2015年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及参考解答-5388.pdf

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1、 槡 槡 槡 槡 满分分 设集合 则 中的元素个数为 如图 在 的正方形网格中 点 都是格点 与 相交于点 则 的值等于答由 得 因为 又 且 与 同奇偶所以只有 答 六组有正整数解 若二次函数 的图像经过原点且对任意的都有 恒成立 则 的解析式为图 图 如图 取格点连接则 所以 所以 易见 槡 槡 槡 槡 因此 槡 烄 已知 函数 烅 不等式 答烆 依题意可设 其中 为常数 在上恒成立则实数 因为 所以 化简得 烄 的取值范围是 对比系数可得 烅 烆 答于是 所以 由题意可知 函数在 上单调递减要想使 不等式 在上恒成 立只需时 总成立 即 ！，于是，只需 ，所以 答：二次三项式（）具有两个

2、实根 设，则 ，和，甲将（）的一次项系数变为 ，将常数项变为 ，构成二次三项式 （）；乙将（）的一次项系数 即 （）变为，将常数项变为 ，构成二次三项式（）则（）（）（）具有实根，（）没有实根（）（）没有实根，（）具有实根（）（）具有实根，（）具有实根（）（）没有实根，（）没有实根 长方形 的面积（）（），所以（）（），而，），所 以当 时，（）有 最大值，（）（）记 ！，求 答：（）根据韦达定理，由、是二次三项式（）的 两 个 实 根，有 ，则（）（），方程（）的判别式为 （），这意味（）具有实根 的值 ！答案：！而（）（），方程（）！的判别式为 （），这意味着（）具有实根 如 图，在 中，

3、在 的平分线 的反 已知函数（），又 （）（），（）向延长线上取点，使得 ，求线段 的长（），（）（），则（）（）（）的整数部分是（）（）（）（）（）答：（）记 ，图 由（），得（）（），则 ，所以（），由此得 （）（）（），考虑到 ，所以 因此（）（）（）所以（）（）（）所以 槡 槡 正数，满足 ，确定 的值 因此（）（）（）的整数部分是（满分分）在 直角梯形 中，如图，求内接 长 方 形 的 最 大 面 积 图 答：由第一个方程可以得出，数，是直角为 的直角三角形 的直角边和斜边，由第二个方程得出，数，和是直角为 的直角三角形 的直角边和斜边，由第三个方程得出，数 是数 和 的比例中项根据

4、在直角三角形中比例线段的逆定理，得 答：槡 ，是直角 ，上述关系可以构成图，则 （）一方面，另一方面，写出数 的数字和，图 再写出数 的数字和，依次这样写下去，直写到 所以 的数字和 是一位数 为止，确定 的值所以与 最接近的整数 答：注意到对自然数 和它的数字和（）满足（）（）（）（），所以由于（），因此 （）（），所以由正五边形 的对角线相交构成新的正五边形 （如图）正五边 形 的面积为平方厘 如图，已知动点 在边长为 的正方形 内 部（包括边界），且满足 试确定点 的轨迹与正方形的边所围成的较小一块图形的面积 槡 图 若 在边 上的 点，则，由条件，对于，总有 即 是 的平分线又因为 的

5、内、外角平分线的夹角为 ，画出 的外角平分线交直线 于点，则 米，试确定正五边形 ，且有 ，得 ，即 是定点 的面积是多少平方厘米答：槡于是点 在以 为直 图 径的圆上，所 以，点 的轨 设五边形 的边长为，五边形 的 边 长 为，易 得 ，且 ，得（），即（）（），迹为 的中点 的圆心、半径为的圆在正方形内的弧段，与正方形围成的较小 一块图形的面积就是图中 解得 槡，图 阴影部分的面积 综上，（）（槡）槡，当点 运动到 时，由于，所以 因为 ，所以 槡一串数，满足：，因此，扇形 的面积是半径 的圆面积的 ，试确定与 最接近的整数 因此所求图形面积 扇形 的面积 的 答：（）面积 槡 槡 答：