（）A12xx B22xx C23xx D13xx 4给出50个数 1，2，4，7，11，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大 1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，以此类推，要计算这50个数的和现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在图中判断框中的处和执行框中的处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能()Ai50；ppi Bi50；ppi Ci50；pp 1 Di50；pp 1 5已知i是虚数单位，若1zai，2zz，则实数a（）A2或2 B-

3、1 或 1 C1 D2 6以下关于()sin 2cos 2f xxx的命题，正确的是 A函数 f x在区间20,3上单调递增 B直线8x需是函数 yf x图象的一条对称轴 C点,04是函数 yf x图象的一个对称中心 D将函数 yf x图象向左平移需8个单位，可得到2sin 2yx的图象 7一个四面体所有棱长都是 4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（）A24 B8 6 C4 33 D12 8一个正四棱锥形骨架的底边边长为2，高为2，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（）A4 3 B4 C4 2 D3 9要得到函数sin 23yx的图象，只需将函数sin 2yx的

4、图象（）A向右平移6个单位 B向右平移3个单位 C向左平移3个单位 D向左平移6个单位 1020201ii（）A2 2 B 2 C1 D1 4 11若i为虚数单位，则复数22sincos33zi 的共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 12已知集合2|230Ax xx，集合|10Bx x，则()ABR（）.A(,1)3,)B(,13,)C(,1)(3,)D(1,3)二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若函数2,0()2,0 xf xxx，则使得不等式()0f f a成立的a的取值范围为_.14在二项式622x 的展开式中

5、，8x的系数为_.15已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，5,15,2 5PABCPBACPCAB，则球O的表面积为_.16已知正实数,x y满足1xy，则()()xyyxyx的最小值为 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cossinxy（为参数，将曲线C经过伸缩变换112xxyy后得到曲线1C.在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cossin50.（1）说明曲线1C是哪一种曲线，并将曲线1C的方程化为极坐标方程；（2）已知点M是曲线1C上的任意一点，又直线l上有两

6、点E和F，且|5EF，又点E的极角为2，点F的极角为锐角.求：点F的极角；EMF面积的取值范围.18（12 分）已知函数()(0)xaxf xae.（1）求函数()f x的单调区间；（2）当1a 时，如果方程()f xt有两个不等实根1,x2x，求实数 t 的取值范围，并证明122xx.19（12 分）已知函数 3cos2sin2f xxx，将 f x的图象向左移0 个单位，得到函数 yg x的图象.（1）若4，求 yg x的单调区间；（2）若0,2，yg x的一条对称轴是12x，求 yg x在0,2x的值域.20（12 分）如图，三棱锥PABC中，点D，E分别为AB，BC的中点，且平面PDE

7、 平面ABC 1求证：/AC平面PDE；2若2PDAC，3PE，求证：平面PBC 平面ABC.21（12 分）设数阵111202122aaAaa，其中11a、12a、21a、221,2,6a 设 12,1,2,6lSe ee，其中12leee，lN且6l定义变换k为“对于数阵的每一行，若其中有k或k，则将这一行中每个数都乘以1；若其中没有k且没有k，则这一行中所有数均保持不变”（1ke、2e、le）0SA表示“将0A经过1e变换得到1A，再将1A经过2e变换得到2A、，以此类推，最后将1lA经过le变换得到lA”，记数阵lA中四个数的和为 0STA（1）若01215A，写出0A经过2变换后得到

8、的数阵1A；（2）若01336A，1,3S，求 0STA的值；（3）对任意确定的一个数阵0A，证明：0STA的所有可能取值的和不超过4 22（10 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221(0)xyabab的左、右顶点分别为A、B，焦距为 2，直线l与椭圆交于,C D两点（均异于椭圆的左、右顶点）.当直线l过椭圆的右焦点F且垂直于x轴时，四边形ACBD的面积为 6.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线,AC BD的斜率分别为12,k k.若213kk，求证：直线l过定点；若直线l过椭圆的右焦点F，试判断12kk是否为定值，并说明理由.2023 学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选

9、择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】判断函数 f x的奇偶性，可排除 A、C，再判断函数 f x在区间0,2上函数值与0的大小，即可得出答案.【题目详解】解：因为21()1 coscos11xxxef xxxee，所以 111()coscoscos111xxxxxxeeefxxxxf xeee，所以函数 f x是奇函数，可排除 A、C；又当0,2x，0f x，可排除 D；故选：B.【答案点睛】本题考查函数表达式判断函数图像，属于中档题.2、D【答案解析】求出复数z在复平面内对应的点的坐标，即可得出结论.【

10、题目详解】复数1zi 在复平面上对应的点的坐标为1,1，该点位于第四象限.故选：D.【答案点睛】本题考查复数对应的点的位置的判断，属于基础题.3、A【答案解析】根据函数定义域得集合A，解对数不等式得到集合B，然后直接利用交集运算求解.【题目详解】解：由函数24yx得240 x，解得22x，即22Axx；又22log11og 2lx，解得1x，即1Bx x，则12ABxx.故选：A.【答案点睛】本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题.4、A【答案解析】要计算这50个数的和，这就需要循环 50 次，这样可以确定判断语句，根据累加最的变化规律可以确定语句.【题目详解】因为计算这50

11、个数的和，循环变量i的初值为 1，所以步长应该为 1，故判断语句应为1ii，第1个数是1，第2个数比第1个数大 1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，这样可以确定语句为ppi，故本题选 A.【答案点睛】本题考查了补充循环结构，正确读懂题意是解本题的关键.5、B【答案解析】由题意得，2111zzaiaia，然后求解即可【题目详解】1zai，2111zzaiaia.又2zz，212a，1a.【答案点睛】本题考查复数的运算，属于基础题 6、D【答案解析】利用辅助角公式化简函数得到()2sin(2)4f xx，再逐项判断正误得到答案.【题目详解】()sin2cos22sin(2)4f x

12、xxx A 选项，132(,)4413220,xx 函数先增后减，错误 B 选项，2084xx不是函数对称轴，错误 C 选项，2444xx，不是对称中心，错误 D 选项，图象向左平移需8个单位得到2sin(2()2sin 284yxx，正确 故答案选 D【答案点睛】本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键.7、A【答案解析】将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可【题目详解】解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同，四面体所有棱长都是 4，正方体的棱长为2

13、2，设球的半径为r，则2222 24r，解得6r，所以2424Sr，故选：A【答案点睛】本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题 8、B【答案解析】根据正四棱锥底边边长为2，高为2，得到底面的中心到各棱的距离都是 1，从而底面的中心即为球心.【题目详解】如图所示：因为正四棱锥底边边长为2，高为2，所以2,2OBSB，O 到SB 的距离为1SOOBdSB，同理O到,SC SD SA 的距离为 1，所以O为球的球心，所以球的半径为：1，所以球的表面积为4.故选：B【答案点睛】本题主要考查组合体的表面积

14、，还考查了空间想象的能力，属于中档题.9、D【答案解析】直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可；【题目详解】解：函数sin 2sin 236yxx，要得到函数sin 23yx的图象，只需将函数sin 2yx的图象向左平移6个单位 故选：D【答案点睛】本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题 10、A【答案解析】利用复数的乘方和除法法则将复数20201ii化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结果.【题目详解】5052020450511ii，20201111111122iiiiiii，因此，2220201121222ii.故选：A.【答案点睛】本题考查复数模长的计算，同时也考查了

15、复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.11、B【答案解析】由共轭复数的定义得到z，通过三角函数值的正负，以及复数的几何意义即得解【题目详解】由题意得22sincos33zi，因为23sin032，21cos032，所以z在复平面内对应的点位于第二象限 故选：B【答案点睛】本题考查了共轭复数的概念及复数的几何意义，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.12、A【答案解析】算出集合 A、B 及AB，再求补集即可.【题目详解】由2230 xx，得13x，所以|13Axx，又|1Bx x，所以|13ABxx，故()ABR|1x x 或3x.故选：A.【答案点睛】本题

16、考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、0,【答案解析】分0a，0a 两种情况代入讨论即可求解.【题目详解】2,0()2,0 xf xxx，当0a 时，220ff af，0a 符合；当0a 时，20ff afaa，0a不满足()0f f a.故答案为：0,【答案点睛】本题主要考查了分段函数的计算，考查了分类讨论的思想.14、60【答案解析】直接利用二项式定理计算得到答案.【题目详解】二项式622x 的展开式通项为：6212 216622rrrrrrrTCxC x，取2r，则8x的系数为226260C.故答

17、案为：60.【答案点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.15、30【答案解析】如图所示，将三棱锥PABC补成长方体，球O为长方体的外接球，长、宽、高分别为,a b c，计算得到302R，得到答案.【题目详解】如图所示，将三棱锥PABC补成长方体，球O为长方体的外接球，长、宽、高分别为,a b c，则22222225,15,20,abacbc，所以22230abc，所以球O的半径302R，则球O的表面积为223044302SR.故答案为：30.【答案点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将三棱锥PABC补成长方体是解题的关键.16、4【

18、答案解析】由题意结合代数式的特点和均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【题目详解】xyyxyx221xyxyyx 332xyxy332xy3322 x y4.当且仅当1xy时等号成立.据此可知：xyyxyx的最小值为4.【答案点睛】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）曲线1C为圆心在原点，半径为 2 的圆.1C的极坐标方程为2（2）825 225

19、 25,544【答案解析】（1）求得曲线C伸缩变换后所得1C的参数方程，消参后求得1C的普通方程，判断出1C对应的曲线，并将1C的普通方程转化为极坐标方程.（2）将E的极角代入直线l的极坐标方程，由此求得点E的极径，判断出EOF为等腰三角形，求得直线l的普通方程，由此求得4FEO，进而求得38FOE，从而求得点F的极角.解法一：利用曲线1C的参数方程，求得曲线1C上的点M到直线l的距离d的表达式，结合三角函数的知识求得d的最小值和最大值，由此求得EMF面积的取值范围.解法二：根据曲线1C表示的曲线，利用圆的几何性质求得圆1C上的点到直线l的距离的最大值和最小值，进而求得EMF面积的取值范围.【

20、题目详解】（1）因为曲线C的参数方程为2cos,sinxy（为参数），因为11,2xxyy则曲线1C的参数方程112cos,2sinxy 所以1C的普通方程为22114xy.所以曲线1C为圆心在原点，半径为 2 的圆.所以1C的极坐标方程为24，即2.（2）点E的极角为2，代入直线l的极坐标方程cossin50得点E 极径为5，且|5EF，所以EOF为等腰三角形，又直线l的普通方程为50 xy，又点F的极角为锐角，所以4FEO，所以38FOE，所以点F的极角为3288.解法 1：直线l的普通方程为50 xy.曲线1C上的点M到直线l的距离 2 2sin54|2cos2sin5|22d.当sin

21、14，即24k（kZ）时，d取到最小值为|2 25|5 2222.当sin14，即324k（kZ）时，d取到最大值为|2 25|5 2222.所以EMF面积的最大值为15 225 2525224；所以EMF面积的最小值为15 225 2525224；故EMF面积的取值范围25 225 25,544.解法 2：直线l的普通方程为50 xy.因为圆1C的半径为 2，且圆心到直线l的距离|005|5 222d，因为5 222，所以圆1C与直线l相离.所以圆1C上的点M到直线l的距离最大值为5 222dr，最小值为5 222dr.所以EMF面积的最大值为15 225 2525224；所以EMF面积的最

22、小值为15 225 2525224；故EMF面积的取值范围25 225 25,544.【答案点睛】本小题考查坐标变换，极径与极角；直线，圆的极坐标方程，圆的参数方程，直线的极坐标方程与普通方程，点到直线的距离等.考查数学运算能力，包括运算原理的理解与应用、运算方法的选择与优化、运算结果的检验与改进等.也兼考了数学抽象素养、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.18、（1）当0a 时，()f x的单调递增区间是(,1)，单调递减区间是(1,)；当0a 时，()f x的单调递增区间是(1,)，单调递减区间是(,1)；（2）10,e，证明见解析.【答案解析】（1）求出()fx，对a分类讨论，分别求

23、出()0,()0fxfx的解，即可得出结论；（2）由（1）得出()f xt有两解时t的范围，以及12,t x x关系，将122xx，等价转化为证明121212121xxxxxxee，不妨设12xx，令12mxx，则0,m 1me，即证(2)20mmem，构造函数()(2)2(0)xg xxexx，只要证明对于任意0,()0 xg x恒成立即可.【题目详解】（1）()f x的定义域为 R，且(1)()xaxfxe.由10 xxe，得1x；由10 xxe，得1x.故当0a 时，函数()f x的单调递增区间是(,1)，单调递减区间是(1,)；当0a 时，函数()f x的单调递增区间是(1,)，单调递

24、减区间是(,1).（2）由（1）知当1a 时，()xxf xe，且max1()(1)f xfe.当0 x 时，()0f x；当0 x 时，()0f x.当10te 时，直线yt与()yf x的图像有两个交点，实数 t 的取值范围是10,e.方程()f xt有两个不等实根1,x2x，11xxte，22xxte，11xxte，22xxte，1212xxxxt ee，即122xxxtee.要证122xx，只需证122xxt ee，即证1212122xxxxxxeeee，不妨设12xx.令12mxx，则0,m 1me，则要证121mmm ee，即证(2)20mmem.令()(2)2(0)xg xxex

25、x，则()(1)1xg xxe.令()(1)1xh xxe，则()0 xh xxe，()(1)1xh xxe在(0,)上单调递增，()(0)0h xh.()0g x，()g x在(0,)上单调递增，()(0)0g xg，即(2)20 xxex成立，即(2)20mmem成立.122xx.【答案点睛】本题考查函数与导数的综合应用，涉及到函数单调性、极值、零点、不等式证明，构造函数函数是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.19、（1）增区间为5,63kkkZ，减区间为,36kkkZ；（2）2,3.【答案解析】（1）由题意利用三角函数图象变换规律求得 yg x的解析式，然

26、后利用余弦函数的单调性，得出结论；（2）由题意利用余弦函数的图象的对称性求得，再根据余弦函数的定义域和值域，得出结论【题目详解】由题意得 2cos 26fxx（1）yf x向左平移4个单位得到 22cos 22cos 2463g xxx，增区间：解不等式22223kxkkZ，解得563kxkkZ，减区间：解不等式22223kxkkZ，解得36kxkkZ.综上可得，yg x的单调增区间为5,63kkkZ，减区间为,36kkkZ；（2）由题易知，2cos 226g xx，因为 yg x的一条对称轴是12x，所以266k，kZ，解得26k，kZ.又因为0,2，所以3，即 52cos 26g xx.因

27、为0,2x，所以55112,666x，则53cos 21,62x，所以 yg x在0,2x的值域是2,3.【答案点睛】本题主要考查三角函数图象变换规律，余弦函数图象的对称性，余弦函数的单调性和值域，属于中档题 20、1证明见解析；2证明见解析.【答案解析】1利用线面平行的判定定理求证即可；2D为AB中点，E为BC中点，可得112DEAC，2PD，3PE，可知222PDPEDE，故PDE为直角三角形，PEDE，利用面面垂直的判定定理求证即可.【题目详解】解：1证明：D为AB中点，E为BC中点，/ACDE，又AC 平面PDE，DE 平面PDE，/AC平面PDE；2证明：D为AB中点，E为BC中点，

28、112DEAC，又2PD，3PE，则222PDPEDE，故PDE为直角三角形，PEDE，平面PDE 平面ABC，平面PDE平面ABCDE，PEDE，PE 平面PDE，PE 平面ABC，又PE 平面PBC，平面PBC 平面ABC.【答案点睛】本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的应用，属于基础题.21、（1）11215A；（2）5；（3）见解析.【答案解析】（1）由01215A，能求出0A经过2变换后得到的数阵1A；（2）由01336A，1,3S，求出数阵0A经过s变化后的矩阵，进而可求得 0STA的值；（3）分1112aa和1112aa两种情况讨论，推导出变换后数阵lA的第一行和第二行的数字之

29、和，由此能证明 0STA的所有可能取值的和不超过4【题目详解】（1）01215A，0A经过2变换后得到的数阵11215A；（2）01336A经s变换后得1336，故 01 3365sTA ；（3）若1112aa，在1,2,3,4,5,6的所有非空子集中，含有11a且不含12a的子集共42个，经过变换后第一行均变为11a、12a；含有12a且不含11a的子集共42个，经过变换后第一行均变为11a、12a；同时含有11a和12a的子集共42个，经过变换后第一行仍为11a、12a；不含11a也不含12a的子集共421个，经过变换后第一行仍为11a、12a 所以经过变换后所有lA的第一行的所有数的和为

30、 44441112111211121112111222221aaaaaaaaaa .若1112aa，则1,2,3,4,5,6的所有非空子集中，含有11a的子集共52个，经过变换后第一行均变为11a、12a；不含有11a的子集共521个，经过变换后第一行仍为11a、12a 所以经过变换后所有lA的第一行的所有数的和为55111211121112221aaaaaa 同理，经过变换后所有lA的第二行的所有数的和为2122aa 所以 0sTA的所有可能取值的和为11122122aaaa，又因为11a、12a、21a、221,2,6a，所以 0sTA的所有可能取值的和不超过4【答案点睛】本题考查数阵变换

31、的求法，考查数阵中四个数的和不超过4的证明，考查类比推理、数阵变换等基础知识，考查运算求解能力，综合性强，难度大 22、（1）22143xy；（2）证明见解析；1231kk【答案解析】（1）由题意焦距为 2，设点0(1,)Cy，代入椭圆22221(0)xyabab，解得20bya，从而四边形ACBD的面积226222ABCbSaba，由此能求出椭圆的标准方程（2）由题意1:(2)ACyk x，联立直线与椭圆的方程22143xy，得22211(34)16120kxk，推导出212186(34kCk，12112)34kk，222286(34kDk，22212)34kk，由此猜想：直线l过定点(1,

32、0)P，从而能证明P，C，D三点共线，直线l过定点(1,0)P 由题意设1(C x，1)y，2(D x，2)y，直线:1l xmy，代入椭圆标准方程：22143xy，得22(34)690mymy，推导出122634myym，122934y ym，由此推导出111121212122212112222(2)(1)1(2)(3)332ykxy xy mymy yyykyxy mymy yyx（定值）【题目详解】（1）由题意焦距为 2，可设点0(1,)Cy，代入椭圆22221(0)xyabab，得202211yab，解得20bya，四边形ACBD的面积226222ABCbSaba，23b，24a，椭圆

33、的标准方程为22143xy（2）由题意1:(2)ACyk x，联立直线与椭圆的方程22143xy，得22211(34)16120kxk，211211612234kxk，解得211216834kxk，从而11112112(1)34kyk xk，212186(34kCk，12112)34kk，同理可得222286(34kDk，22212)34kk，猜想：直线l过定点(1,0)P，下证之：213kk，12221222122212121234348686113434PCPDkkkkkkkkkk 1211112222221211114124364401449143691414kkkkkkkkkkkk，P

34、，C，D三点共线，直线l过定点(1,0)P 12kk为定值，理由如下：由题意设1(C x，1)y，2(D x，2)y，直线:1l xmy，代入椭圆标准方程：22143xy，得22(34)690mymy，221,2263636(34)2(34)mmmym，122634myym，122934y ym，111121212122212112222(2)(1)(2)(3)32ykxy xy mymy yyykyxy mymy yyx 222222222963()34343499333434mmmyymmmmmyymm 2222313493334mymmym（定值）【答案点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线过定点的证明，考查两直线的斜率的比值是否为定值的判断与求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题