2017_18版高中数学第二章平面向量7向量应用举例学案北师大必修15921.pdf

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1、 7 向量应用举例 学习目标 1.了解直线法向量的概念，掌握点到直线的距离公式.2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，力学问题及一些实际问题.3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具 知识点一 直线l：AxByC0 的法向量 思考 类比直线的方向向量的定义，思考与直线l垂直的非零向量是否也是特殊向量？梳理(1)与直线的方向向量_的向量称为该直线的法向量(2)若直线l的方向向量v(B，A)，则直线l的法向量n_，与直线l的法向量n同向的单位向量n0n|n|(AA2B2，BA2B2)知识点二 点到直线的距离公式 思考 n为直线l的法向量，P为直线l上任一点，点M是平面内一定点且

2、不在直线l上，那么点M到直线l的距离d与向量PM，n有怎样的关系？梳理 若M(x0，y0)是平面上一定点，它到直线l：AxByC0 的距离d|Ax0By0C|A2B2.知识点三 向量方法解决平面几何问题 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b的夹角为.思考 1 证明线段平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？思考 2 证明垂直问题，可用向量的哪些知识？梳理(1)平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由_表示出来(2)向量方法解决平面几何问题的步骤 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为 _ 通过_，研究几何元素之间的关系

3、，如距离、夹角等问题 把运算结果“_”成几何关系 知识点四 向量方法解决物理问题 思考 向量的数量积与功有什么联系？梳理(1)物理上力做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W|F|s|cosF，s，功是一个实数，它可正可负，也可以为零力做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它的实质是向量F与s的数量积(2)向量方法解决物理问题的步骤 问题转化，即把物理问题转化为数学问题 建立模型，即建立以向量为载体的数学模型 求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等 回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题 类型一 平面向量在解析几何中的应用 例 1 已知ABC的三个顶点A(0，4)，B(4,0)

4、，C(6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点(1)求直线DE，EF，FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程 反思与感悟 利用向量法解决解析几何问题，首先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算 跟踪训练 1 在ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(4,7)，求A的平分线所在的直线方程 类型二 用平面向量求解平面几何问题 例 2 已知在正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BECF；(2)APAB.反思与感悟 用向量证明平面几何问题的两种基本思路(1)向量的线性运算法的四个步骤 选取基底；用基底表示相关向量；利用向量的

5、线性运算或数量积找出相应关系；把几何问题向量化(2)向量的坐标运算法的四个步骤 建立适当的平面直角坐标系；把相关向量坐标化；用向量的坐标运算找出相应关系；把几何问题向量化 跟踪训练 2 如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PEAB，PFBC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DPEF.类型三 向量在物理中的应用 例 3 已知两恒力F1(3,4)，F2(6，5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)(1)求力F1，F2分别对质点所做的功；(2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功 反思与感悟 物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积 跟踪训练 3 一个

6、物体受到同一平面内的三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东 45的方向移动了 8 m，其中|F1|2 N，方向为北偏东 30，|F2|4 N，方向为北偏东 60，|F3|6 N，方向为北偏西 30，求合力F所做的功 1已知在ABC中，若ABa，ACb，且ab0，则ABC的形状为()A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D不能确定 2过点A(2,3)，且垂直于向量a(2,1)的直线方程为()A2xy70 B2xy70 Cx2y40 Dx2y40 3.用两条成 120角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重 10 N，则每根绳子的拉力大小为_ N.4已知一个物体在大小为 6 N 的力F

7、的作用下产生的位移s的大小为 100 m，且F与s的夹角为 60，则力F所做的功W_ J.5一艘船从南岸出发，向北岸横渡根据测量，这一天水流速度为 3 km/h，方向正东，风的方向为北偏西 30，受风力影响，静水中船的漂行速度为 3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以 2 3 km/h 的速度横渡，求船本身的速度大小及方向 1利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明 2用向量理

8、论讨论物理中相关问题的步骤 一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象 答案精析 问题导学 知识点一 思考 是，为直线的法向量 梳理(1)垂直(2)(A，B)知识点二 思考 点M到直线l的距离d即为向量PM在向量n方向上的射影的绝对值，即d|PMn|n|.知识点三 思考 1 可用向量共线的相关知识：ababx1y2x2y10(b0)思考 2 可用向量垂直的相关知识：abab0 x1x2y1y20.梳理(1)向量的线性运算及

9、数量积(2)向量问题 向量运算 翻译 知识点四 思考 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积 题型探究 例 1 解(1)由已知得点D(1,1)，E(3，1)，F(2，2)，设M(x，y)是直线DE上任意一点，则DMDE.DM(x1，y1)，DE(2，2)，(2)(x1)(2)(y1)0，即xy20 为直线DE的方程 同理可求，直线EF，FD的方程分别为 x5y80，xy0.(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，则CNAB.CNAB0.又CN(x6，y2)，AB(4,4)，4(x6)4(y2)0，即xy40 为所求直线CH的方程 跟踪训练

10、1 解 AB(3,4)，AC(8,6)，A的平分线的一个方向向量为 aAB|AB|AC|AC|35，4545，35 15，75.设P(x，y)是角平分线上的任意一点，A的平分线过点A，APa，所求直线方程为 75(x4)15(y1)0.整理得 7xy290.例 2 证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)(1)BE(1,2)，CF(2，1)，BECF(1)(2)2(1)0，BECF，即BECF.(2)设点P的坐标为(x，y)，则FP(x，y1)，FC(2,1)，FPFC，x2(y1)，即x2y2.同理，由BPBE，得y

11、2x4，由 x2y2，y2x4，得 x65，y85，点P的坐标为(65，85)|AP|6528522|AB|，即APAB.跟踪训练 2 证明 方法一 设正方形ABCD的边长为 1，AEa(0a1)，则EPAEa，PFEB1a，AP 2a，DPEF(DAAP)(EPPF)DAEPDAPFAPEPAPPF 1acos 1801(1a)cos 90 2aacos 45 2a(1a)cos 45 aa2a(1a)0，DPEF，即DPEF.方法二 如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系 设正方形ABCD的边长为 1，AP(0 2)，则D(0,1)，P(22，22)，E(2

12、2，0)，F(1，22)DP(22，221)，EF(122，22)，DPEF22122122220，DPEF，即DPEF.例 3 解(1)AB(7,0)(20,15)(13，15)，W1F1AB(3,4)(13，15)3(13)4(15)99，W2F2AB(6，5)(13，15)6(13)(5)(15)3.力F1，F2对质点所做的功分别为99 和3.(2)WFAB(F1F2)AB(3,4)(6，5)(13，15)(9，1)(13，15)9(13)(1)(15)11715102.合力F对质点所做的功为102.跟踪训练 3 解 以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示 则F1(1，3)，F2(2 3，2)，F3(3,3 3)，所以FF1F2F3(2 32,24 3)又因为位移s(4 2，4 2)，所以合力F所做的功为WFs(2 32)4 2(24 3)4 24 26 324 6(J)即合力F所做的功为 24 6 J.当堂训练 1A 2.A 3.10 4.300 5解 如图，设水的速度为v1，风的速度为v2，v1v2a.易求得a的方向是北偏东 30，a的大小是 3 km/h.设船的实际航行速度为v，方向由南向北，大小为 2 3 km/h.船本身的速度为v3，则av3v，即v3va，由数形结合知，v3的方向是北偏西 60，大小是 3 km/h.