2019高考数学理科全国卷III真题试卷及答案解析2285.pdf

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1、绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（全国卷 III）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合2 1,0,1,21ABx x，则AB A1,0,1 B 0,1 C1,1 D0,1,2 2若(1i)2iz，则 z=A

2、1 i B1+i C1 i D1+i 3西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A0.5 B0.6 C0.7 D0.8 4（1+2x2）（1+x）4的展开式中 x3的系数为 A12 B16 C20 D24 5已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项为和为 15，且 a5=3a3+4a1，则 a3=A 16 B

3、 8 C4 D 2 6已知曲线elnxyaxx在点（1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，则 Ae1ab，Ba=e，b=1 C1e1ab，D1ea，1b 7函数3222xxxy在6,6的图象大致为 A B C D 8如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED的中点，则 ABM=EN，且直线 BM、EN 是相交直线 BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 CBM=EN，且直线 BM、EN 是异面直线 DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 9执行下边的程序框图，如果输入的为 0.01，则输出s的值等于 A.4122 B.5

4、122 C.6122 D.7122 10 双曲线C：2242xy=1的右焦点为 F，点P在C 的一条渐进线上，O为坐标原点，若=POPF，则PFO 的面积为 A3 24 B3 22 C2 2 D3 2 11设 f x是定义域为 R 的偶函数，且在0,单调递减，则 Af（log314）f（322）f（232）Bf（log314）f（232）f（322）Cf（322）f（232）f（log314）Df（232）f（322）f（log314）12设函数 f x=sin（5x）(0)，已知 f x在0,2有且仅有 5 个零点，下述四个结论：f x在（0,2）有且仅有 3 个极大值点 f x在（0,2）

5、有且仅有 2 个极小值点 f x在（0,10）单调递增 的取值范围是12 295 10，)其中所有正确结论的编号是 A B C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知 a，b 为单位向量，且 ab=0，若25cab，则cos,a c_.14记 Sn为等差数列an的前 n 项和，12103aaa，则105SS_.15设12FF，为椭圆 C:22+13620 xy的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限.若12MF F为等腰三角形，则 M 的坐标为_.16 学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCDABC D挖去四棱锥

6、 OEFGH 后所得几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点，16cm4cmAB=BC=,AA=，3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 A、B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每

7、组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 P（C）的估计值为 0.70（1）求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）18（12 分）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知sinsin2ACabA（1）求 B；（2）若ABC 为锐角三角形，且 c=1，求ABC 面积的取值范围 19（12 分）图 1 是由矩形 ADEB、RtAB

8、C 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB=1，BE=BF=2，FBC=60，将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2.（1）证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE；（2）求图 2 中的二面角 B-CG-A 的大小.20（12 分）已知函数32()2f xxaxb.（1）讨论()f x的单调性；（2）是否存在,a b，使得()f x在区间0,1的最小值为1且最大值为 1？若存在，求出,a b的所有值；若不存在，说明理由.21已知曲线 C：y=22x，D 为直线 y=12上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为

9、 A，B.（1）证明：直线 AB 过定点：（2）若以 E(0，52)为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE的面积.（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）如图，在极坐标系 Ox 中，(2,0)A，(2,)4B，(2,)4C，(2,)D，弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2，(1,)，曲线1M是弧AB，曲线2M是弧BC，曲线3M是弧CD.（1）分别写出1M，2M，3M的极坐标方程；（2）曲线M由1M，2M，3M构成，若点P在 M

10、上，且|3OP，求 P 的极坐标.23选修 4-5：不等式选讲（10 分）设,x y zR，且1xyz.（1）求222(1)(1)(1)xyz的最小值；（2）若2221(2)(1)()3xyza成立，证明：3a或1a.2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（全国卷 III）答案及解析 一、选择题：1 A 解答：11|1|2xxxxB，所以1,0,1 BA.2.D 解答：iiz2)1(,iiiiiiiiiz1)1()1)(1()1(212.3.C 解答：7.0100608090 4.A 解答：由题意可知含3x的项为33142334121211xxCxxC，所以系数为12.5.C 解答

11、：设该等比数列的首项1a，公比q，由已知得，4211134a qa qa，因为10a 且0q，则可解得2q，又因为231(1)15aqqq，即可解得11a，则2314aa q.6.D 解析：令xxaexfxln)(，则1ln)(xaexfx，21)1(aef，得11eea.baef2)1(，可得1b.故选 D.7.B 解析：32()22xxxyf x，332()2()()2222xxxxxxfxf x ，()f x为奇函数，排除选项 C.又334442 42 4(4)8222f，根据图像进行判断，可知选项 B 符合题意.8.B 解析：因为直线，都是平面内的直线，且不平行，即直线，是相交直线，设

12、正方形的边长为，则 由 题 意 可 得：，根 据 余 弦 定 理 可 得：，所以，故选 B.9.C 解析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；第七次循环：，此时循环结束，可得.故选 C.10.A 解析：由双曲线的方程22042xy可得一条渐近线方程为22yx；在PFO中|POPF过点P做PH垂直OF因为2tan POF=2得到32PO;所以133 26224S PFO;故选 A;11.C 解析:依 据 题 意 函 数 为 偶 函 数 且 函 数 在(0,)单 调 递 减，则 函 数 在(,0)上 单 调 递 增；因 为3331(log)(log 4)(log 4)4fff；

13、又因为233230221log 4；所以233231(2)(2)(log)4fff；故选 C.12.D 解析：根据题意，画出草图，由图可知122,x x，由题意可得，125565xx，解得12245295xx，所以2429255，解得1229510，故4 对；令52x得3010 x，图像中y轴右侧第一个最值点为最大值点，故1 对；122,x x，()f x在0,2有2个或3个极小值点，故2 错；1229510，1149251051002，故3 对.二.填空题 13.23 解析：222225454 59cababa b，3c，225252a caabaa b，22cos,1 33a ca cac

14、.14.4 解析：设该等差数列的公差为d，213aa，113ada，故1120,0da ad，1101101551102 292 102452452aaadSdaaSadd.15.)15,3(解析：已知椭圆1203622yxC：可知，6a，4c，由M为C上一点且在第一象限，故等腰三角形21FMF中8211FFMF，4212MFaMF,415828sin2221MFF,15sin212MFFMFyM，代入1203622yxC：可得3Mx.故M的坐标为)15,3(.16.8.118 解答：123221464EFGHS四边形2cm，13231231466V3cm.8.1181329.0Vmg.三解答

15、题 17.解析解答:（1）依题意得12.015.015.005.07.015.02.0aba，解得1.035.0ba.（2）05.4705.061.052.043.032.0215.0 7.5815.072.063.0515.041.0305.0 得到甲离子残留百分比的平均值为 4.05,，乙离子残留百分比的平均值为 5.7.18.(1)3（2）见解析 解析：(1)因 为sinsinsinsin2BABA；结 合 正 弦 定 理sinsinsinsin2BABA,得cossin2sincos222BBBB,即1sin22B；得到,263BB；(2)因 为23AC,0,2A0,2C20,32C所

16、 以,62C又 因 为sinsinsinabcABC,1133 sinsinsin122 sin24sincASacBACC;又因为sin1(,2)sin2AC（因为2,3AC,A C为锐角，若A越大sin A越大，则C越小sinC越小；sinsinAC越大）；所以sin1(,2)sin2AC，所以33(,)82S.19.解析：证明：（1）由题意知，又，平面，又平面，平面平面.(2)分别取，的中点为，连结，则，四边形为棱形，且60，又平面，即平面，以点 为坐标原点，分别为 轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为,，令，则,得到，平面的一个法向量为，,故二面角的大小为.20.答案：

17、见解析 解析：（1）2()626()3afxxaxx x 当0a 时，2()60fxx，此时()f x在(,)单调递增.当0a 时，令()0fx，解得3ax 或0 x，令()0fx，解得03ax.此时()f x在(,0),(,)3a单调递增，在(0,)3a单调递减.当0a 时，令()0fx，解得0 x 或3ax，令()0fx，解得03ax.此时()f x在(,),(0,)3a单调递增，在(,0)3a单调递减.综上可得，当0a 时，()f x在(,)单调递增.当0a 时，()f x在(,0),(,)3a单调递增，在(0,)3a单调递减.当0a 时，()f x在(,),(0,)3a单调递增，在(,

18、0)3a单调递减.（2）由（1）中结论可知，当0a 时，()f x在0,1单调递增，此时minmax()(0)1,()(1)21f xfbf xfab，0,1ab，满足题意.当0a 时，若13a，即3a，则()f x在0,1单调递减，此时minmax()(1)21,()(0)1f xfabf xfb，4,1ab，满足题意.若13a，即03a，则()f x在0,3a单调递减，在,13a单调递增.此时323min()()21327927aaaaf xfabb (0),(1)2fb fba 当02a时，max()(1)21f xfba，由可得3 3,3 31ab，与02a矛盾，故不成立.当23a时，

19、max()(0)1f xfb，由可得33 2,1ab，与23a矛盾，故不成立.综上可知，0,1ab 或4,1ab满足题意.21.答案：见解析；解答：（1）当点D在1(0,)2时，设过D的直线方程为012yk x，与曲线C联立化简得 20210 xk x，由于直线与曲线相切，则有20440k，解得01k ，并求得,A B坐标分别为11(1,),(1,)22，所以直线AB的方程为12y；当点D横坐标不为0时，设直线AB的方程为ykxm（0k），由已知可得直线 AB不过坐标原点即0m，联立直线AB方程与曲线C的方程可得，22ykxmxy，消y并化简得2220 xkxm，有两个交点2480km，设11

20、(,)A x y，22(,)B xy，根据韦达定理有，122xxk，122x xm，由已知可得曲线C为抛物线等价于函数2()2xf x 的图像，则有()fxx，则抛物线在11(,)A x y上的切线方程为111()yyx xx，同理，抛物线在22(,)B xy上的切线方程为222()yyxxx，联立，并消去x可得122112yyyyxxxx，由已知可得两条切线的交点在直线12y 上，则有 22122112112222xxxxxx，化简得，12212112(1)()2x xxxxxx x，0k，12xx，即1212112x xx x，即为2114mm，解得12m，经检验12m 满足条件，所以直线

21、AB的方程为12ykx过定点1(0,)2，综上所述，直线AB过定点1(0,)2得证.（2）由（1）得直线AB的方程为12ykx，当0k 时，即直线AB方程为12y，此时点D的坐标为1(0,)2，以5(0,)2E为圆心的圆与直线AB相切于1(0,)2F恰为AB中点，此时112 3322ADBESAB ED；当0k 时，直线AB方程与曲线方程联立化简得2210 xkx，122xxk，121x x ，21221yyk，则AB中点坐标为21(,)2H k k，由已知可得EHAB，即2152210EHkk kkk，解得，1k，由对称性不妨取1k，则直线方程为12yx，求得D的坐标为1(1,)2，4AB，

22、E到直线AB距离15102222d，D到直线AB距离2111()2222d，则12114 222ADBESAB dAB d，综上所述，四边形ADBE的面积为3或4 2.四选做题（2 选 1）22.答案：见解答 解答：（1）由 题 意 可 知1M,2M,3M的 直 角 坐 标 方 程 为：)01,12(1)1(22yxyx，)21,11(1)1(22yxyx，)10,12(1)1(22yxyx，所以 1M,2M,3M的极坐标为)40(cos2，)434(sin2，)43(cos2.（2）3cos2时，23cos，6，3sin2时，23sin，3或32，3cos2时，23cos，65，所以P点的极坐标为)6,3(，)3,3(，)32,3(，)65,3(.23.答案：见解析 解析：（1）根据柯西不等式，4)111(3)1()1()1(2222zyxzyx 故34)1()1()1(222zyx，当 且 仅 当111zyx，即35x，31 zy时，222)1()1()1(zyx取最小值34;（2）方法一：根据柯西不等式，2222)12(3)()1()2(azyxazyx 1331)2(2 a，证得3a或1a.方法二：令),1,2(azyxm，)1,1,1(n，有3)()1()2(12222azyxnmazyxnm 1331，12a，证得3a或1a