欧拉公式的应用44187.pdf

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1、 第 1 页 共 1 页 欧拉公式的应用 一、欧拉公式的证明、特点、作用 欧拉公式sincosiei的证明方法：极限法 证明 令 1nf zin ,R nN 首先证明 limcossinnfzi 因为arg 1ninarctgnn 所以22211cossinnniinarctginarctgnnnn 从而222lim 1lim 1cossinnnnninarctginarctgnnnn (i)令222(1)nnpn，则2lnln 12nnpn 把1n视为连续变量，由洛必达法则有 2201limlnlimln 12nnp 2220lim01 即0lim1nnpe(ii)令arg 1nnin na

2、rctgn，则 0limlimnnarctg 故 limlim 1cossinnnnf ziin其次证明 liminfze 因为ln 11nninien的主值支，所以ln1arg 1ln 1lim 1limlimnniinininnnnnnieen，而,lim ln 10 lim arg 1nnnininn，第 2 页 共 2 页 故 limlim 1ninnf zien于是便证得：cossiniei 欧拉公式还可以推广到以下形式：已知欧拉公式sincosiei其中为实数，则cosR s i nR由 1式得cossiniei 2 则 12得：2coscos2iiiieeee 12得：2 sin

3、sin2iiiieeeeii 又因为sintancosiiiieei ee 3 coscotsiniiiii eeee 4 由此便得出最重要的四个公式这些公式具有以下特点：1实质上，这些公式给出了三角函数的复指数形式，故代入三角变换中，便将三角运算化为指数函数的代数运算，使三角运算从多种思考方法化为单一思考方法，从而降低了三角变换的难度 2观察这几个公式，ie与ie互为倒数，积为 1，这一过程常常在证明过程中被应用 3在以上公式的推导过程中，分别令2,22，得到以下式子：221,1,iiieeei 221,1,iiieeei 欧拉公式的桥梁作用:(1)纯虚指数值可以通过三角函数值来计算 第 3

4、 页 共 3 页 例如 c o s 1s i niei，2cossin22ieii，cossin1iei，3233cossin22ieii，2cos2sin 210,1,2k iekikk 由欧拉公式可以看出，在复数域内，指数函数是周期函数，具有基本周期2 i(2)任何实数的三角函数可以用纯虚指数表示，从而通过指数函数来研究三角函数的性质 在欧拉公式中用代替，则cossiniei 由cossiniei，cossiniei得到 cos,sin22iiiieeeei，由上式容易看出正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数(3)引出复数的指数表示法，从而使得复数的表示法增加为代数形式、三角形式和指数形式三

5、种形式，便于我们酌情使用 二欧拉公式在三角函数中的应用 (一)倍角和半角的三角变换 在此类型的题目中，大都用到以下两个技巧：2222iiiieeee及21i 例 1 求证sin21cos2cot 证明：左式2222iiiieei ee2222sin221 cos212iiiieeiee 第 4 页 共 4 页 21iiiiiiiiiieeeei eeeei eecot右式 所以原式成立(二)积化和差与差化积的三角变换 例 2 计算：1coscos2cos2sxxnx 解：1coscos2cos2sxxnx 120212nxinxixixixixinxieeeeeeee 1222ixixnixn

6、ixeeee 1122112211221nxinxinixixnixixixixeee eeeee 1sin212sin2nxx (三)求三角表达式的值 例 3 已知tgxa，求3sinsin33coscos3xxxx的值:解：原式333331223122xixiixixxixiixixeeeeiieeee 223113()3xixixixixixixixixixixixieeeeeeieeeeee 由tgxaxixixixieeai ee代入上式消去xixiee 第 5 页 共 5 页 原式222xixixixiaeeee 2112cosax 对2222221 cos1coscos1xatg

7、 xxxa 所以原式2112aa(四)证明三角恒等式 例 4 证明32sin22coscos2xxxtgtgxx为方便计算令2x,原式变为2sin23cos2cos4tgtg 证明：左边 3333iiiiiiiieeeei eei ee 3333331iiiiiiiiiiiieeeeeeeeieeee 右边22224422iiiiiieeeeee 2242242iiiiiieeieeee左边 例 5 求证：sin21costg 证明：22222iiiieetgi ee 而sin21 cos212iiiiiiiieeeeieei ee 第 6 页 共 6 页 2222222iiiiiieeeei

8、 ee 2222iiiieei ee 2tg(五)解三角方程 例 6 解方程 120 xy 1 sin2sinxy 2 解：把120yx代入 2得：sin2sin 120 xx 由欧拉公式得：223322ixixixixeeeei，经整理得：222331 21 2iiixeee，21xie，xiei,cossinxixi，cos0,sin1xx 所以18090 xk，代入 1式得到18030yk，由此即得到方程的解 (六)利用公式求三角级数的和 在三角级数中，按常规方法求和常常是很麻烦的，有时甚至求不出结果而欧拉公式：sin2iieei，cos2iiee很好的解决了这类问题 第 7 页 共 7

9、 页 例 7 求三角级数sinsin 2sin3sinxxxnx的前几项和 解：1sinnnkskx 12ikxikxnkeei1112nnikxikxkkeei 11112121ixinxixinxixixeeeeieie 22222212nnnixixixixxxxiiieeeeieee22222212nnnixixixixxxxiiie eeeieee 22221122222211222222nxnxnxnxiiiinnixixxxxxiiiieeeeiieeiieeeeii 1122sinsin112222sinsin22nnixixnnxxeexxii 1122sin22sin2nn

10、ixixnxeexi 1sinsin22sin2nnxxx(七)探求一些复杂的三角关系式 例 8 把2cosn和2sinn分别表示成1,cos 2,cos 4,cos 2n的线形组合 解：222222201cos22niininknknnkeeC e，第 8 页 共 8 页 注意到2122222210nninkinkkmnnk nmC eC e，得到 12222222201cos2ninkinknnknnnkCCee 故有 1222201cos2cos22nnnknnnkCCnk 3 在 3式中用2代替得到 1222201sin21cos22nn knnknnnkCCnk(八)解决方程根的问题

11、 例 9 证明方程cosarccos0nt 0,1,2n 至多有n个根 证明：令0，设cost，则 2sin1 t，cossinninei21ntit,那么：2coscoscosRe1nnnarottit 222244211nnnnntC ttC tt 故cosarccosnt是关于t的n次多项式，所以由代数学基本定理知：方程cosarccos0nt 至多有n个根 例 10 设1,2,3,na a aa都是实常数，12111sinsinsin22nnfaaa，若12,是方程 0f的两个根，1，2不全为零证明：k21（k为整数）.证明:11222222nni ai ai ai ai ai ane

12、eeeeefiii 121222222222nniaiaiaiaiaiaiinneeeeeeieie 第 9 页 共 9 页 令 122222niaiaianeeei，122222niaiaianeeei 则 0f化为0iiee由三角不等式知 121222222222nniaiaiaiaiaianneeeeee 2111222n 所以复常数0,同理复常数0,又12,分别满足方程 0f，即 1110iifee，2220iifee 可见,的系数行列式1212122 sin0iieei，从而必存在整数k使得12k (九)欧拉公式大降幂 在高等数学中常会遇到高次幂的正余弦函数，这些函数在计算上很不方便

13、，欧拉公式可把高次幂的正余弦函数表示为一次幂函数的代数和，克服了高次幂函数在运算上的不方便 1 正弦大降幂：33sin2ixixeexi 322331332i xi xixixi xi xeeeeeei 33213222i xi xixixeeeeiii 21sin3sin2xxi 第 10 页 共 10 页 44sin2ixixeexi 432234414642i xi xixi xi xixi xi xeeeeeeeei 421cos44cos2622xxi 55sin2ixixeexi 54322345515101052i xi xixi xi xi xi xixi xi xeeeeee

14、eeeei 41sin55sin310sin2xxxi 综上：正弦大降幂规则如下 1 括号前的系数视n的奇偶而定；当2nm时系数为22(2)mi，当21nm时系数为 212mi 2 括号内符号正负相同；3当2nm时 括 号 内 各 项 均 为 余 弦，依 次 为1122cos2,cos 22cos2,mmmmx CmxCx212mmC 当21nm时，括 号 内 各 项 均 为 正 弦，依 次 为121212121sin 21,sin 21,sin 23,sin3mmmmmx Cmx CmxCx，21sinmmCx 2余弦大降幂 33cos2ixixeex 3331332i xixixi xee

15、ee 第 11 页 共 11 页 21cos33cos2xx 44cos2ixixeex 1244311cos4cos222xCxC 55cos2ixixeex 125541cos5cos3cos2xCxCx 综上：余弦大降幂规则如下：1括号前的系数为112n；2括号内全部是号；3括号内各项均为余弦；当2nm时，依次为 12122221cos2,cos 22,cos 24,cos2,2mmmmmmmx Cmx CmxCxC 当21nm时，依次为 12212121cos 21,cos 21,cos 23,cosmmmmmx Cmx CmxCx 3 正余弦大降幂的应用(1)求傅里叶级数 例 11

16、求12sinx的傅立叶级数 解:112234561212121212121221sincos12cos10cos8cos6cos4cos222xxx Cx Cx Cx CxCic由于12sinx是2为周期的连续函数，所以它的傅立叶级数展开式唯一，即：12123412121212111111111111111sincos12cos10cos8cos6cos422222xxCxCxCxCx 第 12 页 共 12 页 561212111111cos222CxC(2)求n阶导数 例 12 求7cos x的n阶导数 解 712377761coscos7cos5cos3cos2xxCxCxCx 7123

17、7776cos1cos7cos5cos3cos2nnnnnndxxCxCxCxdx 123777617 cos 75cos 53cos 3cos22222nnnnnnnxCxCxCx (3)求积分 例 13 求11sinxdx 解:11123451111111111101sinsin11sin9sin7sin5sin3sin2xxCxCxCxCxCxi 123451111111111101sin11sin9sin7sin5sin3sin2xCxCxCxCxCx 原式123451111111111101sin11sin9sin7sin5sin3sin2xCxCxCxCxCx dx 1234511

18、11111111101cos11cos9cos7cos5cos3cos2119753xxxxxCCCCCxc 例 14 求5220aaxdx 解:令sinxat，则：xa，2t，52266200cosaaxdxatdt 612226665011cos6cos4cos222atCtCtCdt 612665sin6sin4sin2102642atttCCt在0,2上的值，6100322a 第 13 页 共 13 页 6532a（十）三角函数的求积 例 15 不查表，计算cos20 cos40 cos80P 解 24coscoscos999P 2244999999222iiiiiieeeeee 75

19、33579999999918iiiiiiiieeeeeeee 72799929181iiiieeee 29291181iiieee 18（十一）条件等式的证明 例 16 已知,均为锐角且223sin2sin1，3sin 22sin 20 求证 22 证明 由223sin2sin1，得到 2231222iiiieeeeii 2221322iiiieeeei 1 22223sin 22sin 203222iiiieeeeii 0 第 14 页 共 14 页 2232iiiiiieeeeeeii 2 12得：2222iiiiiiiii eeeeeei ee 由三角变换得：2tgctg，因为,均为锐角

20、，所以2也为锐角，即知22，所以原式得证 结束语 欧拉公式将定义和形式完全不同的指数函数和三角函数联系起来,为我们研究这两种函数的相关运算及其性质架起了一座桥梁在求三角表达式的值、证明三角恒等式、解决一些方程根的问题、求三角级数的和、解决高次幂的三角函数时,都应用到了欧拉公式,从而避免了复杂的三角变换，在三角中的应用能够利用较为直观代数运算使得问题得到解决在探求一些复杂的三角关系时,如果不借助欧拉公式,而试图通过纯三角运算直接推导这些关系是相当麻烦的本文在介绍欧拉公式时给出了欧拉公式的证明,应用到了极限的方法,不同于其它的定义复变指数函数和复变三角函数进行证明的方法 但不可避免的是：欧拉公式在证明某些恒等式时，却相对增加了计算量因此，在证明三角恒等式时，要具体问题具体分析