大学物理教案(第一章质点运动学)43412.pdf

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1、第一章 质点运动学 物理学是研究物质最普遍、最基本的运动形式的基本规律的一门学科,这些运动形式包括机械运动、分子热运动、电磁运动、原子和原子核运动以及其它微观粒子运动等。机械运动是这些运动中最简单、最常见的运动形式,其基本形式有平动和转动。在平动过程中,若物体内各点的位置没有相对变化,那么各点所移动的路径完全相同,可用物体上任一点的运动来代表整个物体的运动,从而可研究物体的位置随时间而改变的情况。在力学中,这部分内容称为质点运动学。11参考系 时间和空间的测量 1参考系 坐标系 一、参考系 在自然界中所有的物体都在不停地运动,绝对静止不动的物体是没有的。在观察一个物体的位置及位置的变化时,总要

2、选取其他物体作为标准,选取的标准物不同,对物体运动情况的描述也就不同，这就是运动描述的相对性。为描述物体的运动而选的标准物叫做参考系。不同的参考系对同一物体运动情况的描述是不同的。因此,在讲述物体的运动情况时,必须指明是对什么参考系而言的。参考系的选择是任意的。在讨论地面上物体的运动时,通常选地球作为参考系。二、坐标系：建立在参照系上的计算系统 确定好参照系后，只能定性地描述物体的运动情况，为了定量地描述运动规律，即为了能给出物体运动的数学表达式，则需在参照系中建立坐标系。常用的坐标系是直角坐标系，另外还有极坐标系、球面坐标系和柱面坐标系。1.1.2 时间和空间 1、时间：时间反映物理事件的先

3、后顺序和持续性。2、空间反映物体位置的变化和物体的大小。1.1.3 长度的测量 质点运动的矢量描述 1.2.1 质点 物体都有大小和形状,运动方式又都各不相同。例如,太阳系中,行星除绕自身的轴线自转外,还绕太阳公转；从枪口射出的子弹,它在空中向前飞行的同时,还绕自身的轴转动；有些双原子分子,除了分子的平动、转动外,分子内各个原子还在振动。这些事实都说明,物体的运动情况是十分复杂的。物体的大小、形状、质量也都是千差万别的。如果我们研究某一物体的运动,可以忽略其大小和形状,或者可以只考虑其平动,那么,我们就可把物体当作是一个有一定质量的点,这样的点通常叫做质点。质点是经过科学抽象而形成的物理模型。

4、把物体当作质点是有条件的、相对的,而不是无条件的、绝对的,因而对具体情况要作具体分析。例如研究地球绕太阳公转时，由于地球至太阳的平均距离约为地球半径的 104 倍,故地球上各点相对于太阳的运动可以看作是相同的,所以在研究地球公转时可以把地球当作质点。但是,在研究地球上物体的运动情况时,就不能再把地球当作质点处理了。应当指出,把物体视为质点这种抽象的研究方法,在实践上和理论上都有重要意义的。当我们所研究的运动物体不能视为质点时,可把整个物体看成是由许多质点组成的,弄清这些质点的运动,可以弄清楚整个物体的运动。所以,研究质点的运动是研究物体运动的基础。1.2.2 位置矢量 运动方程和轨迹方程 一位

5、置矢量r 描述质点在空间所处位置的矢量称为位置矢量，一般为坐标系的原点指向质点所在位置的矢量，位置矢量也称为位矢或矢径。在如右图所示的直角坐标系中，在时间t，质点P在坐标系里的位置可用位置矢量)(tr来表示。位置矢量简称位矢，它是一个有向线段，其始端位于坐标系的原点O，末端则与质点P在时刻t的位置重合。从图中可以看出，位矢r在ox轴、oy轴和oz轴上的投影(即质点的坐标)分别为x、y和z。所以，质点P在直角坐标系中的位置，既可以用位矢r来表示，也可以用坐标x、y和z来表示。那么位矢r亦可写成 kjirzyx 其值为222 zyxr 位矢r的方向余弦由下式确定 cos cos cosrrrzry

6、x 二、运动方程 当质点运动时，它相对坐标原点O的位矢r是随时间而变化的。因此，r是时间的函数，即 kjirr)()()()(tztytxt 上式叫做质点的运动方程；而)(tx、)(ty和)(tz则是运动方程的分量式，从中消去参数t便得到了质点运动的轨迹方程,所以它们也是轨迹的参数方程。应当指出,运动学的重要任务之一就是找出各种具体运动所遵循的运动方程。速度和加速度 一、位移 在如图y-Ox平面直角坐标系中，有一质点沿曲线从时刻1t的点A运动到时刻2t的点B，质点相对原点O的位矢由Ar变化到Br。显然，在时间间隔12ttt内，位矢的长度和方向都发生了变化。我们将由起始点A指向终点B的有向线段A

7、B称为点A到点B的位移矢量，简称位移。位移AB反映了质点位矢的变化。如把AB写作r，则质点从A点到点B的位移为 ABrrr 亦可写成 jirrr)()(ABABAByyxx 上式表明，当质点在平面上运动时，它的位移等于在x轴和y轴上的位移矢量和。若质点在三维空间运动，则在直角坐标系 Oxyz 中其位移为 kjirrr)z-(zyyxxABABABAB)()(应当注意,位移是描述质点位置变化的物理量,它只表示位置变化的实际效果,并非质点所经历的路程。如在上图中,曲线所示的路径是质点实际运动的轨迹,轨迹的长度为质点所经历的路程,而位移则是r。当质点经一闭合路径回到原来的起始位置时,其位移为零,而路

8、程则不为零。所以,质点的位移和路程是两个完全不同的概念。只有在t 取得很小的极限情况下,位移的大小|r|才可视为与路程 AB 没有区别。二、速度 yxvv 和在力学中,若仅知道质点在某时刻的位矢,而不能同时知道该质点是静还是动,是动又动到什么程度,就不能确定质点的运动状态。所以，还应引入一物理量来描述位置矢量随时间的变化程度，这就是速度。1、平均速度和平均速率 如图所示，一个质点在平面上沿轨迹CABD曲线运动。在时刻t，它处于点A，其位矢为)(1tr。在时刻tt，它处于点B，其位矢为)(2ttr。在t时间内，质点的位移为12rrr。在时间间隔t内的平均速度v为 ttrrrv12 平均速度可写成

9、 其中 是平均速度v在Ox轴和Oy轴上的分量。说明：v与时间间隔)(ttt相对应。平均速率：tsv 2、瞬时速度和瞬时速率 当0t时，平均速度v的极限值叫做瞬时速度(简称速度)，用v表示，有 ttddlim0rtrv 结论：质点的速度等于位矢对时间的一阶导数。或 jijitvyxttvvtyx00limlim 其中 tyvtxvyxdd ,dd yxvv 和是速度v在Ox轴和Oy轴上的分量，又称为速度分量。jijirvyxvvtytxt如以分别表示速度v在Ox轴和Oy上的分速度(注意:它们是分矢显 然，量!)，那么有 上式亦可以写成 速度v的方向与0t在r时的极限方向一致。当0t时，r趋于和轨

10、道相切，即与点A的切线重合。所以当质点作曲线运动时，质点在某一点的速度方向就是沿该点曲线的切线方向。只有当质点的位矢和速度同时被确定时，其运动状态才被确知。所以位矢r和速度v是描述质点运动状态的两个物理量。这两个物理量可以从运动方程求出，所以知道了运动方程可以确定质点在任意时刻的运动状态。因此，概括说来，运动学问题有两类:一是由已知运动方程求解运动状态；另一是由已知运动状态求解运动方程。瞬时速率：dtdstsvlimt0 例：设质点的运动方程为 jir)()()(tytxt 其中 m2)sm1()(1ttx，m2)sm41()(22tty 求s3t时的速度。(2)作出质点的运动轨迹图。解 这是

11、已知运动方程求运动状态的一类运动学问题，可以通过求导数的方法求出。(1)由题意可得速度分量分别为 ttyvtxvyx)sm21(dd ,sm1dd21 故s3t时的速度分量为 yxvv 和jivyxvvyxvvv11sm5.1sm1yxvv和 于是s3t时，质点的速度为 jiv)sm5.1()sm1(11 速度的值为1sm8.1v，速度v与x之间的夹角为 o3.5615.1arctg(2)由已知运动方程 2m)sm41()(,m2)sm1()(22-1ttyttx 消 去t可 得 轨 迹 方 程m 3)m41(21-xxy并 可 作 如 图 所 示 的 质 点 运 动 轨 迹 图 三、加速度

12、上面已经指出，作为描述质点状态的一个物理量，速度是一个矢量，所以，无论是速度的数值发生改变，还是其方向发生改变，都表示速度发生了变化。为衡量速度的变化，我们将从曲线运动出发引出加速度的概念。1、平均加速度 如图所示，设在时刻t，质点位于点A，其速度为1v，在时刻tt，质点位于点B，其速度为2v，则在时间间隔t内，质点的速度增量为12vvv，它在单位时间内的速度增量即平均加速度为tva 2、瞬时加速度 当0t时，平均加速度的极限值叫做瞬时加速度，用a表示，有tttddlim0vva，a的方向是0t时v的极限方向，而a的数值是/tv的极限值。应当注意，加速度a既反映了速度方向的变化，也反映了速度数

13、值的变化。所以质点作曲线运动时，任一时刻质点的加速度方向并不与速度方向相同，即加速度方向不沿着曲线的切线方向。在曲线运动中，加速度的方向指向曲线的凹侧。加速度公式可以写成)(ddjvivayxt 即yxyxaaaajia 其中 tvatvayyxxdd,dd 例 有一个球体在某液体中垂直下落，球体的初速度为jv)sm10(10，它在液体中的加速度为jav)s0.1(1。问:(1)任一时刻t的球体的速度。(2)时刻t球体经历的路程有多长 解：由题意知，球体作变速直线运动，加速度a的方向与球体的速度v的方向相反，由加速度的定义，有 vtva)s0.1(dd1 得vvttvv 0 10d )s0.1

14、(d 有 tevv)s0.1(01 上式表明，球体的速率v随时间t的增长而减小。又由速度的定义，有 tevtyv)s0.1(01dd得 ytttevy 0 0 )s0.1(0dd1 四、运动学的基本问题 运动学的问题一般分为两大类:第一类问题是已知质点的位置矢量 r=r(t),而求质点的速度和加速度,这类问题可以通过矢径对时间的逐级微商得到。例 如图2-13,长为l的细棒,在竖直平面内沿墙角下滑,上端A下滑速度为匀速v。当下端B离墙角距离为x(xl)时,B端水平速度和加速度多大 解：建立如图所示的坐标系 设A端离地高度为y 222lyx 方程两边对t求导 022dtdyydtdxx lxyxy

15、OABdtdyxydtdxvxy 图2-13 vxxl22 加速度:222xxdy/dt-yd/dtd xdtx=v 232vxl 例 质点作半径为R的圆周运动，其速率 t2,求：质点任意时刻的加速度a 解：224nvtRRa 2dvdta 24t=+2Rntaee 第二类问题是已知质点的加速度或速度,而反过来求质点的速度、位置及运动方程。第二类问题则是通过对加速度或速度积分而得到结果,积分常数要由问题给定的初始条件,如初始位置和初始速度来决定。例 1-5.设 某 一 质 点 以 初 速 度)m/s(1000iv作 直 线 运 动,其 加 速 度为 .问：质点在停止前运动的路程有多长 解：质点

16、作直线运动 自然坐标系 圆周运动)sm(102iav一、自然坐标系 在右图中，BAC 为质点轨迹，t时刻质点 P 位于 A 点，te、ne分别为 A 点切向及法向的单位矢量，以 A 为 原点，te切向和ne法向为坐标轴，由此构成的参照系为自 然坐标系（可推广到三维）二、圆周运动的切向加速度及法向加速度 1、切向加速度 如图，质点做半径为r的圆周运动，t时刻，质 点速度 tevv （1）上式中，vv为速率。加速度为 dtedvedtdvdtvdatt （2）上式中，第一项是由质点运动速率变化引起的，方向与te共线，称该项为切向加速度，记为 tttteaedtdva （3）其中，dtdvat （4

17、）ta为加速度a的切向分量。结论：切向加速度分量等于速率对时间的一阶导数。2、法向加速度 式 2 中，第二项是由质点运动方向改变引起的。如图，质点由 A 点运动到 B 点，有 teA,trddttB,dsO图 1-8BAdseevvtt 因为OAet，OBet，所以te、te夹角为d。ttteeed 当0d时，有ddeedtt。因为tteed，所以ted由 A 点指向圆心 O，可有 nteded 式 2 中第二项为：nnntervedtdsrvedtdvdtedv2 该项为矢量，其方向沿半径指向圆心。称此项为法向加速度，记为 nnerva2 大小为rvan2，na是加速度的法向分量。结论：法向

18、加速度分量等于速率平方除以曲率半径。3、总加速度 ntnnttntervedtdveaeaaaa2 大小：22222rvdtdvaaant （2-8）方向：a与te夹角满足 tnaatg dtetedte图 1-9atanaOA,t图 1-10 相对运动 质点的运动轨迹依赖于观察者(即参考系)的例子是很多的。例如一个人站在作匀速直线运动的车上,竖直向上抛出一块石子,车上的观察者看到石子竖直上升并竖直下落。但是,站在地面上的另一人却看到石子的运动轨迹为一抛物线。从这个例子可以看出,石子的运动情况依赖于参考系。在描述物体的运动时，总是相对选定的参考系而言的。通常，我们选地面（或相对于地面静止的物体

19、作为参考系,但是有时为了方便起见，往往也改选相对于地面运动的物体作为参考系。由于参考系的变换，就要考虑物体相对于不同参考系的运动及其相互关系，这就是相对运动问题。如图所示，先选定一个基本参考系 K（地面），如果另一个参考系（车）相对于基本参考系 K 在运动，则称为运动参考系 K。设一运动物体（球）P 在某一时刻相对于参考系K和K 的位置，可分别用位矢 和表示；而运动参考系K上的原点O在基本参考系K中的位矢为，它们之间有如下的关系，即 将上式对时间 t 求导，得 1.：:物体在基本参考系 K中观察到的速度，称为物体的绝对速度，用表示；2.:物体在运动参考系 K中观测到的速度，称为物体的相对速度，用 表示；3.:运动参考系自身相对于基本参考系K的速度，称为物体的牵连速度，用 u 表示。于是，上式可以写成u r r0rxyOK x z yOuKzdtddtddtdrrr0即绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和，这一结论称为速度合成定理，它表述了不同参考系之间的速度变换关系。