辽宁省鞍山市第八中学2023学年高考冲刺押题(最后一卷)数学试卷(含解析)35550.pdf

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1、2023 学年高考数学模拟测试卷 请考生注意：1请用 2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用 05 毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知,aR bR，则“直线210axy 与直线(1)210axay 垂直”是“3a”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三

2、个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边,AB AC.已知以直角边,AC AB为直径的半圆的面积之比为14，记ABC，则sin 2（）A925 B1225 C35 D45 3设ln2m，lg2n，则（）Amnmnmn Bmnmnmn Cmnmnmn Dmnmnmn 4若集合 M1，3，N1，3，5，则满足 MXN 的集合 X 的个数为()A1 B2 C3 D4 5若函数()yf x的定义域为 Mx|2x2，值域为 Ny|0y2,则函数()yf x的图像可能是（）A B C D 6已知双曲线C：22221xyab（0a，0b）的焦距为2c.点A为双曲线C的右顶点，若点A

3、到双曲线C的渐近线的距离为12c，则双曲线C的离心率是（）A2 B3 C2 D3 7若 0,1x时，|2|0 xexa，则a的取值范围为（）A1,1 B2,2e e C2e,1 D2ln 22,1 8在关于x的不等式2210axx 中，“1a”是“2210axx 恒成立”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9 设双曲线22221yxab（0a，0b）的一条渐近线与抛物线213yx有且只有一个公共点，且椭圆22221xyab的焦距为 2，则双曲线的标准方程为（）A22143xy B22143yx C22123xy D22132yx 10已知函数，其中04

4、?,?04bc，记函数满足条件：(2)12(2)4ff为事件A，则事件A发生的概率为 A14 B58 C38 D12 11在平面直角坐标系xOy中，已知点0,2A，1,0N，若动点M满足2MAMO，则OM ON的取值范围是（）A0,2 B0,2 2 C2 2,D2 2,2 2 12O是平面上的一定点，,A B C是平面上不共线的三点，动点P满足+OPOA()cos?cosABACABBACC，(0,)，则动点P的轨迹一定经过ABC的（）A重心 B垂心 C外心 D内心 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名代表，甲被选中的概率为_.14

5、已知向量2,6a，3,bm，若abab，则m _.15若函数 1sin 262f xx在区间0,上恰有 4 个不同的零点，则正数的取值范围是_.16秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分別为 4，5，则输出v的值为_.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右顶点分别为1A、2A，上、下顶点分别为1B，2B，F为其右焦点，1111B A B F，且该椭圆的离心率为12；（）求椭圆C的标准方程；（）过点1A作斜率为k

6、的直线l交椭圆C于x轴上方的点P，交直线4x 于点D，直线2A D与椭圆C的另一个交点为G，直线OG与直线1A D交于点H若11APAH，求取值范围 18（12 分）已知函数()e2xf xmxm.（1）当1m 时，求曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程；（2）若()0f x 在(0,)上恒成立，求m的取值范围 19（12 分）设函数 ln1f xxax.（1）若函数 yf x在1,是单调递减的函数，求实数a的取值范围；（2）若0nm，证明：2ln2lnnnmm.20（12 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1 cos,1 sinxtyt （t为参数），以坐标原点O为极

7、点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为02，直线l交曲线C于,A B两点，P为AB中点.（1）求曲线C的直角坐标方程和点P的轨迹2C的极坐标方程；（2）若|3ABOP，求的值.21（12 分）已知123,0,x x x，且满足1231233xxxx x x，证明：12233 13x xx xx x.22（10 分）ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知22abcab.（1）求角C；（2）若4 cossin02cAbC，1a，求ABC的面积.2023 学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个

8、选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】由两直线垂直求得则0a 或3a，再根据充要条件的判定方法，即可求解.【题目详解】由题意，“直线210axy 与直线(1)210axay 垂直”则(1)2(2)0a aa ，解得0a 或3a，所以“直线210axy 与直线(1)210axay 垂直”是“3a”的必要不充分条件，故选 B.【答案点睛】本题主要考查了两直线的位置关系，及必要不充分条件的判定，其中解答中利用两直线的位置关系求得a的值，同时熟记充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.2、D【答案解析】由半圆面积之比，可求出两个直角边,AB AC 的长度之比

9、，从而可知1tan2ACAB，结合同角三角函数的基本关系，即可求出sin,cos，由二倍角公式即可求出sin2.【题目详解】解：由题意知0,2，以AB 为直径的半圆面积21122ABS，以AC 为直径的半圆面积22122ACS，则222114SACSAB，即1tan2ACAB.由22sincos1sin1tancos2，得5sin52 5cos5，所以52 54sin22sincos2555.故选:D.【答案点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值.3、D【答案解析】由不等式的性质及换底公式即可得解.【题目详解】解：因为ln2m，lg2n，则

10、mn，且,0,1m n，所以mnmn，mnmn，又2222111110log 10logloglog 21lg2ln2enme,即1mnmn,则mnmn，即mnmnmn，故选：D.【答案点睛】本题考查了不等式的性质及换底公式，属基础题.4、D【答案解析】X可以是 5,1,5,3,5,1,3,5共 4 个，选 D.5、B【答案解析】因为对 A 不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；对 B 满足函数定义，故符合；对 C 出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；对 D 因为值域当中有的元素没有原象，故可否定 故选 B 6、A【答案解析】由点到直

11、线距离公式建立,a b c的等式，变形后可求得离心率【题目详解】由题意(,0)A a，一条渐近线方程为byxa，即0bxay，2212abdcab，222214a bcc，即22222()14a cacc，42440ee，2e 故选：A【答案点睛】本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础 7、D【答案解析】由题得22xxxeaxe对 0,1x 恒成立，令 2g2，xxf xxexxe，然后分别求出 maxmin，f xg x即可得a的取值范围.【题目详解】由题得22xxxeaxe对 0,1x 恒成立，令 2g2，xxf xxexxe，2xfxe在 0,1单调递减，且

12、ln20f，f x在0,ln 2上单调递增，在ln2,1上单调递减，maxln22ln22af xf，又 g2xxxe在 0,1单调递增，min01ag xg，a的取值范围为2ln 22,1.故选：D【答案点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变量分离法去求解.8、C【答案解析】讨论当1a 时，2210axx 是否恒成立；讨论当2210axx 恒成立时，1a 是否成立，即可选出正确答案.【题目详解】解：当1a 时，440a，由221yaxx开口向上，则2210axx 恒成立；当2210axx 恒成立时，若0a，则210 x

13、不恒成立，不符合题意，若0a 时，要使得2210axx 恒成立，则0440aa ，即1a .所以“1a”是“2210axx 恒成立”的充要条件.故选:C.【答案点睛】本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若pq，则推出p 是q 的充分条件；若qp，则推出p 是q 的必要条件.9、B【答案解析】设双曲线的渐近线方程为ykx，与抛物线方程联立，利用0，求出k的值，得到ab的值，求出,a b关系，进而判断,a b大小，结合椭圆22221xyab的焦距为 2，即可求出结论.【题目详解】设双曲线的渐近线方程为ykx，代入抛物线方程得2103xkx，依题意2

14、420,33kk ，22,33aabbb，椭圆22221xyab的焦距2222ab，22222411,3,433bbbba，双曲线的标准方程为22143yx.故选:B.【答案点睛】本题考查椭圆和双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质，要注意双曲线焦点位置，属于中档题.10、D【答案解析】由(2)12(2)4ff得4212424bcbc，分别以,b c为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系，由图可知，12P A.11、D【答案解析】设出M的坐标为(,)x y，依据题目条件，求出点M的轨迹方程22(2)8xy，写出点M的参数方程，则c2 2 osOM ON，根据余弦函数自身的范围，可求得OM ON结

15、果.【题目详解】设(,)M x y，则 2MAMO，0,2A 2222(2)2xyxy 2222(2)2()xyxy 22(2)8xy为点M的轨迹方程 点M的参数方程为2 2cos22 2sinxy（为参数）则由向量的坐标表达式有：c2 2 osOM ON 又cos 1,1 22cos 2 2,2 2OM ON 故选：D【答案点睛】考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：直接法；定义法；相关点法；参数法；待定系数法 12、B【答案解析】解出AP，计算AP BC并化简可得出结论【题目详解】APOPO

16、A（ABACAB cosBAC cosC），.0AB BCAC BCAP BCBCBCAB cosBAC cosC，APBC，即点 P 在 BC 边的高上，即点 P 的轨迹经过 ABC 的垂心 故选 B【答案点睛】本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算AP BC是关键 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、25【答案解析】甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有14C种方法,从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有25C种方法,根据公式即可求得概率.【题目详解】甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有14C种方法,从甲、乙、丙、丁

17、、戊五人中任选两名共有25C种方法,1425125CPC.故答案为:25.【答案点睛】本题考查古典概型的概率的计算,考查学生分析问题的能力,难度容易.14、1【答案解析】根据向量加法和减法的坐标运算,先分别求得ab与ab,再结合向量的模长公式即可求得m的值.【题目详解】向量2,6a,3,bm 则5,6abm,1,6abm 则222561261abmmm 222161237abmmm 因为abab 即2212611237mmmm,化简可得12611237mm 解得1m 故答案为:1【答案点睛】本题考查了向量坐标加法和减法的运算,向量模长的求法,属于基础题.15、4,23；【答案解析】求出函数 f

18、 x的零点，让正数零点从小到大排列，第三个正数零点落在区间0,上，第四个零点在区间0,外即可【题目详解】由 1sin 2062f xx，得2(1)66kxk，kZ，1=(1)266kxk，kZ，(0)0f，1(3)2661(4)266，解得423 故答案为：4,2)3【答案点睛】本题考查函数的零点，根据正弦函数性质求出函数零点，然后题意，把正数零点从小到大排列，由于 0 已经是一个零点，因此只有前 3 个零点在区间0,上由此可得的不等关系，从而得出结论，本题解法属于中档题 16、1055【答案解析】模拟执行程序框图中的程序，即可求得结果.【题目详解】模拟执行程序如下：4,5nx 1,3vi，满

19、足0i，8,2vi，满足0i，42,1vi，满足0i，211,0vi，满足0i，1055,1vi，不满足0i，输出1055v.故答案为：1055.【答案点睛】本题考查程序框图的模拟执行，属基础题.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（）22143xy；（）5(3，3)【答案解析】（）由题意可得11B A，1B F的坐标，结合椭圆离心率，1111B A B F 及隐含条件列式求得a，b的值，则椭圆方程可求；（）设直线1:(2)AD yk x，求得D的坐标，再设直线2:3(2)A D yk x，求出点G的坐标，写出OG的方程，联立OG与1AD，可求出H的坐标，由

20、11APAH，可得关于k的函数式，由单调性可得取值范围【题目详解】（）1(,0)Aa，1(0,)Bb，(c,0)F，11(,)B Aab，1(,)B Fcb，由1111B A B F，得21bac，又12ca，222abc，解得：2a，3b，1c 椭圆C的标准方程为22143xy；（）设直线1:(2)(0)AD yk xk，则与直线4x 的交点(4,6)Dk，又2(2,0)A，设直线2:3(2)A D yk x，联立223(2)143yk xxy，消y可得2222(1 12)484840kxk xk 解得22242(1 12kGk，212)1 12kk，联立22(2)143yk xxy，得22

21、68(34kPk，212)34kk，直线26:121kOG yxk，联立26121(2)kyxkyk x，解得22242(125kHk，212)125kk，11APAH，(2Px，)(2PHyx，)Hy，PHyy，22222125129443344343PHykkykkk，函数24()343f kk在(0,)上单调递增，5()(3f k，3)【答案点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力 18、（1）yx；（2）2,)【答案解析】（1）1m,对函数()yf x求导,分别求出(0)f和(0)f,即可求出(

22、)f x在点(0,(0)f处的切线方程;（2）对()f x求导,分2m、02m和0m 三种情况讨论()f x的单调性,再结合()0f x 在(0,)上恒成立,可求得m的取值范围.【题目详解】（1）因为1m,所以()e21xf xx,所以()e2xfx,则(0)0,(0)1ff,故曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程为yx.（2）因为()e2xf xmxm,所以()e2xfxm,当2m时,()0fx在(0,)上恒成立,则()f x在(0,)上单调递增,从而()(0)0f xf成立,故2m符合题意;当02m时,令()0fx,解得20lnxm,即()f x在20,lnm上单调递减,则2ln

23、(0)0ffm,故02m不符合题意;当0m 时,0()e2xfxm在(0,)上恒成立,即()f x在(0,)上单调递减,则()(0)0f xf,故0m 不符合题意.综上,m的取值范围为2,).【答案点睛】本题考查了曲线的切线方程的求法,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了不等式恒成立问题,利用分类讨论是解决本题的较好方法,属于中档题.19、（1）2a（2）证明见解析【答案解析】（1）求出导函数()fx，由 0fx在1,上恒成立，采用分离参数法求解；（2）观察函数()f x，不等式凑配后知，利用2a 时 1nffm可证结论【题目详解】（1）因为 yf x在1,上单调递减，所以 102afxxx

24、，即2ax在1,上恒成立 因为2yx在1,上是单调递减的，所以20,2x，所以2a （2）因为0nm，所以1nm 由（1）知，当2a 时，yf x在1,上单调递减 所以 1nffm 即ln210nnmm 所以2ln2lnnnmm.【答案点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式解题关键是把不等式与函数的结论联系起来，利用函数的特例得出不等式的证明 20、（1）22(1)(1)1xy，2 cos042；（2）512或12【答案解析】（1）根据曲线C的参数方程消去参数t，可得曲线C的直角坐标方程，再由2OC，cosOPOCPOC，可得点P的轨迹2C的极坐标方程；（2）将曲线C极坐标

25、方程求，与直线l极坐标方程联立，消去，得到关于的二次方程，由的几何意义可求出AB，而（1）可知2 cos4OP，然后列方程可求出的值.【题目详解】（1）曲线C的直角坐标方程为22(1)(1)1xy，圆C的圆心为,2C OC，设(,)P，所以4POC，则由cosOPOCPOC，即2 cos042为点P轨迹2C的极坐标方程.（2）曲线C的极坐标方程为22 2cos104，将:02l与曲线C的极坐标方程联立得，22 2cos104，设12,02AB ，所以22128cos42 2cos144AB，2 cos4OP，由|3ABOP，即22 2cos12cos344，令2cos142mm，上述方程可化为

26、4216830mm，解得32m.由3cos,42444，所以46，即512或12.【答案点睛】此题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，利用极坐标求点的轨迹方程，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题.21、证明见解析【答案解析】将1231233xxxx x x化简可得2331121113x xx xx x，由柯西不等式可得证明.【题目详解】解：因为123,0,x x x，1231233xxxx x x，所以2331121113x xx xx x，又12233 1()x xx xx x2233 112111(1 1 1)9x xx xx x，所以12233 13

27、x xx xx x，当且仅当1231xxx时取等号.【答案点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，相对不难，注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用.22、（1）3（2）3【答案解析】（1）利用余弦定理可求cosC，从而得到C的值.（2）利用诱导公式和正弦定理化简题设中的边角关系可得4ba，得到b值后利用面积公式可求ABCS.【题目详解】（1）由22abcab，得222abcab.所以由余弦定理，得222cos122abcCab.又因为0,C，所以3C.（2）由4 cossin02cAbC，得4 sinsin0cAbC.由正弦定理，得4cabc，因为0c，所以4ba.又因1a，所以4b.所以ABC的面积113sin1 43222SabC .【答案点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.