青海省西宁市大通二中2023学年高三第二次调研数学试卷(含解析)35412.pdf

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1、2023 学年高考数学模拟测试卷 考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。135(1)(2)xy的展开式中，满足2mn的mnx y的系数之和为（）A640 B416 C406 D236 2已知半径为 2 的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为 2，则球

2、的体积与圆柱的体积的比为（）A43 B916 C34 D169 3函数 sinf xAx（0A，0，2）的部分图象如图所示，则,的值分别为（）A2，0 B2，4 C2，3 D2，6 4已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点1,2P，则cos2（）A35 B45 C35 D45 5对于定义在R上的函数 yf x，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误的一个是（）A f x在,0上是减函数 B f x在0,上是增函数 C f x不是函数的最小值 D对于xR，都有11f xfx 6 周易是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、

3、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（）A13 B12 C23 D34 7三棱锥SABC中，侧棱SA底面ABC，5AB，8BC，60B，2 5SA，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A643 B2563 C4363 D2048327 8已知函数2211()log13|f xxx，则不等式(lg)3fx 的解集为（）A1,1010 B1,(10,)10 C(1,10)D1,1(1,10)10 9已知函数2,()5,xx xaf xx xa（0a），若函数()()4g xf xx有三个零点

4、，则a的取值范围是（）A(0,1)5,)B6(0,)5,)5 C(1,5 D6(,55 10已知集合13,|2xAx xxZBxZA，则集合B（）A1,0,1 B 0,1 C 1,2 D0,1,2 11已知函数()f x是定义在R上的偶函数，且在(0,)上单调递增，则（）A0.63(3)log 132fff B0.63(3)2log 13fff C0.632log 13(3)fff D0.632(3)log 13fff 12天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干

5、支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60 年为一个轮回.现从农历 2000 年至 2019 年共 20 个年份中任取 2 个年份，则这 2 个年份的天干或地支相同的概率为（）A219 B995 C4895 D519 二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知x，y满足约束条件0122xxyxy，则32zxy的最小值为_ 14621axx展开式中3x项系数为 160，则a的值为_.156121xx的展开式中2x的系数为 _ 16将函数()sin 2f xx的图像向右平移6个单位，得到函数()g x的图像，则函数()()yf xg x在区间0,2上的

6、值域为_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）已知非零实数,a b满足ab （1）求证：332222aba bab；（2）是否存在实数，使得2211baabab恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由 18（12 分）交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了 60 名家庭轿车驾驶员，统计其中有 40 名男性驾驶员，其中平均车速超过90/km h的有 30 人，不超过90/km h的有 10 人；在其余 20 名女性驾驶员中，平均车速超过90/km h的有 5 人，不超过90/km h的有 15 人.（1）完成下面的22列联

7、表，并据此判断是否有99.9%的把握认为，家庭轿车平均车速超过90/km h与驾驶员的性别有关；平均车速超过90/km h的人数 平均车速不超过90/km h的人数 合计 男性驾驶员 女性驾驶员 合计 （2）根据这些样本数据来估计总体，随机调查 3 辆家庭轿车，记这 3 辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过90/km h的人数为，假定抽取的结果相互独立，求的分布列和数学期望.参考公式：22()()()()()n ad bcKa b cd a c b d其中nabcd 临界值表：20P Kk 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 3.841 5.024 6.635 7

8、.879 10.828 19（12 分）已知点 P 在抛物线220Cxpy p：上，且点 P 的横坐标为 2，以 P 为圆心，PO为半径的圆（O 为原点），与抛物线 C 的准线交于 M，N 两点，且2MN （1）求抛物线 C 的方程；（2）若抛物线的准线与 y 轴的交点为 H 过抛物线焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B，且ABHB，求AFBF的值 20（12 分）已知函数2()(1)lnf xxaxax（I）若2a讨论()f x的单调性；（）若0a，且对于函数()f x的图象上两点 11122212,P xf xPx f xxx，存在012,xx x，使得函数()f x的图象在0

9、 xx处的切线12/lPP.求证：1202xxx.21（12分）已知 an是一个公差大于 0 的等差数列，且满足 a3a5=45，a2+a6=1（I）求an的通项公式；（）若数列bn满足：12222bb1()2nnnbanN，求bn的前 n 项和 22（10 分）已知 a0，b0，a+b=2.（）求111ab的最小值；（）证明：2.abbaab 2023 学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】2mn，有02mn，11mn，20mn三种情形，用33(1)(1)xx 中

10、mx的系数乘以55(2)(2)yy 中ny的系数，然后相加可得【题目详解】当2mn时，35(1)(2)xy的展开式中mnx y的系数为 358()55353535(1)(2)(1)22mmmnnnnnm nnmnnmnmnC xC yCCx yCC x y 当0m，2n 时，系数为321 1080；当1m，1n 时，系数为423 5240 ；当2m，0n 时，系数为523 196 ；故满足2mn的mnx y的系数之和为8024096416 故选：B【答案点睛】本题考查二项式定理，掌握二项式定理和多项式乘法是解题关键 2、D【答案解析】分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值.【题目详解】设圆柱的底

11、面圆半径为r，则22213r，所以圆柱的体积 21326V .又球的体积32432233V，所以球的体积与圆柱的体积的比213216369VV，故选 D.【答案点睛】本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的核心素养.3、D【答案解析】由题意结合函数的图象，求出周期T，根据周期公式求出，求出A，根据函数的图象过点16，求出，即可求得答案【题目详解】由函数图象可知：311341264T T，21A，函数的图象过点16，1sin 26，2，则6 故选D【答案点睛】本题主要考查的是sinyAx的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果

12、 4、A【答案解析】由已知可得sin，根据二倍角公式即可求解.【题目详解】角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点1,2P，则2|5,sin5OP，23cos212sin5 .故选：A.【答案点睛】本题考查三角函数定义、二倍角公式，考查计算求解能力，属于基础题.5、B【答案解析】根据函数对称性和单调性的关系，进行判断即可【题目详解】由(1)(1)f xfx得()f x关于1x 对称，若关于1x 对称，则函数()f x在(0,)上不可能是单调的，故错误的可能是B或者是D，若D错误，则()f x在(，0上是减函数，在()f x在(0,)上是增函数，则(0)f为函数的最小值，与C矛盾，

13、此时C也错误，不满足条件 故错误的是B，故选：B【答案点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键 6、B【答案解析】基本事件总数为6个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为3个，由此求出概率.【题目详解】解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共6个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共3个，所以，所求的概率3162P.故选：B.【答案点睛】本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题 7

14、、B【答案解析】由题，侧棱SA底面ABC，5AB，8BC，60B，则根据余弦定理可得221582 5 872BC ，ABC的外接圆圆心772sin332BCrrB 三棱锥的外接球的球心到面ABC的距离15,2dSA 则外接球的半径 22764533R，则该三棱锥的外接球的表面积为225643SR 点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R 公式是解答的关键 8、D【答案解析】先判断函数的奇偶性和单调性，得到1lg1x，且lg0 x，解不等式得解.【题目详解】由题得函数的定义域为(,0)(0,).因为()()fxf x，所以()f x为(,0)(0,)上的偶函数，因为函数21113

15、|yyxx，都是在(0,)上单调递减.所以函数()f x在(0,)上单调递减.因为(1)3,(lg)3(1)ffxf，所以1lg1x，且lg0 x，解得1,1(1,10)10 x.故选：D【答案点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9、A【答案解析】分段求解函数零点，数形结合，分类讨论即可求得结果.【题目详解】作出2yxx和5yx，4yx的图像如下所示：函数()()4g xf xx有三个零点，等价于 yf x与4yx有三个交点，又因为0a，且由图可知，当0 x 时 yf x与4yx有两个交点,A O，故只需当0 x

16、时，yf x与4yx有一个交点即可.若当0 x 时，0,1a时，显然=()与=4|有一个交点，故满足题意；1a 时，显然=()与=4|没有交点，故不满足题意；1,5a时，显然=()与=4|也没有交点，故不满足题意；5,a时，显然 yf x与4yx有一个交点C，故满足题意.综上所述，要满足题意，只需a(0,1)5,).故选：A.【答案点睛】本题考查由函数零点的个数求参数范围，属中档题.10、D【答案解析】弄清集合 B 的含义，它的元素 x 来自于集合 A，且2x也是集合 A 的元素.【题目详解】因|1|3x，所以24x，故2,1,0,1,2,3,4A，又xZ，2xA，则0,1,2x，故集合B 0

17、,1,2.故选：D.【答案点睛】本题考查集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题.11、C【答案解析】根据题意，由函数的奇偶性可得 33ff，33log 13log 13ff，又由0.63322log 13log 273，结合函数的单调性分析可得答案【题目详解】根据题意，函数 f x是定义在R上的偶函数，则 33ff，33log 13log 13ff，有0.63322log 13log 273，又由 f x在0,上单调递增，则有 0.632log 133fff，故选 C.【答案点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题 12、B【答案解析】利用古典

18、概型概率计算方法分析出符合题意的基本事件个数,结合组合数的计算即可出求得概率.【题目详解】20 个年份中天干相同的有 10 组（每组 2 个），地支相同的年份有 8 组（每组 2 个），从这 20 个年份中任取 2 个年份，则这 2 个年份的天干或地支相同的概率2201089C95P.故选:B.【答案点睛】本小题主要考查古典概型的计算,考查组合数的计算,考查学生分析问题的能力,难度较易.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、2【答案解析】作出可行域，平移基准直线320 xy到0,1处，求得z的最小值.【题目详解】画出可行域如下图所示，由图可知平移基准直线320 xy

19、到0,1处时，z取得最小值为2.故答案为：2 【答案点睛】本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14、-2【答案解析】表示该二项式的展开式的第 r+1 项，令其指数为 3，再代回原表达式构建方程求得答案.【题目详解】该二项式的展开式的第 r+1 项为 62612 316611rrrrrrrrTCaxaCxx 令12333rr，所以 36 3312 3 33 346120TaCxa x ，则3201602aa 故答案为：2【答案点睛】本题考查由二项式指定项的系数求参数，属于简单题.15、3【答案解析】分别用 1 和2x进行分类讨论即可【题目详解】当第一个因式取 1

20、 时，第二个因式应取含2x的项，则对应系数为：2266115CC；当第一个因式取2x时，第二个因式应取含x的项，则对应系数为：16212C；故6121xx的展开式中2x的系数为 216623CC.故答案为：3【答案点睛】本题考查二项式定理中具体项对应系数的求解，属于基础题 16、3,12【答案解析】根据图像的平移变换得到函数()g x的解析式，再利用整体思想求函数的值域.【题目详解】函数()sin 2f xx的图像向右平移6个单位得sin2()sin(2)6)3(g xxx，13()()sin2sin(2)sin2cos2sin(2)3223yf xg xxxxxx，40,2,2333xx，3

21、,12y.故答案为：3,12.【答案点睛】本题考查三角函数图像的平移变换、值域的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意整体思想的运用.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）存在，1,3 【答案解析】（1）利用作差法即可证出.（2）将不等式通分化简可得2222babaa bab，讨论0ab 或0ab，分离参数，利用基本不等式即可求解.【题目详解】3322221222aba bababaabbab ab 2222324babaabbabab,0abab 又223024bab 332222aba bab

22、 22211baabab 即3322babaa bab 即 2222*babaa bab 当0ab 时，*即22221bababaa bab恒成立 22bab aaba b（当且仅当ab时取等号），故3 当时 0,*ab 22221bababaa bab恒成立 22bababaababab （当且仅当 ab时取等号），故1 综上，1,3 【答案点睛】本题考查了作差法证明不等式、基本不等式求最值、考查了分类讨论的思想，属于基础题.18、（1）填表见解析；有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h与性别有关（2）详见解析【答案解析】（1）根据题目所给数据填写22列联表，计算出2K的值，由此

23、判断出有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h与性别有关.（2）利用二项分布的知识计算出分布列和数学期望.【题目详解】（1）平均车速超过90/km h的人数 平均车速不超过90/km h的人数 合计 男性驾驶员 30 10 40 女性驾驶员 5 15 20 合计 35 25 60 因为2260(30 155 10)6 1613.71402035257K，13.7110.828，所以有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h与性别有关.（2）服从153,60B，即13,4B，30033127(0)4464PC 21133127(1)4464PC 1223319(2)4464PC

24、 0333311(3)4464PC .所以的分布列如下 0 1 2 3 P 2764 2764 964 164 的期望2727913()0123646464644E 【答案点睛】本小题主要考查22列联表独立性检验，考查二项分布分布列和数学期望，属于中档题.19、(1)24xy(2)4【答案解析】（1）将点 P 横坐标代入抛物线中求得点 P 的坐标，利用点 P 到准线的距离 d 和勾股定理列方程求出 p 的值即可；（2）设 A、B 点坐标以及直线 AB 的方程，代入抛物线方程，利用根与系数的关系，以及垂直关系，得出关系式，计算AFBF的值即可【题目详解】（1）将点 P 横坐标2Px 代入22xp

25、y中，求得2Pyp，P（2，2p），2244OPp，点 P 到准线的距离为22pdp，222|2MNOPd，22222212ppp，解得24p，2p，抛物线 C 的方程为：24xy；（2）抛物线24xy的焦点为 F（0，1），准线方程为1y ，01H，；设1122A xyB xy，直线 AB 的方程为1ykx，代入抛物线方程可得2440 xkx，121244xxkx x，由ABHB，可得1ABHBkk，又111ABAFykkx，221HBykx，1212111yyxx，121 2110yyx x，即2212121111044xxx x，22221212121110164x xxxx x，把代入

26、得，221216xx，则22121211|1116444AFBFyyxx 【答案点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线与圆的方程应用问题，考查转化思想以及计算能力，是中档题 20、(1)见解析(2)见证明【答案解析】(1)对函数 f x求导，分别讨论0a，20a 以及2a ，即可得出结果；(2)根据题意，由导数几何意义得到 1 122110122122ln2R Pxaf xf xxfxkxxaxxxx，将证明1202xxx转化为证明2121122lnxxxxxx即可，再令21xtx，设 21ln1tg ttt(1)t，用导数方法判断出 g t的单调性，进而可得出结论成立.【题目详解】

27、（1）解：易得，函数 f x的定义域为0,，1221xxaafxxaxx，令 0fx，得1x 或2ax .当0a 时，01x时，0fx，函数 f x单调递减；1x 时，0fx，函数 f x单调递增.此时，f x的减区间为0,1，增区间为1,.当20a 时，12ax时，0fx，函数 f x单调递减；02ax 或1x 时，0fx，函数 f x单调递增.此时，f x的减区间为,12a，增区间为0,2a，1,.当2a 时，0 x 时，2210 xfxx，函数 f x单调递增；此时，f x的减区间为0,.综上，当0a 时，f x的减区间为0,1，增区间为1,：当20a 时，f x的减区间为,12a，增区

28、间为0,2a.1,；当2a 时，f x增区间为0,.（2）证明：由题意及导数的几何意义，得 1 121021R Pf xf xfxkxx 22222111211ln1lnxaxa xxaxa xxx 211222ln2xaxxxaxx 由（1）中 fx得121212222xxafxxaxx.易知，导函数 21afxxax(0)a 在0,上为增函数，所以，要证1202xxx，只要证 1202xxfxf，即212112ln2xaxaxxxx，即证2121122lnxxxxxx.因为210 xx，不妨令21xtx，则 21ln1tg ttt(1)t.所以 222114011tg tttt t(1)t

29、，所以 g t在1,t上为增函数，所以 10g tg，即21ln01ttt，所以21ln1ttt，即ln211ttt，即2121122lnxxxxxx.故有1202xxx（得证）.【答案点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性以及函数极值等即可，属于常考题型.21、（I）21nan；（）224n【答案解析】（）设等差数列的公差为4，则依题设2d 由,可得2nc 由，得，可得 所以 可得（）设，则.即，可得2nc，且 所以，可知 所以，所以数列是首项为 4，公比为 2 的等比数列 所以前n项和 考点：等差数列通项公式、用数列前n项和求数列通项公式 22、（

30、）最小值为43；（）见解析【答案解析】（1）根据题意构造平均值不等式，结合均值不等式可得结果；（2）利用分析法证明，结合常用不等式和均值不等式即可证明.【题目详解】（）111 11(1)131ababab 则1111421313baabab 当且仅当21abab，即32a，12b 时，所以111ab的最小值为43（）要证明：2abbaab，只需证：20abbaab，即证明：2220abab，由0,0ab，也即证明：222ab 因为2222abab，所以当且仅当ab时，有2212ab，即222ab，当1ab时等号成立 所以2.abbaab【答案点睛】本题考查均值不等式，分析法证明不等式，审清题意，仔细计算，属中档题.