2020年中考数学基础题专练：12锐角三角函数12235.pdf

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1、专题 12 锐角三角函数 必考点 1 锐角三角函数：在直角三角形 ABC 中，C 是直角，1、正弦：把锐角 A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记作caA sin 2、余弦：把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记作cbA cos 3、正切：把锐角 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切，记作baA tan 4、余切：把锐角 A 的邻边与对边的比叫做A 的余切，记作abA cot 说明：由定义可以看出 tanAcotAl（或写成AAcot1tan）5、锐角三角函数：锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做A 的锐角三角函数 说明：锐角三角函数都不能取负值。0 sinA l；0cosA；l 6

2、、锐角的正弦和余弦之间的关系任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。即 sinAcos（90一 A）cosB；cosAsin（90一 A）sinB 7、锐角的正切和余切之间的关系任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。即 tanAcot（90一 A）cotB；cotAtan（90A）tanB 说明：式中的 90一 A=B。8、三角函数值的变化规律 （1）当角度在 0 90间变化时，正弦值（正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）当角度在 090间变化时，余弦值（余切值）随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。

3、9、同角三角函数关系公式 （1）1cossin22BA；（2）AAcot1tan；（3）tanAAAcossin 10一些特殊角的三角函数值 【典例 1】（2019浙江中考真题）如图，矩形ABCD的对角线交于点 O，已知,ABmBACa 则下列结论错误的是（）ABDC BtanBCma C2sinmAO DcosmBDa【答案】C【解析】选项A，四边形ABCD是矩形，ABCDCB90，ACBD，AOCO，BODO，AOOBCODO，DBCACB，由三角形内角和定理得：BACBDC，选项 A 正确；选项B，在 RtABC中，tanBCm，即BCmtan，选项 B 正确；选项C，在 RtABC中，

4、ACcosm，即AO2 cosm，选项 C 错误；选项D，四边形ABCD是矩形，DCABm，BACBDC，在 RtDCB中，BDcosm，选项 D 正确.故选C【点睛】本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键 【举一反三】1（2019浙江中考模拟）在RtABC 中，C90，若斜边 AB 是直角边 BC 的 3 倍，则tanB 的值是()A13 B3 C24 D22【答案】D【解析】设 BC=x，则 AB=3x，由勾股定理得，AC=2 2x，tanB=ACBC=2 2xx=2 2，故选 D 考点：1锐角三角函数的定义；2勾股定理 2（2019湖北中考真题）如图，在5 4

5、的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sinBAC的值为（）A43 B34 C35 D45【答案】D【解析】如图，过C作CDAB于D，则=90ADC，AC222234ACADCD5 4sin5CDBACAC=故选 D【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键 3（2019广东中考真题）如图，有一斜坡 AB，坡顶 B 离地面的高度 BC 为 30m，斜坡的倾斜角是BAC，若2tan5BAC，则次斜坡的水平距离 AC 为（）A75m B50m C30m D12m【答案】A【解析】解：因为2tan5BCBACAC，又 BC

6、30，所以，3025AC，解得：AC75m，所以，故选 A.【点睛】本题考查了正切三角函数，熟练掌握是解题的关键.必考点 2 解直角三角形及其应用 由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。若直角三角形 ABC 中，C90，那么 A、B、C，a，b，c 中除C90外，其余 5 个元素之间有关系：（l）222cba；（2）A 十B90；（3）caA sin；cbA cos；baA tan；abA cot 所以，只要知道其中的 2 个元素（至少有一个是边），就可以求出其余 3 个未知数。【典例 2】（2019山东中考真题）如图，甲乙两楼相距 30 米，乙楼高度为

7、 36 米，自甲楼顶 A 处看乙楼楼顶 B 处仰角为 30，则甲楼高度为（）A11 米 B（36153）米 C153米 D（36103）米【答案】D【解析】解：过点 A 作 AEBD，交 BD 于点 E，在 RtABE 中，AE30 米，BAE30，BE30tan30103（米），ACEDBDBE（36103）（米）甲楼高为（36103）米 故选 D 【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.【举一反三】1.（2019湖南中考真题）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东 60方向，距离灯塔 60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏

8、东 45方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是()A30 3 n mile B60 n mile C120 n mile D(3030 3)n mile【答案】D【解析】过 C 作 CDAB 于 D 点，ACD=30，BCD=45，AC=60 在 RtACD 中，cosACD=CDAC，CD=ACcosACD=60330 32 在 RtDCB 中，BCD=B=45，CD=BD=303，AB=AD+BD=30+303 答：此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离是（30+303）nmile 故选 D【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角

9、三角形的问题，解决的方法就是作高线 2（2019四川中考真题）如图，在ABC中，144CACBcosC，则sinB的值为（）A102 B153 C64 D104【答案】D【解析】解：过点 A 作ADBC，垂足为 D，如图所示 在Rt ACD中，1CDCA cosC，2215ADADCD；在Rt ABD中，315BDCB CDAD，22BDAD2 6AB，AD10sinAB4B 故选：D 【点睛】考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出 AD，AB 的长是解题的关键 3（2019辽宁中考模拟）如图，两根竹竿 AB 和 AD 斜靠在墙 CE 上，量得ABC=，ADC=，则竹

10、竿AB 与 AD 的长度之比为()Atantan Bsinsin Csinsin Dcoscos【答案】B【解析】在 RtABC 中，AB=ACsin，在 RtACD 中，AD=ACsin，AB：AD=ACsin：ACsin=sinsin，故选 B【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题 1（2019湖南中考真题）如图，在ABC 中，C90，AC12，AB 的垂直平分线 EF 交 AC 于点 D，连接 BD，若 cosBDC57，则 BC 的长是（）A10 B8 C43 D26【答案】D【解析】C90，cosBDC57，设 CD5x，BD7x，B

11、C26x，AB 的垂直平分线 EF 交 AC 于点 D，ADBD7x，AC12x，AC12，x1，BC26；故选 D.【点睛】本题考查直角三角形的性质；熟练掌握直角三角形函数的三角函数值，线段垂直平分线的性质是解题的关键.2（2019吉林中考真题）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是 3 米若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离 BC 为（）A3sin米 B3cos米 C3sin米 D3cos米【答案】A【解析】解：由题意可得：sin3BCBCAB，故 3sinBCm 故选：A【点睛】考核知识点：由正弦求边.理解正弦定义是关键.3（2019四川中考真题）公元三世纪，我国汉

12、代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形如果大正方形的面积是125，小正方形面积是 25，则2sincos()A15 B55 C3 55 D95【答案】A【解析】解：大正方形的面积是 125，小正方形面积是 25，大正方形的边长为5 5，小正方形的边长为 5，5 5cos5 5sin5，5cossin5，21sincos5 故选：A【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出5cossin5 4（2019重庆中考真题）如图，AB是垂直于水平面的建筑物为测量AB的高度，小红

13、从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了 52 米到达点 C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DCBC在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为 0.8 米，在 E 点处测得建筑物顶端A点的仰角AEF为27（点 A，B，C，D，E 在同一平面内）斜坡CD的坡度（或坡比）1:2.4i，那么建筑物AB的高度约为（）（参考数据sin270.45，cos270.89，tan270.51）A65.8 米 B71.8 米 C73.8 米 D119.8 米【答案】B【解析】解：过点E作EMAB与点M，延长ED交BC于G，斜坡CD的坡度（或坡比）1:2.4i，52BCCD米，设DGx，则2.4 CGx 在Rt

14、 CDG中，222DGCGDC，即222(2.4)52xx，解得20 x=，20DG 米，48CG 米，200.820.8EG 米，5248100BG 米 EMAB，ABBG，EGBG，四边形EGBM是矩形，100EMBG米，20.8BMEG米 在Rt AEM中，27AEM，tan271000.5151AMEM米，5120.871.8ABAMBM米 故选：B 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 5（2019甘肃中考真题）在ABC 中C90，tanA33，则 cosB_【答案】12【解析】解：在 RtABC中，C90，tanA

15、33，设a3x，b3x，则c23x，cosBa1c2 故答案为12【点睛】此题考查的知识点是三角函数，关键明确求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值 6（2019江苏中考真题）如图，在ABC中，62BC，45C，2ABAC，则AC的长为_ 【答案】2【解析】过A作ADBC于D点，设2ACx，则2ABx，因为45C，所以ADCDx，则由勾股定理得223BDABADx，因为62BC，所以362BCxx，则2x 则2AC 【点睛】本题考查勾股定理和正余弦公式的运用，要学会通过作辅助线得到特殊三角形，以便求解.

16、7（2019山东中考模拟）如图，在边长为 1 的小正方形网格中，点 A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，AB、CD 相交于点 O，则 tanAOD=_.【答案】2【解析】如图，连接 BE，四边形 BCEK 是正方形，KF=CF=12CK，BF=12BE，CK=BE，BECK，BF=CF，根据题意得：ACBK，ACOBKO，KO：CO=BK：AC=1：3，KO：KF=1：2，KO=OF=12CF=12BF，在 RtPBF 中，tanBOF=BFOF=2，AOD=BOF，tanAOD=2 故答案为 2【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义此题难度适中，解题的关键是准确作出辅

17、助线，注意转化思想与数形结合思想的应用 8（2019四川中考模拟）在ABC 中，C=90，若 tanA=12，则 sinB=_【答案】2 55 【解析】如图所示：C=90，tanA=12，设 BC=x，则 AC=2x，故 AB=5x，则 sinB=22 555ACxABx.故答案为：2 55 点睛：此题主要考查了锐角三角函数关系，正确表示各边长是解题关键 9（2019江苏中考真题）如图，在矩形 ABCD 中，3AB，2BC，H 是 AB 的中点，将CBH沿 CH 折叠，点 B 落在矩形内点 P 处，连接 AP，则tanHAP_ 【答案】43【解析】如图，连接 PB，交 CH 于 E，由折叠可得

18、，CH 垂直平分 BP，BHPH，又H 为 AB 的中点，AHBH，AHPHBH，HAPHPA，HBPHPB，又180HAPHPAHBPHPB ，90APB，90APBHEB，APHE，BAPBHE，又Rt BCH中，4tan3BCBHCBH，4tan3HAP，故答案为：43 【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键 10（2019四川中考真题）如图，在Rt ABC中，90B o，5AB，12BC，将ABC绕点A逆时针旋转得到ADE，使得点D落在AC上，则tanECD的值为_ 【

19、答案】32【解析】在Rt ABC中，AB=5，BC=12，2213ACABBC ABC绕点A逆时针旋转得到ADE，13AEAC，5ADAB，12DEBC，CD=AC-AD=8 在Rt CED中，123tan82DEECDDC 故答案为：32【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形，难度较小，求出所求三角函数值的直角三角形的对应边长度，根据线段比就可解决问题 11（2019辽宁中考真题）如图，一艘船以 40nmile/h 的速度由西向东航行，航行到 A 处时，测得灯塔P 在船的北偏东 30方向上，继续航行 2.5h，到达 B 处，测得灯塔 P 在船的北偏西 60方向上，此时船到灯塔的距离

20、为_nmile(结果保留根号)【答案】503【解析】解：根据题意，得：PAB=60，PBA=30，AB=2.540=100(nmile)，P=180-PAB-PBA=180-60-30=90 在 RtPAB 中，PB=ABsinPAB=10032=503(nmile)故答案为：503【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，通过解直角三角形求出 PB 的长是解题的关键 12（2019青海中考真题）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8 米，MAD=45，MBC=30，则警示牌的高 CD 为_米（结果保留根号）【答案】4 3一 4【解析】因

21、为MAD=45,AM=4,所以MD=4，因为AB=8，所以MB=12,因为MBC=30，所以CM=MBtan30=43.所以CD=43-4.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的相关定义以及变形是解题的关键.13（2019贵州中考真题）三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，ABCF，FACB90，E45，A60，AC10，则CD的长度是_.【答案】1553.【解析】过点 B 作 BMFD 于点 M，在ACB 中，ACB90，A60，AC10，ABC30，BC10tan60103，ABCF，BCM=ABC=30，BMBCsi

22、n30110 3253，CMBCcos3015，在EFD 中，F90，E45，EDF45，MDBM53，CDCMMD1553，故答案是：1553.【点睛】本题考查了解直角三角形，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题的关键.14（2019浙江中考真题）有一种落地晾衣架如图 1 所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度.图 2 是支撑杆的平面示意图，AB 和 CD 分别是两根不同长度的支撑杆，夹角BOD=.若AO=85cm，BO=DO=65cm.问:当74，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为_cm.(参考数据:sin370.6,cos30.8，sin530.8,cos530.

23、6.)【答案】120.【解析】过 O 作 OEBD，过 A 作 AFBD，可得 OEAF，BO=DO，OE 平分BOD，BOE=12BOD=1274=37，FAB=BOE=37，在 RtABF 中，AB=85+65=150cm，h=AF=ABcosFAB=1500.8=120cm，故答案为：120【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，弄清题中的数据是解本题的关键 15（2019山东中考模拟）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对 A、B 两地间的公路进行改建 如图，A、B 两地之间有一座山，汽车原来从 A 地到 B 地需途径 C 地沿折线 ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线 AB

24、 行驶已知 BC=80 千米，A=45，B=30（1）开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：21.41，31.73）【答案】（1）开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地大约要走 136.4 千米；（2）汽车从 A 地到 B 地比原来少走的路程为 27.2 千米【解析】解：（1）过点 C 作 AB 的垂线 CD，垂足为 D，ABCD，sin30=CDBC，BC=80 千米，CD=BCsin30=801402（千米），AC=40=40 2sin4522CD（千米），AC+BC=80+40240

25、1.41+80=136.4（千米），答：开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地大约要走 136.4 千米；（2）cos30=BDBC，BC=80（千米），BD=BCcos30=80340 32（千米），tan45=CDAD，CD=40（千米），AD=4040tan 451CD（千米），AB=AD+BD=40+40340+401.73=109.2（千米），汽车从 A 地到 B 地比原来少走多少路程为：AC+BCAB=136.4109.2=27.2（千米）答：汽车从 A 地到 B 地比原来少走的路程为 27.2 千米【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化

26、为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线 16（2019辽宁中考真题）如图为某海域示意图，其中灯塔D的正东方向有一岛屿C一艘快艇以每小时20nmile的速度向正东方向航行，到达A处时得灯塔D在东北方向上，继续航行 0.3h，到达B处时测得灯塔D在北偏东 30方向上，同时测得岛屿C恰好在B处的东北方向上，此时快艇与岛屿C的距离是多少？（结果精确到 1nmile参考数据：21.41，31.73，62.45）【答案】此时快艇与岛屿C的距离是 20nmile【解析】解：过点D作DEAB于点E，过点C作CFAB于点F，如图所示 则DECF，DEACFA90 DCEF，四边形CDEF为平行四边形 又CF

27、E90，CDEF为矩形，CFDE 根据题意，得：DAB45，DBE60，CBF45 设DEx（nmile），在 RtDEA中，tanDABDEAE，AEtan45xx（nmile）在 RtDEB中，tanDBEDEBE，BEtan60 x33x（nmile）AB200.36（nmile），AEBEAB，x33x6，解得：x9+33，CFDE（9+33）nmile 在 RtCBF中，sinCBFCFBC，BC93 39 23 6sin4522CF20（nmile）答：此时快艇与岛屿C的距离是 20nmile【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，通过解直角三角形求出 BC 的长是解题的关

28、键 17（2019四川中考真题）如图，海中有两个小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛 D 位于东北方向上，且相距20 2nmile，该渔船自西向东航行一段时间到达点B处，此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上，且相距50nmile，又测得点B与小岛D相距20 5nmile(1)求sinABD的值；(2)求小岛C，D之间的距离(计算过程中的数据不取近似值)【答案】(1)5sin5ABD；(2)小岛C、D相距50nmile.【解析】(1)如图，过点D作DEAB，垂足为E，在Rt AED中，20 2AD，45DAEo，20 2sin4520DE o 在Rt BED中，20 5BD，205sin520

29、 5EDABDBD；(2)过点D作DFBC，垂足为F，则四边形 BEDF 是矩形，在Rt BED中，20DE，20 5BD，2222(20 5)2040BEBDDE，四边形BFDE是矩形，40DFEB，20BFDE，30CFBCBF，在Rt CDF中，2222403050CDDFCF，因此小岛C、D相距50nmile.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构建直角三角形，灵活运用相应三角形函数是解题的关键.18（2019辽宁中考真题）如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即3CDm数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离测角仪支架高1.2AEBFm，小明在

30、E处测得标语牌底部点D的仰角为31，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45，5ABm，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）（参考数据：tan310.60，sin310.52，cos310.86)【答案】能，点D到地面的距离DH的长约为13.2 m【解析】能，理由如下：延长EF交CH于N，则90CNF，45CFNQ，CNNF，设DNxm，则(3)NFCNxm，5(3)8ENxx，在Rt DEN中，tanDNDENEN，则tanDNENDENg，0.6(8)xx，解得，12x，则121.21

31、3.2()DHDNNHm，答：点D到地面的距离DH的长约为13.2 m 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键 27（2019湖南中考真题）天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿ABC路线对索道进行检修维护如图：已知500AB 米，800BC 米，AB与水平线1AA的夹角是30，BC与水平线1BB的夹角是60求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度1CA是多少米？(结果精确到 1 米，参考数据：31.732)【答案】检修人员上升的垂直高度1CA为 943米【解析】如图

32、，过点 B 作1BHAA于点 H 在RtABH中，AB500，BAH30，11BHAB50025022(米)，11A BBH250(米)，在1RtBB C中，BC800，1CBB60，11B C3sinCBBsin60BC2，133B CBC800400 322，检修人员上升的垂直高度1111CACBA B400 3250943(米)答：检修人员上升的垂直高度1CA为 943米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线，构建直角三角形是解题的关键.19（2019陕西中考真题）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度。一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有

33、围栏保护，他们无法到达古树的底部 B，如图所示。于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45；再在 BD 的延长线上确定一点 G，使 DG=5 米，并在 G 处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着 BG 方向移动，当移动带点 F 时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端 A 的像，此时，测得 FG=2 米，小明眼睛与地面的距离 EF=1.6 米，测倾器的高度 CD=0.5 米。已知点 F、G、D、B 在同一水平直线上，且 EF、CD、AB 均垂直于 FB，求这棵古树的高度 AB。（小平面镜的大小忽略不计）【答案】这棵古树的高AB为 18m【解析】如图，过点 C 作 CHAB 于点 H，则 CHBD，BHCD0.5，在 RtACH 中，ACH45，AHCHBD，ABAHBHBD0.5，EFFB，ABFB，EFGABG90，由题意，易知EGFAGB，EFGABG，EFFGABBG，即1.620.55BDBD，解得：BD17.5，AB=17.50.518(m)，这棵古树的高 AB 为 18m【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.