2013中考数学压轴题矩形问题精选解析(三)1229.pdf

《2013中考数学压轴题矩形问题精选解析(三)1229.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013中考数学压轴题矩形问题精选解析(三)1229.pdf（4页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 1 2013 中考数学压轴题矩形问题精选解析(三)例 5 如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为A（5，0），C（0，3）射线ykx交折线ABC于点P，点A关于OP的对称点为A （1）当点A 恰好在CB边上时，求CA 的长及k的值；（2）若经过O、A、A 三点的抛物线恰好以A 为顶点，求k的值及该抛物线的解析式；（3）如图2，当点P在AB边上，点A 在CB上方时，连接A O、A P分别交CB边于点E、F是否存在实数k使A EFBPF？若存在，求出k值；若不存在，说明理由；（4）以OP为直径作M，则M与矩形OABC最多有_个公共点，直接写出公共点个数最多时k的取值范围

2、 解析：（1）当点A 恰好在CB边上时，连接A O、A P，如图1 OAOA5，OC3 CA OA 2OC 2 5 23 2 4 A BCBCA541 设PAx，则A PPAx，BP3x 在 RtA PB中，A B 2BP 2A P 2 1 2(3x)2x 2，解得x 5 3 ，P（5，5 3）k yP xP 1 3 （2）连接A O、A P、A A，设A A交射线OP于点D，如图2 则OP垂直平分A A 经过O、A、A 三点的抛物线恰好以A 为顶点 由抛物线的对称性可知A OA A2A D A OD30，AODA OD30 PA 3 3 OA 5 3 3，P（5，5 3 3）k yP xP

3、3 3 可得A OA60，A OA是等边三角形 点A 的坐标为（5 2 ，5 3 2）设抛物线的解析式为为ya(x 5 2 )2 5 3 2 把O（0，0）代入上式，得0a(0 5 2 )2 5 3 2 B A C x O y P A图 1 B A C x O y P A图 2 EP FP B A C x O y 备用图 B A C x O y P A图 1 B A C x O y P A图 2 D 2 解得a 2 3 5 抛物线的解析式为为y 2 3 5(x 5 2 )2 5 3 2 （3）假设存在实数k，使A EFBPF，如图3 AB90，A FEBFP A EBP，A FBF 设A EB

4、Pa，A FBFb 则A PPA3a，EFPF3ab，OE5a CE5(3ab)b2a 在 RtOCE中，OC 2CE 2OE 2 3 2(2a)2(5a)2，解得a 6 7 PA3 6 7 15 7 ，P（5，15 7）k yP xP 3 7 （4）以OP为直径的M与矩形OABC最多有6 个公共点 提示：OAP90 当点P在AB边上时，M经过O、A、P三点，如图4 COP 90，M必与OC边交于另一点 又M与BC边最多有2 个公共点 M与矩形OABC最多有6 个公共点 当点P在BC边上时，情况亦然 当M与BC边相切于点D时，连接DM并延长交OA于E，如图5 则MDBC，DEABOC，DEOC

5、3 M是OP的中点，E是OA的中点 ME 1 2 PA 设PAx，则ME 1 2 x，DM 1 2 OP 1 2 x 25 2 DMMEDE，1 2 x 25 2 1 2 x3 解得x 11 12，P（5，11 12）k yP xP 11 60 当M与AB边相切于点E时，连接EM并延长交OC于D，如图6 设CPx，则DM 1 2 x，ME 1 2 OP 1 2 x 23 2 DMMEDE，1 2 x1 2 x 23 2 5 解得x 91 20 ，P（91 20 ，3）k yP xP 60 91 B A C x O y P A图 3 EP FP B A C x O y P 图 4 M B A C

6、 x O y P 图 5 DP M EP B A C x O y E 图 6 DP PP M 3 又当点P与点B重合时，M经过O、A、B、C四点，此时k 3 5 当M与矩形OABC有 6 个公共点时，k的取值范围是：11 60 k 60 91 且k 3 5 例 6 如图，矩形ABCD中，AB1，BC3，将矩形ABCD绕中心O顺时针旋转90得到矩形A B C D（1）求点A在旋转过程中所走过的路径的长；（2）求矩形ABCD在旋转过程中所扫过的面积；（3）若点P为线段BC上一点，且使得APA60，则满足条件的点P有几个？请你选择一个点P求APA 的面积 解析：（1）易知点A的路径是以O为圆心、以O

7、A长为半径、圆心角为90 的一段圆弧 AB1，BC 3，AC2，OA1 点A在旋转过程中所走过的路径的长为：190 180 2 （2）如图，将矩形ABCD绕它的对称中心O旋转90，扫过的面积是图中阴影部分的面积 AB1，A DBC 3，A GDGBEC E 31 2 AB1，AD 3 ADBDBC30，OFCA C DBDC60 A ODBOC30 S阴影SO 2(S扇形BOD 2 SBOE)SO 2 S扇形BOD 4 SBOE)1 22 1 230 360 41 2 31 2 1 2 5 6 31 2（cm2）（3）满足条件的点P有 2 个 提示：在BC上取点P1，使BP1 3 3 则AP1

8、B60，P1H 3 3 3 31 2 3 6 1 2 A H 3 31 2 31 2 tanA P1H A H P1H 3，A P1H60 AP1A60 在BC上取点P2，使P2HA G 31 2 则A P2HAA G，A P2A A A H 2P2H 2 2 BP2 31 2 31 2 1AB，AP2 2 D B A C O ABCDD B A C CDABE F O G D B A C CDABE P1 P2 H G 4 AP2A P2A A，AP2A 是等边三角形 AP2A60 又AP2A 的外接圆与BC最多有2 个交点 满足条件的点P有 2 个 若求AP1A 的面积 S梯形ABHA 1 2(1 31 2 )31 2 3 2 3 4，SABP1 1 2 1 3 3 3 6 SAP1H 1 2(3 6 1 2 )31 2 3 6 1 4 SAP1A S梯形ABHA SABP1 SAP1H 3 6 1 2 若求AP2A 的面积 则SAP2A 1 2 2 3 2 2 3 2