28直角三角形与勾股定理1121.pdf

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1、http:/-1-（第 3 题）直角三角形与勾股定理 一、选择题 1、(2011 浙江杭州模拟 14)如图折叠直角三角形纸片的直角，使点C 落在斜边 AB上的点 E处.已知 AB=38,B=30,则 DE 的长是().A.6 B.4 C.34 D.23 答案：B 2.（2011 湖北崇阳县城关中学模拟）直角三角形两直角边和为 7，面积为 6，则斜边长为（）A.5 B.C.7 D.答案：A 3（2011年杭州市上城区一模）梯形ABCD中ABCD，ADC+BCD=90，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3，且S1+S3=4S2，则CD=（）A.2.5AB B

2、.3AB C.3.5AB D.4AB 答案：B 4（2011 年浙江省杭州市模 2）直角三角形两直角边和为 7，面积为 6，则斜边长为（）A.5 B.C.7 D.答案：A 二、填空题 1、（2011 年北京四中三模）如图是一个艺术窗的一部分，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为 5cm，则正方形 A、B、C、D 的面积和是 答案：25cm2 2（20102011 学年度河北省三河市九年级数学第一次教学质量检测试题）如图是两个全等的三角形纸片，其三边长之比为 3：4：5，按图中方法分别将其对折，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在两边重合，记折

3、叠后不重叠部分面积分别为SA，SB，已知 SA+SB=13，则纸片的面积是 .B A C D http:/-2-答案：36 3、(2011 浙江杭州模拟 15)如图，将含 30角的直角三角尺 ABC 绕点 B顺时针旋转 150后得到EBD，连结 CD.若 AB=4cm.则BCD 的面积为 答案：23cm 4(2011 年宁夏银川)将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14cm，则阴影部分的面积_cm2 答案：249 5.(2011浙江省杭州市 8模)如图 1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四全等的直角三角形围成的，若 AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为 6 的直角边分

4、别向外延长一倍，得到图 2 所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_；(第 5 题图)答案:76 6、（2011 年浙江杭州二模）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处，已知 ABBD，CDBD，且测得 AB=1.2 米，BP=1.8 米，PD=12 米，那么该古城墙的第 2 题图 SA SB 第 4 题图 A C E D B F 30 45 图 2 A B C 图 1 A B C http:/-3-高度是 米.答案：8 7、（2011 年浙江杭州八模）如图，小明在 A 时测得某树的影

5、长为 3 米，B时又测得该树的影长为 12 米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_米.答案：6 第 8 题图 8、（2011 年浙江杭州八模）如图 1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若 AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍，得到图 2 所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_；答案：76 9.(浙江省杭州市党山镇中 2011年中考数学模拟试卷)如图，将边长为33 的等边ABC 折叠，折痕为 DE，点 B 与点 F 重合，EF 和 DF 分别交AC于点 M、N，DFAB，垂足为 D，AD1，则重叠部分的面积

6、为 .答案：39344+B 组 1（2011 年杭州三月月考）将一副三角板按如图 1 位置摆放,使得两块三角板的直角边 AC和 MD 重合.已知 AB=AC=8 cm,将MED 绕点A(M)逆时针旋转 60后(图 2),两个三角形重叠（阴影）部分的面积是 cm2 答案：31648 A B P D C 第 6 题图（第 7 题）A 时 B时 图 2 A B C 图 1 A B C DNEFMCBA图2图1A(M)EDCBEDCBA(M)(第 1 题)http:/-4-2（2011 年重庆江津区七校联考一模）一元二次方程27120 xx的两根恰好是一直角三角形的两边长，则该直角三角形的面积为 。答

7、案：6 或723 3、（2011 年浠水模拟 2）如图 1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若 AC=6，BC=5，将四个 直角三角形中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍，得到图 2 所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_；答案：76 4.（2011 年杭州市模拟）侧棱长为15cm 的直三棱柱的三个侧面面积分别为2522cm、2552cm和2532cm，则该棱柱上底面的面积为 2cm 答案：25618 5.（2011 年海宁市盐官片一模）已知cba,是直角三角形的三条边，且cba，斜边上的高为h，则下列说法中正确的是 。（只填序号）222422)

8、1(hbahba；22224cbhcb；由cba,可以构成三角形；直角三角形的面积的最大值是22b.答案：6（2011 北京四中一模）在数学活动课上名师带领学生去测量河两岸 A，B 两处之间的距离，先从 A 处出发与 AB成 90方向，向前走了 10 米到 C 处，在 C 处测得ACB60(如图所示)，那么 A，B之间的距离约为 米（计算结果精确到 0.1 米)答案：17 图 2 A B C 图 1 A B C http:/-5-7.（2011 深圳市中考模拟五）等腰三角形的腰长为 2，腰上的高为 1，则它的底角等于 答案:15或 75 三、解答题 1、(2011 浙江杭州模拟 14)如图，直

9、角梯形 ABCD 中，ABDC，DAB=90，AD=2DC=4，AB=6动点 M 以每秒 1 个单位长的速度，从点 A 沿线段 AB 向点 B 运动；同时点 P 以相同的速度，从点 C 沿折线 C-D-A 向点 A 运动 当点 M 到达点 B 时，两点同时停止运动 过点 M 作直线 lAD，与折线 A-C-B 的交点为 Q点 M 运动的时间为 t（秒）（1）当0.5t 时，求线段QM的长；（2）点 M 在线段 AB 上运动时，是否可以使得以 C、P、Q 为顶点的三角形为直角三角形，若可以，请直接写出 t 的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由 （3）若PCQ 的面积为 y，请求 y 关于出

10、 t 的函数关系式及自变量的取值范围；答案：解：（1）由 RtAQMRtCAD 2 分 CDADAMQM 即40.52QM，1QM 1 分（2）1t 或53或 4 3 分（3）当 0t2 时，点 P 在线段 CD 上，设直线 l 交 CD 于点 E 由（1）可得CDADAMQM 即 QM=2tQE=4-2t2 分 SPQC=21PCQE=tt22 1 分 即tty22 当t2 时，过点 C作 CFAB 交 AB 于点 F，交 PQ 于点 H.http:/-6-4(2)6PADADPtt 由题意得，4BFABAF CFBF 45CBF 6QMMBt QMPA 四边形 AMQP 为矩形 PQABC

11、HPQ，HF=AP=6-t CH=AD=HF=t-2 1 分 SPQC=21PQCH=tt221 1 分 即 y=tt221 综上所述)20(22ttty或 y=tt221(2tBC），ACB=900，CDAB，D为垂足，CM 平分ACB,且 BC、AC 是方程 x2-14x+48=0 的两个根，求 AD、MD 的长。（2）请你用数形结合的“以形助数”思想来解：设 a、b、c、d 都是正数，满足 a：b=c：http:/-7-d,且 a 最大。求证：a+db+c（提示：不访设 AB=a,CD=d,AC=b,BC=c，构造图 1）答案：解：（1）显然，方程 x2-14x+48=0 的两根为 6

12、和 8，1 分 又 ACBC AC=8，BC=6 由勾股定理 AB=10 ACDABC，得 AC2=ADAB AD=6.4-2 分 CM 平分ACB AM：MB=AC：CB 解得，AM=740-1 分 MD=AD-AM=3524-1 分（2）解：不访设 AB=a,CD=d,AC=b,BC=c 由三角形面积公式，得 ABCD=ACBC 2ABCD=2ACBC -1 分 又勾股定理，得 AB2=AC2+BC2 AB2+2ABCD=AC2+BC2+2ACBC(等式性质)AB2+2ABCD=（AC+BC）2-1 分 AB2+2ABCD+CD2（AC+BC）2-2 分(AB+CD)2（AC+BC）2 又

13、 AB、CD、AC、BC 均大于零 AB+CDAC+BC 即 a+db+c-1 分 3.（2011 年北京四中中考全真模拟 17）如图，有两棵树，一棵高 10 米，另一棵高 4 米，两树相距8米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？http:/-8-1、探索勾股定理时，我们发现“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决线段和（或差）的有关问题，这种方法称为面积法。请你运用面积法求解下列问题：在等腰三 角形 ABC 中，AB=AC,BD 为腰 AC 上的高。(1)若 BD=h，M 时直线 BC 上的任意一点，M 到 AB、AC 的距离分别为12hh，。若 M 在线段

14、BC 上，请你结合图形证明：12h+h=h；图 当点 M 在 BC 的延长线上时，12hh，h 之间的关系为 .（请直接写出结论，不必证明）（2）如图，在平面直角坐标系中有两条直线1l：y=34x+6；2l：y=-3x+6 若2l上的一点 M 到1l的距离是 3，请你利用以上结论求解点 M 的坐标。（1）证明：连结 AM ABCABMACMSSS,EMAB,MFAC,BDAC 12AC.h=12AB.1h+12AC.2h 又AB=AC h=1h+2h 2 分 1h-2h=h 3 分（2）由题意可知，DE=DF=10,EDF 是等腰三角形。4 分 当点 M 在线段 EF 上时，依据（1）中结论，

15、h=EO=6，M 到 DF（即 x 轴）的距离也为 3.点 M 的纵坐标为 3，此时可求得 M(1,3)6 分 当点 M 在射线 FE 上时，依据（1）中结论 h=EO=6，M 到 DF（即 x 轴）的距离也为 9.点 M 的纵坐标为 9，此时可求得 M(-1,9)8分 故点 M 的坐标为(1,3)或(-1,9)y x E D O F y x E D O F http:/-9-4、（2011 年江苏盐都中考模拟）)2010(30tan212 解：原式=1334（4 分）5（2011 年黄冈中考调研六）(满分 14 分)如图,以等边OAB的边 OB所在直线为 x 轴,点O 为坐标原点,使点 A

16、在第一象限建立平面直角坐标系，其中OAB 边长为 6 个单位，点 P 从 O 点出发沿折线 OAB向 B点以 3 单位/秒的速度向 B点运动,点 Q 从 O 点出发以2 单位/秒的速度沿折线 OBA 向 A 点运动，两点同时出发，运动时间为 t（单位：秒），当两点相遇时运动停止。点 A 坐标为_，P、Q 两点相遇时交点的坐标为_;当 t=2 时，S OPQ_;当 t=3 时，OPQS_;设OPQ 的面积为 S，试求 S 关于 t 的函数关系式;当OPQ 的面积最大时，试求在 y 轴上能否找一点 M，使得以 M、P、Q 为顶点的三角形是 Rt，若能找到请求出 M 点的坐标，若不能找到请简单说明理

17、由。答案(1)A 点坐标为3,33、交点坐标为（273(,3)55(2)当 t=2 时，S OPQ63；当 t=3 时，S OPQ932(3)2233(02)23363(2)2153273(3)2ttSttttt 318 5(4)对（3）中的分段函数进行计算后得知当 t=2，S 有最大值，此时 P 与 A 重合，OP=6，x y O A B x y O A B x y O A B http:/-10-OQ=4，过 P 作 PCOB于 C 点，计算得 OC=3，AC=33，CQ=1，PQ=27 如图，过 P 作 PMPQ 交 y 轴于 M 点，过 M作 MNAC 于 N，则 MN=OC=3，易

18、得 RtPMNQPC，有M NP NP CC Q即3133PN，得 PN=33，MO=NC=833 故 M 点坐标为8(0,3)3 过 Q 作 MQPQ 交 y 轴于 M 点，通过MOQQCP，求得 M 坐标为4(0,3)9 以 PQ 为直径作D，则D 半径 r 为7，再过 P 作 PEy 轴于 E点，过 D 作 DFy 轴于 F 点，由梯形中位线求得 DF=72，显然 rDF，故D 与 y 同无交点，那么此时在 y 轴上无 M 点使得MPQ为直角三角形.综上所述，满足要求的 M 点8(0,3)3或4(0,3)9 6.(2011 浙江省杭州市 8 模)（本题满分 8 分）某商场为了迎接“六一”

19、儿童节的到来，制造了一个超大的“不倒翁”。小灵对“不倒翁”很感兴趣，原来“不倒翁”的底部是由一个空心的半球做成的，并在底部的中心（即图中的 C 处）固定一个重物，再从正中心立起一根杆子，在杆子上作些装饰，在重力和杠杆的作用下，“不倒翁”就会左摇右晃，又不会完全倒下去。小灵画出剖面图，进行细致研究：圆弧的圆心为点 O，过点 O 的木杆 CD 长为260,OA、OB 为圆弧的半径长为 90（作为木杆的支架），且 OA、OB 关于 CD 对称，弧 AB 的长为 30。当木杆 CD 向右摆动使点 B 落在地面上（即圆弧与直线 l 相切于点 B）时，木杆的顶端点 D 到直线 l 的距离 DF 是多少？O

20、 A B D l A C C D E B F O http:/-11-解：由弧 AB的长可得，AOB60，从而 BOE COB30，（2 分）OB90cm，OE360cm，（2 分）DE170+360 cm，（2 分）DF180+385 cm （2 分）7.（2011 广东南塘二模）如图，在小山的东侧 A 处有一热气球，以每分钟 30m 的速度沿着仰角为 60的方向上升，20 分钟后升到 B处，这时 气球上的人发现在 A 的正西方向俯角为 45的 C 处有一着火点，求气球的升空点 A 与着火点 C 的距离（结果保留根号）.答案：过 B作 BDCA 于 D，则 AB600m，AD300m，BDC

21、D3003m，CA300(31)m。8.（2011 深圳市全真中考模拟一）ABC 中，BCa，ACb，ABc若90C，如图 l，根据勾股定理，则222abc。若ABC 不是直角三角形，如图 2 和图 3，请你类比勾股定理，试猜想22ab与2c的关系，并证明你的结论 图 1CBA图2CBA图 3CBA 答案：解：若ABC 是锐角三角形，则有222abc (1 分)若ABC 是钝角三角形，C为钝角，则有222abc。(2 分)当ABC 是锐角三角形时，B C A 东 西 45 60 http:/-12-bacDACB 证明：过点 A 作 ADBC，垂足为 D，设 CD 为x，则有 BDax（3 分）根据勾股定理，得22222()bxADcax 即222222bxcaaxx。2222abcax（5 分）0,0ax，20ax。222abc。（6 分）当ABC 是钝角三角形时，cabDABC 证明：过 B作 BDAC，交 AC 的延长线于 D。设 CD 为x，则有222BDax（7 分）根据勾股定理，得2222()bxaxc 即2222abbxc。（9 分）0,0bx，20bx，http:/-13-222abc。（10 分）