2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准1588.pdf

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1、 2009 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试 一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）1.设71a，则32312612aaa （）A.24.B.25.C.4 710.D.4 712.【答】A.由71a，得282 762aa，故226aa.所以 32223126123(2)6612aaaa aaaa2612126 6 1224aa

2、.2在ABC 中，最大角A 是最小角C 的两倍，且 AB7，AC8，则 BC （）A.7 2.B.10.C.105.D.7 3.【答】C.延长 CA 至 D，使 ADAB，则1D=ABD=CAB=C2，所以CBDDAB，所以BDCD=ABBD，故2BDAB CD7(8 7)105，所以BD105.又因为CD，所以105BCBD.3用 x表示不大于x的最大整数，则方程22 30 xx的解的个数为 （）A.1.B.2.C.3.D.4.【答】C.由方程得232 xx，而 xx，所以232xx，即2230 xx，解得13x，从而 x只可能取值1,0,1,2,3.当 1x 时，21x，解得1x ；当 0

3、 x 时，23x，没有符合条件的解；当 1x 时，25x，没有符合条件的解；当 2x 时，27x，解得7x；2009 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 1 页（共 8 页）DBAC当 3x 时，29x，解得3x.因此，原方程共有 3 个解.4设正方形 ABCD 的中心为点 O，在以五个点 A、B、C、D、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （）A.314.B.37.C.12.D.47.【答】B.不妨设正方形的面积为 1.容易知道，以五个点 A、B、C、D、O 为顶点所构成的三角形都是等腰直角三角形，它们可以分为两类：（1）等腰直角三角形的直角顶点

4、为正方形 ABCD 的四个顶点之一，这样的三角形有 4 个，它们的面积都为12；（2）等腰直角三角形的直角顶点为正方形 ABCD 的中心 O，这样的三角形也有 4 个，它们的面积都为14.所以以五个点 A、B、C、D、O 为顶点可以构成 448 个三角形，从中任意取出两个，共有 28 种取法.要使取出的两个三角形的面积相等，则只能都取自第（1）类或都取自第（2）类，不同的取法有 12 种.因此，所求的概率为123287.5如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC2，以 BC 为直径在矩形内作半圆，自点 A 作半圆的切线 AE，则sinCBE （）A.63.B.23.C.13.D.1010.【答

5、】D.设 BC 的中点为 O，连接 OE、CE.因为 AB BC，AE OE，所以 A、B、O、E 四点共圆，故BAECOE.又 ABAE，OC=OE，所以ABE OCE，因此CEOC1=BEAB3，即BE3CE.又 CE BE，所以22BC=BE+CE=10 CE，故sinCBECE10=BC10.6设n是大于 1909 的正整数，使得19092009nn为完全平方数的n的个数是 （）A.3.B.4.C.5.D.6.【答】B.设2009na，则190910010012009nanaa，它为完全平方数，不妨设为21001ma（其中m为正整数），则21001ma.验证易知，只有当1,2,3,7m

6、 时，上式才可能成立.对应的a值分别为 50，20，10，2.因此，使得19092009nn为完全平方数的n共有 4 个，分别为 1959，1989，1999，2007.2009 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 2 页（共 8 页）ODABCE二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分）1已知t是实数，若,a b是关于x的一元二次方程2210 xxt 的两个非负实根，则22(1)(1)ab的最小值是_.【答】3.因为,a b是关于x的一元二次方程2210 xxt 的两个非负实根，所以 2(2)4(1)0,10,2,tabtab 解得12t.2222222(1)(1)()(

7、)1()()21abababababab 22(1)42(1)14ttt，当1t 时，22(1)(1)ab取得最小值3.2 设 D 是ABC 的边 AB 上的一点，作 DE/BC 交 AC 于点 E，作 DF/AC 交 BC 于点 F，已知ADE、DBF 的面积分别为m和n，则四边形 DECF 的面积为_.【答】2 mn.设ABC 的面积为S,则因为ADEABC，所以ADESADABS.又因为BDFBAC，所以BDFSBDABS.两式相加得1ADEBDFSSADBDSSABAB，即1mnSS，解得2()Smn.所以四边形 DECF 的面积为2()2mnmnmn.3如果实数,a b满足条件221

8、ab，22|1 2|21ababa，则ab_.【答】1.因为221ab，所以11,11ab .由22|1 2|21ababa 可得 2222|12|21121abbaaaaa 222aa，从而2220aa，解得10a.从而120ab，因此21222abaa，即22122(1)bab ，整理得2230bb，解得1b （另一根32b 舍去）.把1b 代入212ba 计算可得0a，所以1ab.2009 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 3 页（共 8 页）FEBCAD4已知,a b是正整数，且满足15152()ab是整数，则这样的有序数对(,)a b共有_对.【答】7.设15152k

9、ab（k为正整数），则21515154kkbaa，故15a为有理数.令2215qap，其中,p q均为正整数且(,)1p q.从而2215aqp，所以2|15q，故1q，所以151ap.同理可得151bm（其中m为正整数），则112kpm.又1,1mp，所以1122kpm，所以1,2,3,4k.（1）1k 时，有1112pm，即(2)(2)4pm，易求得(,)(4,4)p m 或（3,6）或（6,3）.（2）2k 时，同理可求得(,)(2,2)p m.（3）3k 时，同理可求得(,)(2,1)p m 或（1,2）.（4）4k 时，同理可求得(,)(1,1)p m.因此，这样的有序数对(,)a

10、b共有 7 对，分别为（240,240），（135,540），（540,135），（60,60），（60,15），（15,60），（15,15）.第二试（A）一（本题满分 20 分）已知二次函数2(0)yxbxcc的图象与x轴的交点分别为 A、B，与y轴的交点为 C.设ABC 的外接圆的圆心为点 P.（1）证明：P 与y轴的另一个交点为定点.（2）如果 AB 恰好为P 的直径且2ABCS，求b和c的值.解 （1）易求得点C的坐标为(0,)c，设1A(,0)x，2B(,0)x，则12xxb，12x xc.设P 与y轴的另一个交点为 D，由于 AB、CD 是P 的两条相交弦，它们的交点为点 O，所

11、以 OA OBOC OD，则121x xcOA OBODOCcc.因为0c，所以点C在y轴的负半轴上，从而点 D 在y轴的正半轴上，所以点 D 为定点，它的坐标为(0,1).10 分（2）因为 ABC D，如果 AB 恰好为P 的直径，则 C、D 关于点 O 对称，所以点C的坐标为(0,1)，2009 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 4 页（共 8 页）即1c .15 分 又222121212()4()44ABxxxxx xbcb，所以 2114 1222ABCSAB OCb，解得2 3b .20 分 二（本题满分 25 分）设 CD 是直角三角形 ABC 的斜边 AD 上的

12、高，1I、2I分别是ADC、BDC的内心，AC3，BC4，求1I2I.解 作1IEAB 于 E，2IFAB 于 F.在直角三角形 ABC 中，AC3，BC4，22AB=AC+BC5.又 CD AB，由射影定理可得2AC9AD=AB5，故16BD=AB AD5，2212CD=ACAD5.5 分 因为1IE 为直角三角形 ACD 的内切圆的半径，所以1I E13(AD CD AC)25.10 分 连接 D1I、D2I，则 D1I、D2I分别是ADC 和BDC 的平分线，所以1IDC1IDA2IDC2IDB45，故1ID2I90，所以1ID2ID，1113I E3 25DIsinADIsin 455

13、.15 分 同理，可求得24I F5，24 2DI5.20 分 所以1I2I2212DIDI2.25 分 三（本题满分 25 分）已知,a b c为正数，满足如下两个条件：32abc 14bcacababcbccaab 证明：以,abc为三边长可构成一个直角三角形.证法 1 将两式相乘，得()()8bcacababcabcbccaab，2008 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 5 页（共 8 页）FEI1I2DBAC即222222()()()8bcacababcbccaab，10 分 即222222()()()440bcacababcbccaab，即222222()()()0

14、bcacababcbccaab，15 分 即()()()()()()0bca bcacab cababc abcbccaab ，即()()()()0bcaa bcab cabc abcabc ，即222()20bcaababcabc，即22()()0bcacababc，即()()()0bcacab cababc，20 分 所以0bca或0cab或0cab，即bac或cab或cba.因此，以,abc为三边长可构成一个直角三角形.25 分 证法 2 结合式，由式可得32232232214abcbccaab，变形，得222110242()4abcabc 10 分 又由式得2()1024abc，即22

15、210242()abcabbcca，代入式，得11024210242()4abbccaabc，即16()4096abcabbcca.15 分 3(16)(16)(16)16()256()16abcabcabbccaabc 3409625632160，20 分 所以16a 或16b 或16c.结合式可得bac或cab或cba.因此，以,abc为三边长可构成一个直角三角形.25 分 第二试（B）一（本题满分 20 分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二（本题满分 25 分）已知ABC 中，ACB90，AB 边上的高线CH 与ABC 的两条内角平分线 AM、BN 分别交于 P、Q 两点.PM、QN

16、的中点分别为 E、F.求证：EFAB.解 因为 BN 是ABC 的平分线，所以ABNCBN.又因为 CH AB，所以 2009 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 6 页（共 8 页）FQEPHNMACBCQNBQH90ABN90CBNCNB ，因此CQNC.10 分 又 F 是 QN 的中点，所以 CF QN，所以CFB90CHB ，因此 C、F、H、B 四点共圆.15 分 又FBH=FBC，所以 FCFH，故点 F 在 CH 的中垂线上.20 分 同理可证，点 E 在 CH 的中垂线上.因此 EF CH.又 ABCH，所以 EFAB.25 分 三（本题满分 25 分）题目和解

17、答与（A）卷第三题相同.第二试（C）一（本题满分 20 分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二（本题满分 25 分）题目和解答与（B）卷第二题相同.三（本题满分 25 分）已知,a b c为正数，满足如下两个条件：32abc 14bcacababcbccaab 是否存在以,abc为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.解法 1 将两式相乘，得()()8bcacababcabcbccaab，即222222()()()8bcacababcbccaab，10 分 即222222()()()440bcacababcbccaab，即222222()()()0bcacababcbccaab，15

18、 分 即()()()()()()0bca bcacab cababc abcbccaab ，即()()()()0bcaa bcab cabc abcabc ，即222()20bcaababcabc，即22()()0bcacababc，即()()()0bcacab cababc，20 分 所以0bca或0cab或0cab，即bac或cab或cba.因此，以,abc为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为 90.2009 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 7 页（共 8 页）25 分 解法 2 结合式，由式可得32232232214abcbccaab，变形，得222110242()4abcabc 10 分 又由式得2()1024abc，即22210242()abcabbcca，代入式，得11024210242()4abbccaabc，即16()4096abcabbcca.15 分 3(16)(16)(16)16()256()16abcabcabbccaabc 3409625632160，20 分 所以16a 或16b 或16c.结合式可得bac或cab或cba.因此，以,abc为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为 90.25 分 2009 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 8 页（共 8 页）