2006年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学1564.pdf

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1、 考试结束前机密 2006 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学 本试卷分选择题和非选择题两部分.共 4 页，满分150 分.考试时间120 分钟.注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号写在答题卡上.用2B 铅笔将答题卡试卷类型（B）涂黑。2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.第一部分 选择题（共50 分）一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、函数23

2、()lg(31)1xf xxx的定义域是 A.1(,)3 B.1(,1)3 C.1 1(,)3 3 D.1(,)3 2、若复数z满足方程220z，则3z A.2 2 B.2 2 C.2 2i D.2 2i 3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A.3,yxxR B.sin ,yx xR C.,yx xR D.x1(),2yxR 4、如图1 所示，D是ABC的边AB上的中点，则向量CD A.12BCBA B.12BCBA C.12BCBA D.12BCBA 5、给出以下四个命题：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，如果一条直线和一

3、个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 A D C B 图 1 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.其中真命题的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1 6、已知某等差数列共有10 项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 A.5 B.4 C.3 D.2 7、函 数()yf x的 反 函 数1()yfx的图像与y轴 交 于 点(0,2)P（如图2 所示），则方程()0f x 在1,4上的根是x A.4 B.3 C.2 D.1 8、已知双曲线2239xy，则双曲线右支上的点P到右焦点的距离

4、与点P到右准线的距离之比等于 A.2 B.2 23 C.2 D.4 9、在约束条件0024xyyxsyx下，当35x时，目标函数32zxy的最大值的变化范围是 A.6,15 B.7,15 C.6,8 D.7,8 10、对于任意的两个实数对(,)a b和(,)c d，规定：(,)(,)a bc d，当且仅当,ac bd；运算“”为：(,)(,)(,)a bc dac bd bcad；运算“”为：(,)(,)(,)a bc da c b d，设,p qR，若(1,2)(,)(5,0)p q，则(1,2)(,)p q A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,4)第二部分 非选择题（共10

5、0 分）二、填空题：本大题共4 小题，每题5 分，共20 分.11、2241lim()42xxx_.12、棱长为3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_.x y 1 2 4 3 1()yfx O 图 2 x y xys 24yx 图 3 O 13、在112()xx的展开式中，5x的系数为_.14、在德国不来梅举行的第48 届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1 堆只有1 层，就一个球；第2,3,4,堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以()f n表示第n堆的

6、乒乓球总数，则(3)_f；()_f n（答案用n表示）.三解答题：本大题共6 小题，共80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、(本题14 分)已知函数()sinsin(),2f xxxxR.(I)求()f x的最小正周期；(II)求()f x的的最大值和最小值；(III)若3()4f，求sin2的值.16、(本题12 分)某运动员射击一次所得环数X的分布如下：X 06 7 8 9 10 P 0 0.2 0.3 0.3 0.2 现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.(I)求该运动员两次都命中7 环的概率(II)求的分布列(III)求的数学期望E.17、(

7、本题14 分)如图5 所示，AF、DE分别世O、1O的 直 径，AD与 两 圆 所 在 的 平 面 均 垂 直，8AD.BC是O的直径，图 4 图 5 A B C F D E O 1O 6ABAC,/OEAD.(I)求二面角BADF的大小；(II)求直线BD与EF所成的角.18、(本题14 分)设函数3()32f xxx 分别在12xx、处取得极小值、极大值.xoy平面上点AB、的坐标分别为11()x f x（,）、22()xf x（,），该平面上动点P满足4PA PB ,点Q是点P关于直线2(4)yx的对称点.求 (I)求点AB、的坐标；(II)求动点Q的轨迹方程.19、(本题14 分)已知

8、公比为(01)qq的无穷等比数列 na各项的和为9，无穷等比数列 2na各项的和为815.(I)求数列 na的首项1a和公比q；(II)对给定的(1,2,3,)k kn，设()kT是首项为ka，公差为21ka 的等差数列，求(2)T的前10 项之和；(III)设ib为数列()kT的第i项，12nnSbbb，求nS，并求正整数(1)m m，使得limnmnSn存在且不等于零.（注：无穷等比数列各项的和即当n时该无穷等比数列前n项和的极限）20、(本题12 分)A是定义在2,4上且满足如下条件的函数()x组成的集合：对任意的1,2x，都有(2)(1,2)x；存在常数(01)LL，使得对任意的12,

9、1,2x x，都有1212|(2)(2)|xxL xx.(I)设3(2)1,2,4xx x，证明：()xA(II)设()xA，如果存在0(1,2)x，使得00(2)xx，那么这样的0 x是唯一的；(III)设()xA，任取1(1,2)x，令1(2)nnxx，1,2,n，证明：给定正整数k，对任意的正整数p，成立不等式121|1kkpkLxxxxL 2006 年高考广东卷(B)第一部分 选择题（50 分）1、函数)13lg(13)(2xxxxf的定义域是 A.),31(B.)1,31(C.)31,31(D.)31,(1、解：由13101301xxx，故选B.2、若复数z满足方程022z，则3z

10、A.22 B.22 C.i 22 D.i 22 2、由izizz2220232，故选D.3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A.Rxxy,3 B.Rxxy,sin C.Rxxy,D.Rxxy,)21(3、B 在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A.4、如图1 所示，D 是ABC 的边AB 上的中点，则向量CD A.BABC21 B.BABC21 C.BABC21 D.BABC21 4、BABCBDCBCD21，故选A.5、给出以下四个命题 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面

11、相交,那么这条直线和交线平行;如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直.其中真命题的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1 5、正确，故选B.6、已知等差数列共有10 项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 A.5 B.4 C.3 D.2 6、3302551520511ddada，故选C.7、函数)(xfy 的反函数)(1xfy的图象与y 轴交于点)2,0(P(如图2 所示)，则方程0)(xf的根是x A.4 B.3 C.2 D.1

12、7、0)(xf的根是x2，故选C 8、已知双曲线9322 yx,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于 A.2 B.332 C.2 D.4 8、依题意可知 3293,322baca，2332ace，故选C.9、在约束条件4200 xysyxyx下，当53 s时，目标函数yxz23 的最大值的变化范围是 A.15,6 B.15,7 C.8,6 D.8,7 9、由42442sysxxysyx交点为)4,0(),0(),42,4(),2,0(CsCssBA，（1）当43 s时可行域是四边形OABC，此时，87 z（2）当54 s时可行域是OAC此时，8maxz 故选D.1

13、0、对于任意的两个实数对（a,b）和(c,d),规定（a,b）(c,d)当且仅当a c,b d;运算“”为：),(),(),(adbcbdacdcba，运算“”为：),(),(),(dbcadcba，设Rqp,，若)0,5(),()2,1(qp则),()2,1(qp A.)0,4(B.)0,2(C.)2,0(D.)4,0(10、由)0,5(),()2,1(qp得210252qpqpqp,所以)0,2()2,1()2,1(),()2,1(qp,故选B.第二部分 非选择题（100 分）二、填空题 11、)2144(lim22xxx 11、4121lim)2144(lim222xxxxx 12、若棱

14、长为3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 12、274233332RSRd 13、在112xx的展开式中，5x的系数为 13、85112)2()2(1121111111111111rrxCxxCTrrrrrrr 所以5x的系数为1320)2()2(3113111111CCrr 14、在德国不莱梅举行的第48 届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、堆最底层（第一层）分别按图4 所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第 n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(nf 表示第n 堆的乒

15、乓球总数，则)3(f ；)(nf （答案用n 表示）.14、)3(f10，6)2)(1()(nnnnf 三、解答题 15、（本小题满分14 分）已知函数Rxxxxf),2sin(sin)(（）求)(xf的最小正周期；（）求)(xf的最大值和最小值；（）若43)(f，求2sin的值.15 解：)4sin(2cossin)2sin(sin)(xxxxxxf（）)(xf的最小正周期为212T;（）)(xf的最大值为2和最小值2；（）因为43)(f，即167cossin243cossin ,即 1672sin 16、（本小题满分12 分）某运动员射击一次所得环数X 的分布列如下：X 0-6 7 8 9

16、 10 Y 0 0.2 0.3 0.3 0.2 现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.()求该运动员两次都命中7 环的概率；()求分布列；()求的数学希望.16 解：()求该运动员两次都命中7 环的概率为04.02.02.0)7(P；()的可能取值为7、8、9、10 04.0)7(P 21.03.03.02.02)8(2P 39.03.03.03.023.02.02)9(2P 36.02.02.03.022.03.022.02.02)10(2P 分布列为 7 8 9 10 P 0.04 0.21 0.39 0.36()的数学希望为07.936.01039.0921.0

17、804.07E.17、（本小题满分14 分）如图5 所示，AF、DE 分别是O、O1的直径.AD 与两圆所在的平面均垂直，AD 8,BC 是O 的直径，AB AC 6，OE/AD.()求二面角B AD F 的大小；()求直线BD 与 EF 所成的角.17、解：()AD 与两圆所在的平面均垂直,AD AB,AD AF,故BAD 是二面角B AD F 的平面角，依题意可知，ABCD 是正方形，所以BAD 450.即二面角B AD F 的大小为450；()以 O 为原点，BC、AF、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，23，0），B（23，0，0）,D

18、（0，23，8），E（0，0，8），F（0，23，0）所以，)8,23,0(),8,23,23(FEBD 10828210064180|,cosFEBDFEBDEFBD 设异面直线BD 与 EF 所成角为，则1082|,cos|cosEFBD 直线BD 与 EF 所成的角为1082arccos 18、（本小题满分14 分）设函数23)(3xxxf分别在1x、2x处取得极小值、极大值.xoy平面上点A、B 的坐标分别为)(,(11xfx、)(,(22xfx,该平面上动点P 满足4 PBPA,点 Q 是点P 关于直线)4(2xy的对称点.求()点 A、B 的坐标；()动点Q 的轨迹方程 18 解:

19、()令033)23()(23xxxxf解得11xx或 当1x时,0)(xf,当11x时,0)(xf,当1x时,0)(xf 所以,函数在1x处取得极小值,在1x取得极大值,故1,121xx,4)1(,0)1(ff 所以,点 A、B 的坐标为)4,1(),0,1(BA.()设),(nmp，),(yxQ，4414,1,122nnmnmnmPBPA 21PQk，所以21mxny，又 PQ 的中点在)4(2xy上，所以4222nxmy 消去nm,得92822yx 19、（本小题满分14 分）已知公比为)10(qq的无穷等比数列na各项的和为9，无穷等比数列2na各项的和为581.()求数列na的首项1a

20、和公比q；()对给定的),3,2,1(nkk ,设)(kT是首项为ka，公差为12ka的等差数列.求数列)(kT的前10 项之和；()设ib为数列)(iT的第i项，nnbbbS 21，求nS，并求正整数)1(mm，使得 mSnnlim存在且不等于零.(注：无穷等比数列各项的和即当n时该无穷数列前n 项和的极限)19 解:()依题意可知,32358119112121qaqaqa()由()知,1323nna,所以数列)2(T的的首项为221 at,公差3122 ad,15539102121010S,即数列)2(T的前10 项之和为155.()ib=121iiaia=112iaii=1321231i

21、ii，2132271845nnnSnn，mnnnSlim=nlimmnmmnnnnnn2132271845 当 m=2 时，mnnnSlim=21，当m2 时，mnnnSlim=0，所以m=2 20、（本小题满分12 分）A 是由定义在4,2上且满足如下条件的函数)(x组成的集合：对任意2,1 x，都有)2,1()2(x；存 在 常 数)10(LL，使 得 对 任 意 的2,1,21xx，都 有|)2()2(|2121xxLxx（）设4,2,1)(3xxx，证明：Ax)()设Ax)(,如果存在)2,1(0 x,使得)2(00 xx,那么这样的0 x是唯一的;()设Ax)(,任取)2,1(lx,

22、令,2,1),2(1 nxxnn证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式|1|121xxLLxxkklk 解：对任意2,1 x,2,1,21)2(3xxx,33)2(x35,253133,所以)2,1()2(x 对任意的2,1,21xx，23232132121211121212|)2()2(|xxxxxxxx，332321321112121xxxx，所以02323213211121212xxxx 32,令2323213211121212xxxx=L，10 L，|)2()2(|2121xxLxx 所以Ax)(反证法:设存在两个0000),2,1(,xxxx使得)2(00 xx,)2(00 xx则 由|)2()2(|/00/00 xxLxx，得|/00/00 xxLxx，所以1L，矛盾，故结论成立。121223)2()2(xxLxxxx，所以1211xxLxxnnn|1|1211211xxLLxxxxxxxxkkkpkpkpkpkkpk kkpkpkpkpkxxxxxx1211123122xxLxxLpkpk+121xxLk1211xxLLK