第01讲导数的概念及运算(解析版)43200.pdf

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1、 第 01 讲 导数的概念及运算(精讲+精练）目录 第一部分：知识点精准记忆 第二部分：课前自我评估测试 第三部分：典型例题剖析 高频考点一：导数的概念 高频考点二：导数的运算 高频考点三：导数的几何意义 求切线方程（在型）求切线方程（过型）已知切线方程（或斜率）求参数 导数与函数图象 共切点的公切线问题 不同切点的公切线问题 与切线有关的转化问题 第四部分：高考真题感悟 第五部分：第 01 讲 导数的概念及运算（精练）1、平均变化率（1）变化率 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值.（2）平均变化率 一般地，函数()f x在区间21,xx

2、上的平均变化率为：2121()()f xf xxx.（3）如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法：作差：求出21()()yf xf x 和21xxx 作商：对所求得的差作商，即2121()()f xf xyxxx.2、导数的概念（1）定义：函数()f x在0 xx 处瞬时变化率是 xxfxxfxyxx0000limlim，我们称它为函数 xfy 在0 xx 处的导数,记作 或0 xf 即0 xxy xxfxxfxyxfxx00000limlim.（2）定义法求导数步骤：求函数的增量：00()()yf xxf x；求平均变化率：00()()f xxf xyxx；求极限，得导数

3、：00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx .3、导数的几何意义 函数()yf x在点0 xx处的导数的几何意义，就是曲线()yf x在点00(,)P xy处的切线的斜率k，即0()kfx.4、基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数()f xc(c为常数)()0fx()nf xx(nR)1()nfxnx 第一部分：知 识 点 精 准 记 忆 ()sinf xx()cosfxx()cosf xx()sinfxx ()xf xe()xfxe()xf xa(0a)()lnxfxaa()lnf xx 1()fxx()logxaf x(0a，1a)1()lnfxxa()f xx

4、 1()2fxx 1()f xx 21()fxx 5、导数的运算法则 若()fx，()g x存在，则有（1）()()()()f xg xfxg x（2）()()()()()()f xg xfxg xf xg x（3）2()()()()()()()f xfxg xf xg xg xgx 6、复合函数求导 复合函数()yf g x的导数和函数()yf u，()ug x的导数间的关系为xuxyy u，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 7、曲线的切线问题（1）在型求切线方程 已知：函数)(xf的解析式.计算：函数)(xf在0 xx 或者)(,(00 xfx处的切线方程.步骤：第一步：

5、计算切点的纵坐标)(0 xf（方法：把0 xx 代入原函数)(xf中），切点)(,(00 xfx.第二步：计算切线斜率()kfx.第三步：计算切线方程.切线过切点)(,(00 xfx，切线斜率)(0 xfk。根据直线的点斜式方程得到切线方程：)()(000 xxxfxfy.（2）过型求切线方程 已知：函数)(xf的解析式.计算：过点111(,)P x y（无论该点是否在()yf x上）的切线方程.步骤：第一步：设切点000(,)P xy 第二步：计算切线斜率0()kfx；计算切线斜率1010yykxx；第三步：令：10010()yykfxxx，解出0 x，代入0()kfx求斜率 第三步：计算切

6、线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：000()()yyfxxx.一、判断题 1（2021全国高二课前预习）函数 yf(x)在 xx0处的导数值就是曲线 yf(x)在 xx0处的切线的斜率()【答案】正确 函数 yf(x)在 xx0处的导数值就是曲线 yf(x)在 xx0处的切线的斜率.2（2021全国高二课前预习）函数在 xx0处的导数 f(x0)是一个常数()【答案】正确 函数在 xx0处的导数 f(x0)是一个常数.3（2021全国高二课前预习）函数 yf(x)在 xx0处的导数值与 x的正、负无关.()【答案】正确 4（2021全国高二课前预习）设 xx0 x，则 xxx0，则 x

7、 趋近于 0 时，x 趋近于 x0，因此，f(x0)0limx 00()f xxf xx0limxx 00()f xf xxx.()【答案】正确 二、单选题 1（2022河北邢台高二阶段练习）函数 27f xxx从 1 到 2 的平均变化率为（）A4 B4 C6 D6【答案】A 函数 27f xxx从 1 到 2 的平均变化率为：2110642 1ff 故选：A.2（2022四川攀枝花七中高二阶段练习（理）已知函数 2exf x，则 011lim2xfxfx （）Ae2 Be2 Ce De 第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试 【答案】D 2exfx，则 12ef 00111111liml

8、im(1)e222xxfxffxffxx 故选：D 3（2022江西九江二模）曲线 3313fxx在1x 处的切线倾斜角是（）A6 B3 C56 D23【答案】B 设曲线 3313fxx在1x 处的切线倾斜角为，因为 23fxx，则 13f，因为0，因此，3.故选：B.4（2022安徽滁州高二阶段练习）曲线()lnf xxx在1x 处的切线的方程为（）A22yx B1yx C1yx D31yx【答案】B 解：由()lnf xxx，得()ln1fxx，所以(1)0f，(1)011f ，所以曲线()f x在1x 处的切线的方程为01(1)yx，即1yx 故选：B.高频考点一：导数的概念 1（202

9、2河北邢台高二阶段练习）已知函数()yf x的图象如图所示，()fx是函数()f x的导函数，则（）A(4)(2)(2)(4)2ffff B(4)(2)(4)(2)2ffff 第三部分：典 型 例 题 剖 析 C(4)(2)(2)(4)2ffff D(4)(2)(4)(2)2ffff【答案】A 如图所示，根据导数的几何意义，可得(2)f 表示曲线在A点处的切线的斜率，即直线1l的斜率1lk，(4)f 表示曲线在B点处的切线的斜率，即直线2l的斜率2lk，又由平均变化率的定义，可得(4)(2)2ff表示过,A B两点的割线的斜率lk，结合图象，可得12lllkkk，所以(4)(2)(2)(4)2

10、ffff.故选：A.2（2022安徽芜湖一中高二阶段练习）已知函数 f x在0 xx处的导数为 0fx，则 0003limxfxxfxx （）A 013fx B 03fx C 03fx D 013fx【答案】C 根据题意，000000033lim3lim33xxfxxfxfxxfxfxxx .故选：C 3（2022陕西西安市阎良区关山中学高二阶段练习（理）已知 02fx，则 000lim2xf xxf xx _.【答案】1 000000011limlim1222xxf xxf xf xxf xfxxx .故答案为：1.高频考点二：导数的运算 1（多选）（2022河北武安市第三中学高二阶段练习）

11、下列运算正确的是（）A1cos62 B3ln 3131xx C334113xx D eexx【答案】BD cos06，3ln 3131xx，143333411133xxxx ，eexx，故 AD 错误，BC 正确.故选：BC.2（2022重庆市青木关中学校高二阶段练习）已知函数3()lnf xxx，则(1)f _.【答案】4 21()3fxxx，则(1)4.f 故答案为：4 3（2022四川攀枝花七中高二阶段练习（理）求下列函数的导数：(1)2cosxxyx；(2)e1cos2xxyx；(3)3log51yx【答案】(1)y31 sin2cosxxxx；(2)ye 1 cossin2 ln2x

12、xxx；(3)y551 ln3x.(1)因为2cosxxyx，故y243sin12cos1 sin2cosxxxxxxxxxx.(2)因为e1cos2xxyx，故ye 1 cossin2 ln2xxxx.(3)因为3log51yx，故y155?51 ln351 ln3xx.4（2022四川棠湖中学高二阶段练习（理）求下列函数的导数(1)f（x）=x3ex；(2)g（x）=cos2x+ln（2x）【答案】(1)233(e)xxfxx(2)()2sin 21g xxx (1)232323ee3eexxxxxxxxfx(2)212sin 22sin 22gxxxxx 5（2022甘肃甘南藏族自治州合

13、作第一中学高二期末（文）求下列函数的导数.(1)2()sin2cosf xxxx；(2)e1()e1xxf x.【答案】(1)2()cos2 sin2sinfxxxxxx(2)22e()(e1)xxfx (1)2222()(sin2cos)(sin)2(cos)2 sin(sin)2sincos2 sin2sinfxxxxxxxxxxxxxxxxx(2)222e1(e1)(e1)(e1)(e1)()()e1(e1)e(e1)e(e1)2e(e1)(e1)xxxxxxxxxxxxxxfx 高频考点三：导数的几何意义 求切线方程（在型）1（2022内蒙古赤峰二中高二期末（文）曲线 exf xxa在

14、点 0,0f处的切线过点2,-1，则实数a（）A1 B0 C1 D2【答案】A 解：因为 0fa，1 exfxxa，10fa，所以，切线方程为1yaax，因为切线过点2,1，所以121aa，解得1a 故选：A 2（2022江西临川一中高二期末（文）已知函数 2ln()f xxx，则函数 f x在点(1,(1)f处的切线方程为（）A 10 xy B30 xy C10 xy D0 xy【答案】C 11 2 2=()xfxxx 则12 1=1()1kf，又 12ln12()f 则函数 f x在点(1,(1)f处的切线方程为 2(1)yx，即10 xy 故选：C 3（2022天津市滨海新区塘沽第一中学

15、高二阶段练习）曲线 exf x 在0 x 处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积为（）A1 B12 C22e D2e2【答案】B 因为 exf x，则 exfx，所以，001ff，所以，直线l的方程为1yx，直线l交x轴于点1,0，交y轴于点0,1，因此，直线l与坐标轴围成的三角形的面积为211122.故选：B.4（2022湖南一模）若曲线1lnxyex在点(1,1)处的切线与直线0axy平行，则a（）A1 B1 C2 D2【答案】C 由111lnxxyexyex，显然(1,1)在曲线1lnxyex上，所以曲线1lnxyex在点(1,1)处的切线的斜率为1 1121e，因此切线方程为：12(1)

16、21yxyx，直线0axy的斜率为a，因为曲线1lnxyex在点(1,1)处的切线与直线0axy平行，所以22aa ，故选：C 5（2022河南模拟预测（文）函数 ln2f xxxx在1x 处的切线方程为（）A1yx B1yx C22yx D21yx【答案】A 依题意，ln1fxx，则(1)1f ，而(1)2f，于是有21yx，即1yx ，所以所求切线方程为：1yx .故选：A 6（2022河南沈丘县第一高级中学高二期末（文）已知函数 ln3f xxxx，则曲线()yf x在点 e,ef处的切线方程为（）Ae0 xy Be0yx Ce0 xy De0 xy【答案】A 函数 ln3f xxxx，

17、求导得：()(ln1)3ln2fxxx，则(e)1f ，而(e)2ef，于是得：2e1(e)yx ，即e0 xy，所以曲线()yf x在点 e,ef处的切线方程为e0 xy.故选：A 求切线方程（过型）1（2022江西南昌大学附属中学高二期末（理）曲线 yln x 在点 M 处的切线过原点，则该切线的斜率为（）A1 Be C1 D1e【答案】D 设切点为,lntt，1yx，故在M点的切线的斜率为1t，所以ln01e0tttt，所以切点为e,1，切线的斜率为1e.故选：D 2（2022全国高三专题练习）若曲线yx的一条切线经过点(8，3)，则此切线的斜率为（）A 14 B 12 C14或18 D

18、12或14【答案】C 由题意，可设切点坐标为(x0，0 x)，由12yxx，得 y12 x，切线斜率 k012 x，由点斜式可得切线方程为 yx012 x(xx0)，又切线过点(8，3)，所以 3x012 x(8x0)，整理得 x060 x80，解得0 x4 或 2，所以切线斜率 k14或18.故选：C.3（2022江苏南京航空航天大学苏州附属中学高二阶段练习）已知函数 33f xxx，则过点3,9 可作曲线 yf x的切线的条数为（）A0 B1 C2 D3【答案】C 解：因为 33f xxx，所以 233 fxx，设切点为3,3aaa，所以在切点3,3aaa处的切线方程为23313yaxaa

19、a，又3,9 在切线上，所以2393133aaaa ，即2393133aaaa，整理得32290aa，解得10a 或292a ，所以过点3,9 可作曲线 yf x的切线的条数为 2.故选：C 4（2022陕西安康高三期末（文）曲线2 ln3yxx过点1,02的切线方程是（）A210 xy B210 xy C2410 xy D2410 xy 【答案】B 由题意可得点1,02不在曲线2 ln3yxx上，设切点为00,x y，因为2ln2yx，所以所求切线的斜率0000022ln21212yykxxx，所以000002ln2ln1yxxxx.因为点00,x y是切点，所以0002ln3yxx，所以0

20、000002ln2ln12ln3xxxxxx，即002ln20 xx.设 2ln2f xxx，明显 f x在0,上单调递增，且 10f，所以002ln20 xx有唯一解01x，则所求切线的斜率2k，故所求切线方程为12212yxx.故选：B.5（2022陕西西北工业大学附属中学一模（理）已知 lnf xxx，若过一点,m n可以作出该函数的两条切线，则下列选项一定成立的是（）Alnnmm Blnnmm C2e0en D1m【答案】A 设切点为,lnt tt，对函数 f x求导得 ln1fxx，则切线斜率为 ln1ftt，所以，切线方程为lnln1ytttxt，即ln1ytxt，所以，ln1nm

21、tt，可得ln0tmtnm，令 lng ttmtnm，其中0t，由题意可知，方程 0g t 有两个不等的实根.1mtmgttt.当0m 时，对任意的0t，0g t，此时函数 g t在0,上单调递增，则方程 0g t 至多只有一个根，不合乎题意；当0m 时，当0tm时，0g t，此时函数 g t单调递减，当t m时，0g t，此时函数 g t单调递增.由题意可得 minlnln0g tg mmmmnmnmm，可得lnnmm.故选：A.6（2022江西模拟预测（文）已知曲线()elnxf xx与过点0,1的直线l相切，则l的斜率为_【答案】e 1#1 e 解：设切点为000,elnxxx，1()e

22、xfxx，则0001()exfxx，则切线方程为00000eln1exxyxxxx，将点0,1代入得0000011neelxxxxx，化简得000ln1exxx，解得01x，所以切线的斜率为e 1.故答案为：e 1.7（2022全国高三专题练习）已知函数 f(x)x2ax，若曲线 yf(x)存在两条过(1，0)点的切线，则 a 的取值范围是_.【答案】2|a a 或0a 由题得 212afxx，设切点坐标为0002axxx，则切线方程为00200122aayxxxxx，又切线过点1,0，可得002001122aaxxxx，整理得200220 xaxa，因为曲线 yf x存在两条切线，故方程有两

23、个不等实根且00 x 若00 x，则0a，为两个重根，不成立,即满足2(2)4 20aa ，解得0a 或2a 故a的取值范围是2|a a 或0a 故答案为：2|a a 或0a 已知切线方程（或斜率）求参数 1（2022北京北理工附中高二阶段练习）如图，函数()yf x的图像在点 P 处的切线方程是8yx ，则(5)(5)ff（）A-2 B2 C3 D无法确定【答案】B 由题图，(5)1f ，且5(5)|583xfy ，所以(5)(5)2ff.故选：B 2（2022湖南长沙县实验中学高二阶段练习）已知函数 1f xaxx在点 1,1f处的切线与直线210 xy 垂直，则a（）A2 B1 C2 D

24、3【答案】B 函数 1f xaxx的导数为 21fxax，11fa，即函数在1x 处的切线斜率为1a，由切线与直线210 xy 垂直，可得1112a，解得1a.故选：B.3（2022吉林白山一模（理）函数 1 exf xa xx的图象在点 0,0f处的切线斜率为 1，则a（）A1 B1 C2 D2【答案】A 因为 e1 e1xxfxaa x，所以 021 1fa，解得1a.故选：A 4（2022江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知直线yaxb是曲线lnyxx的切线，则2ab的取值范围是（）A0,1 B0,e C,2e D,e【答案】C 设直线yaxb与曲线lnyxx的切线点的横坐标为00(0)

25、xx，由lnyxx，可得ln1yx，则0000lnln1axbxxax，可得00(1)axbx a，所以0bx，由0ln1ax，0bx，则0220ln1xabx，令 2ln1,0g xxxx，可得 32ln1xgxx，令 0gx，即2ln10 x，解得1xe，当1(0,)xe时，0g x，g x单调递增；当1(,)xe时，0gx，g x单调递减，所以 max1()2eg xge，即 2eg x，当0 x 时，g x，所以22aeb，即2ab的取值范围是,2e.故选：C.5（2022全国高三专题练习）若点 P 是曲线232ln2yxx上任意一点，则点 P到直线3yx的距离的最小值为（）A7 24

26、 B3 32 C2 D5【答案】A 设平行于直线3yx且与曲线232ln2yxx相切的切线对应切点为(,)P x y，由232ln2yxx，则23yxx，令231yxx，解得1x 或23x （舍去），故点 P的坐标为31,2，故点 P到直线3yx的最小值为：3137 2242.故选：A.6（2022四川省绵阳南山中学高二阶段练习（理）若曲线 2lnf xaxxx 存在垂直于 y轴的切线，则 a的取值范围是()A1,8 B10,8 C1,8 D1,8【答案】C 依题意，f(x)存在垂直与 y轴的切线，即存在切线斜率0k 的切线，又 121kfxaxx，0 x，1210axx 有正根，即2112a

27、xx有正根，即函数 y2a与函数211,0yxxx的图像有交点，令10tx，则 g(t)221124ttt，g(t)g(12)14，2a14，即 a18.故选：C.7（2022全国高三专题练习）点 A在直线 yx 上，点 B 在曲线lnyx上，则AB的最小值为（）A22 B1 C2 D2【答案】A 设平行于直线 yx的直线 yxb 与曲线lnyx相切，则两平行线间的距离即为AB的最小值 设直线 yxb 与曲线lnyx的切点为(,ln)mm，则由切点还在直线 yxb 上可得lnmm b，由切线斜率等于切点的导数值可得11m，联立解得 m1，b1，由平行线间的距离公式可得AB的最小值为22|10|

28、221(1)，故选：A.导数与函数图象 1（2022北京北理工附中高二阶段练习）函数()yf x的图像如图所示，下列不等关系正确的是（）A0(2)(3)(3)(2)ffff B0(2)(3)(2)(3)ffff C0(3)(3)(2)(2)ffff D0(3)(2)(2)(3)ffff【答案】C 如图所示，根据导数的几何意义，可得 2f 表示切线1l斜率10k，3f表示切线3l斜率30k，又由平均变化率的定义，可得(3)(2)(3)(2)32ffff，表示割线2l的斜率2k，结合图象，可得3210kkk，即 03322ffff.故选：C.2（2022全国高二单元测试）已知函数 yf x的图象是

29、下列四个图象之一，且其导函数 yfx的图象如图所示，则该函数的图象是（）A B C D【答案】A 由函数 f(x)的导函数 yf(x)的图像自左至右是先减后增，可知函数 yf(x)图像的切线的斜率自左至右先减小后增大，且 00f，在0 x 处的切线的斜率为 0，故 BCD 错误，A 正确.故选：A.3（2022江苏高二）如图，函数 yf x的图象在点P处的切线方程是8yx ，则 055limxfxfx（）.A1 B3 C3 D1 【答案】D 因为函数()yf x的图象在点P处的切线方程是8yx ，切点的横坐标为5，由导数的几何意义可得 51f ，所以 055lim51xfxffx ，故选：D.

30、4（2021全国高二单元测试）如图所示，yf x是可导函数，直线 l：y=kx+3 是曲线 y=f（x）在 x=1 处的切线，令()()f xh xx，h x是 h（x）的导函数，则 1h的值是（）A2 B1 C-1 D-3【答案】D 根据图象可知 12f，所以213,1kk ，即 11f，2,111123x fxfxhxhffx .故选：D 共切点的公切线问题 1（2021江西高三阶段练习（理）若曲线1exy与曲线yax在公共点处有公共切线，则实数a（）A2ee Bee C2e D1e【答案】A 设公共点为,P s t，1exy的导数为1exy，曲线1exy在,P s t处的切线斜率1esk

31、，yax的导数为2ayx，曲线yax在,P s t处的切线斜率2aks，因为两曲线在公共点P处有公共切线，所以1e2sas，且1est，ta s，所以11e2essasa s，即2aa ss解得12s，所以1121e2a，解得2eea，故选：A 2（2021重庆高二阶段练习）已知两曲线3yxax和2yxbxc都经过点1,2P，且在点P处有公切线，则当12x 时，2log2baxcx的最小值为（）A1 B2 C12 D0【答案】D 由题意32211211abc 即11abc 设3()f xxx，2()g xxbxc，因为2()31fxx，2gxxb，所以(1)4f，(1)2gb，又因为两曲线在点

32、 P处有公切线，所以(1)(1)24fgb，所以2b，1c 所以2222211loglogloglog 102222baxcxxxxx(当且仅当1x 时等号成立)故选：D 3（2021云南曲靖一中模拟预测（理）设曲线 xf xaeb和曲线 cos2xg xc在它们的公共点0,2M处有相同的切线，则bca的值为（）A0 B C2 D3【答案】D xfxae，sin22xgx，0fa，00g，0a，又0,2M为 f x与 g x公共点，02fb，012gc，解得：1c，2 1 03bca .故选：D.4（2022全国高三专题练习（理）已知函数 22f xxm，3lng xxx，若 yf x与 yg

33、 x在公共点处的切线相同，则m（）A3 B1 C2 D5【答案】B 设函数 22f xxm，3lng xxx的公共点设为00,x y，则 0000f xg xfxgx，即200000023ln3210 xmxxxxx，解得01xm，故选：B.5（2022全国高三专题练习）若函数 f（x）alnx（aR）与函数 g（x）x在公共点处有共同的切线，则实数 a 的值为（）A4 B12 C2e De【答案】C 由已知得 12afxgxxx，设切点横坐标为 t，12alnttatt，解得22etea，.故选：C.不同切点的公切线问题 1（2022河北省唐县第一中学高三阶段练习）已知函数 lnf xax，

34、exg xb，若直线0ykx k与函数 f x，g x的图象都相切，则1ab的最小值为（）A2 B2e C2e De【答案】B 设直线ykx与函数 f x，g x的图象相切的切点分别为,A m km，,B n kn.由 afxx，有lnkma makm，解得em，eak.又由 exgxb，有eennknbbk，解得1n，ekb，可得21ee2 e2eakbk，当且仅当ea，1eb 时取“=”.故选：B 2（2022重庆市育才中学高三阶段练习）若直线:l ykxb（1k）为曲线 1xf xe与曲线 lng xex的公切线，则 l的纵截距b（）A0 B1 Ce De 【答案】D 设 l与 f x的

35、切点为11(,)x y，则由 1xfxe，有11111:1xxl yxex e.同理，设 l与 f x的切点为22(,)xy，由 egxx，有22:ln1el yxexx.故1112112,1ln1.xxeexx eex 解得121,.xxe 或122,1.xx 则:l yx或yexe.因1k，所以 l为yx时不成立.故be，故选：D.3（2022湖北安陆第一高中高二阶段练习）若存在过点（0，2）的直线与曲线3yx和曲线2yxxa都相切，则实数 a的值是（）A2 B1 C0 D2【答案】A 3yx的导函数为23yx，2yxxa的导函数为21yx，若直线与3yx和2yxxa的切点分别为（1x，3

36、1x），2222(,)xxxa，过（0，2）的直线为2132yx x、1212yxx，则有21222222331132121232xxxxaxxxx，可得12122xxa 故选：A.4（2022湖南永州二模）若函数2yax与lnyx存在两条公切线，则实数a的取值范围是（）A10,e B10,2e C1,e D1,2e【答案】D 设切线与曲线lnyx相切于点,lntt，对函数lnyx求导得1yx，所以，曲线lnyx在点,lntt处的切线方程为1lnytxtt，即1ln1yxtt，联立21ln1yaxyxtt可得211 ln0axxtt，由题意可得0a 且2141 ln0att，可得221ln4t

37、tta，令 22lng tttt，其中0t，则 22 ln1 2lng ttttttt.当0et 时，0g t，此时函数 g t单调递增，当et 时，0g t，此时函数 g t单调递减，所以，maxee2g tg.且当0et 时，0g t，当te时，0g t，如下图所示：由题意可知，直线14ya与曲线 yg t有两个交点，则1e042a，解得12ea.故选：D.5（2022山西吕梁高二期末）若直线ykxb是曲线2exy的切线，也是曲线1e1xy的切线，则b _【答案】ln3 13 设曲线2exy的切点为：121(,e)xx，由22eexxyy，所以过该切点的切线斜率为：12ex，于是切线方程为

38、：111112222211ee()eeexxxxxyxxyxx，因此有：1112221e,eexxxkbx，设曲线1exy的切点为：212(,e1)xx，由11e1exxyy，所以过该切点的切线斜率为：21ex，于是切线方程为：222221111122(e1)e()ee1exxxxxyxxyxx，因此有：2221112e,e1exxxkbx，因为12211221ee213xxkxxxx ，11222222111112211eee1ee()1e3xxxxxxbxxxx ，即22111ln1ln33xx ，因此22112111ln3 1e1e1(1ln)3333xxbx ，故答案为：ln3 13

39、6（2022全国高三专题练习）若曲线lnyx与曲线22(0)yxxa x有公切线，则a的取值范围是_.【答案】1ln,2e 设111(,)(0)x yx 是曲线lnyx上一点，由1lnyxyx，因此过点11(,)x y的切线的斜率为11x，所以切线方程为：1111()yyxxx，而11lnyx，即11ln1xyxx，设222(,)(0)xyx 是曲线22(0)yxxa x上一点，由2222yxxayx，所以过222(,)(0)xyx 点的切线的斜率为222x，所以切线方程为：222(22)()yyxxx，而22222yxxa，即222(22)yxxxa，当这两条切线重合时，就是两个曲线的公切线

40、，因此有：22122212122ln(22)1ln1xxaxxxxa ，因为10 x，所以21x 设函数2()ln(22)1(10)f xxxx，1()21fxxx，因为10 x，所以()0fx，所以函数()f x是减函数，1(0)ln2 1ln2fe ，当1x 时，()f x ，因此1()ln2f xe，所以1ln2ae，故答案为：1ln,2e 7（2022四川棠湖中学高二阶段练习（文）已知 xf xe（e为自然对数的成数），ln2g xx，直线l是 f x与 g x的公切线，则直线l的方程为_.【答案】yex或1yx 设公切线l与 f x且于点,P a b，与曲线 g x切于点,Q m n

41、，则有abe，ln2nm，又 1,xfxegxx，1,afaegmm 过点,P Q的直线l的斜率为PQnbkma，1anbemam 由消去,a b n整理得1(1ln)(1)0mm，解得1me或1m 当1me时，1 2ln1ne，直线l与曲线 g x的切点为1(,1)e，1gee，此时切线方程为11()ye xe，即yex 当1m 时，2n，直线l与曲线 g x的切点为(1,2)，11g，此时切线方程为21yx，即1yx 故直线l的方程为yex或1yx 所以答案为yex或1yx 与切线有关的转化问题 1（2022全国高三专题练习）已知111ln20 xxy，22242ln20 xy，则2212

42、12()()xxyy的最小值为（）A105 B2 55 C2 105 D2 155【答案】B 221212()()xxyy的最小值可转化为函数ln2yxx图像上的点11,x y与直线242ln 20 xy上的点22,x y的距离的最小值.【详解】设11,A x y,22,B x y,点11,A x y在函数ln2yxx上，点22,B x y在函数242ln 20 xy上，221212()()xxyy表示曲线ln2yxx上点11,A x y到直线242ln 20 xy的点22,B x y距离.由ln2yxx，可得11yx，与直线242ln 20 xy平行的直线的斜率为12，令1112x ，得2x

43、，所以切点的坐标为2,ln2，切点到直线242ln 20 xy的距离22 242ln22 5514lnd.221212()()xxyy的最小值为2 55.故选：B 2（2022江苏泰州中学高二开学考试）若实数a，b，c，d满足ln,1ab cd，则22acbd的最小值为_.【答案】2 由lnba，1dc，故22acbd可理解为曲线lnyx上一点,a b与直线1yx上一点,c d间的距离的平方，对于函数lnyx，令11yx，故可得1x，即函数lnyx在1,0处的切线方程为10 xy，切线方程与直线1yx平行，则函数lnyx在1,0处的切线方程与直线1yx之间的距离1122d，故22acbd的最小

44、值为22d.故答案为：2.3（2022四川成都外国语学校高二阶段练习（文）已知0 x，yR，222()ln2xyxxy的最小值为（）A2 B2 C4 33 D163【答案】B 222()ln2xyxxy可以转化为：2,ln2A x xx是函数2()ln2f xxx图象上的点，(,)B y y是函数yx上的点，2222|()ln2ABxyxxy.当与直线yx平行且与()f x的图象相切时，切点到直线yx的距离为|AB的最小值.令 121fxxx，解得1x 或12x ，（舍去），又(1)3f，所以切点(1,3)C到直线yx的距离即为|AB的最小值.所以min1 3|22AB，所以2min|2AB.

45、故选：B.【点睛】方法点睛：距离的计算方法有两类：（1）几何法：利用几何图形求最值；（2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值.4（2022全国高三专题练习）若211212ln21xxxyy，则221212xxyy的最小值是（）A12 B22 C2 D2【答案】D 解：由已知可得2111lnyxx，222yx，则221212xxyy的最小值即为曲线2lnyxx的点到直线20 xy的距离最小值的平方，设 2ln0f xxx x，则 12fxxx，令121xx，解得1x，11f，曲线2lnyxx与20 xy平行的切线相切于 1,1P，则所求距离的最小值为点 1,1P到直线20 xy的距离的平方

46、，即2221 1.故选：D.5（2022全国高三专题练习）已知点P，Q分别在函数()ln(1)f xx与()2g xx的图象上运动，则PQ的最小值为（）A1 B2 C2 D2 2【答案】B 由题意知，当曲线()f x在点P处的切线与()2g xx平行时，两平行线之间的距离即为PQ的最小值.设00,P x y，令0001()1,01fxxx，故(0,0)P，点P到2yx的距离为222d 故PQ的最小值为2，故选：B 1（2021全国高考真题）若过点,a b可以作曲线exy 的两条切线，则（）Aeba Beab C0eba D0eab【答案】D 在曲线xye上任取一点,tP t e，对函数xye求

47、导得exy，所以，曲线xye在点P处的切线方程为ttyeext，即1ttye xt e，由题意可知，点,a b在直线1ttye xt e上，可得11tttbaet eat e，令 1tf tat e，则 tftat e.当ta时，0ft，此时函数 f t单调递增，当ta时，0ft，此时函数 f t单调递减，所以，maxaf tf ae，由题意可知，直线yb与曲线 yf t的图象有两个交点，则 maxabf te，当1ta时，0f t，当1ta时，0f t，作出函数 f t的图象如下图所示：由图可知，当0abe时，直线yb与曲线 yf t的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线xye的图

48、象如图所示，根据直观即可判定点,a b在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0abe.第四部分：高考真题感悟 故选：D.【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.2（2020全国高考真题（理）若直线 l 与曲线 y=x和 x2+y2=15都相切，则 l 的方程为（）Ay=2x+1 By=2x+12 Cy=12x+1 Dy=12x+12【答案】D 设直线l在曲线yx上的切点为00,xx，则00 x，函数yx的导数为12yx，则直线l的斜率01

49、2kx，设直线l的方程为00012yxxxx，即0020 xx yx，由于直线l与圆2215xy相切，则0011 45xx，两边平方并整理得2005410 xx，解得01x，015x （舍），则直线l的方程为210 xy，即1122yx.故选：D.3（2019全国高考真题（文）曲线 y=2sinx+cosx 在点(，1)处的切线方程为 A10 xy B2210 xy C2210 xy D10 xy 【答案】C 当x时，2sincos1y ，即点(,1)在曲线2sincosyxx上2cossin,yxx 2cossin2,xy 则2sincosyxx在点(,1)处的切线方程为(1)2()yx ，

50、即2210 xy 故选 C【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取导数法，利用函数与方程思想解题学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程 一、单选题 1（2022重庆市长寿中学校高二阶段练习）设 f x是可导函数，且 0121lim2xfxfx ，则 1f（）A12 B1 C0 D2【答案】B 解：0121lim2xfxfx ，01211lim2xfxffx 012111lim2122xfxfx .故选：B.2（2022河北武安市第三中学高二阶段练