2020年高考理科数学之高频考点解密10平面向量(解析版)12131.pdf

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1、 1 解密 10 平面向量 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 平面向量的概念及线性运算 平面向量的概念一般不直接考查，通常是结合后面的知识进行综合考查 平面向量的线性运算是高考考查的一个热点内容，常以选择题或填空题的形式呈现，难度一般不大，属中低档题 平面向量的基本定理及坐标表示是高考中的一个热点内容，尤其是用坐标表示的向量共线的条件是高考考查的重点内容，一般是通过向量的坐标表示，将几何问题转化为代数问题来解决，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也作为解答题中的条件，应用向量的平行或垂直关系进行转换 平面向量的数量积也一直是高考的一个热点，尤其是平面向量的数量积，主要考查平面向量的数

2、量积的运算、向量的几何意义、模与夹角、两向量的垂直等问题 题型一般以选择题、填空题为主.平面向量既有数，又有形，既有代数形式的向量加、减、数乘及数量积运算，又有向量加、减、数乘及数量积的几何意义，因此，高考的考查既有对向量的独立命题，也常与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合命题，解题时，注意向量的工具性及数形结合、转化与化归数学思想的运用.2018 新课标全国 6 平面向量的基本定理及坐标表示 2018 新课标全国 III 13 2017 新课标全国 12 平面向量的数量积及向量的应用 2019 新课标全国 7,16,19 2019 新课标全国 3 2019 新课标全国 III 13

3、 2018 新课标全国 8 2018 新课标全国 4 2018 新课标全国 III 20 2017 新课标全国 13 2017 新课标全国 12 2 考点 1 平面向量的概念及线性运算 题组一 平面向量的概念 调研 1 下列命题中，正确的是 A若ab，则ab B若ab，则a b C若ab，则ab D若1a，则1a 【答案】B【解析】对于 A，当ab，a和b的方向未必相同，不能得到ab，A 不正确；对于 B，当ab时，a和b的长度相等，方向相同，所以a b成立，B 正确；对于 C，两向量长度可以比较大小，向量不能比较大小，C 不正确；对于 D，1a 表示a的长度为 1，1a 不对，D 不正确.故

4、选：B.【名师点睛】本题主要考查了对向量概念的理解，属于基础题.求解时，根据向量的定义及向量共线的定义依次判断即可得解.技巧点拨 对于向量的概念问题：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件，要特别注意零向量的特殊性具体应关注以下六点：(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象移动混为一

5、谈(6)非零向量 a 与|aa的关系：|aa是 a 方向上的单位向量(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.3 题组二 平面向量的线性运算 调研 2 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且2AEEO，则ED A1233ADAB B2133ADAB C2133ADAB D1233ADAB【答案】C【解析】11213333EDEAADACADADABADADAB .故选 C.【名师点睛】本题考查向量的线性运算，属基础题.利用向量加法法则结合图象特点运算即可.调研 3 设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，21

6、6BC，|ABACABAC，则|AM _.【答案】2【解析】由|ABACABAC可知，ABAC，则 AM 为 RtABC 斜边 BC 上的中线，因此，1|22AMBC.调研 4 已知 D 为三角形 ABC 的边 BC 的中点，点 P 满足,PABPCPAPPD0，则实数 的值为_【答案】2【解析】如图所示，由APPD且PABPCP 0，则 P 为以 AB，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此2APPD，则=2.4 技巧点拨 平面向量的线性运算是高考考查的热点内容，题型以选择题、填空题为主，难度较小，属中、低档题，主要考查向量加法的平行四边形法则与三角形法则及减法的三角形法则或向量相等，做

7、题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”常见的平面向量线性运算问题的求解策略：(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；

8、运用法则找关系；化简结果.题组三 共线向量定理及其应用 调研 5 设向量12,e e不共线，向量122ee与124ee平行，则实数_【答案】12【解析】122ee与124ee平行，向量12,e e不共线，存在实数 k 使得122ee=k（124ee）=k1e+4k2e，1.242kk 故答案为：12【名师点睛】本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题向量122ee与124ee平行则存在实数 k 使得122ee=k（124ee）=k1e+4k2e，对应系数相等即可.5 调研 6 设 D，E，F 分别是ABC 的三边 BC，CA，AB 上的点，且2,2,2DC

9、BD CEEA AFFB，则ADBECF与BC A反向平行 B同向平行 C互相垂直 D既不平行也不垂直【答案】A【解析】由题意得13ADABBDABBC，13BEBAAEBAAC，CFCBBF13CBBA，因此121()333ADBECFCBBCACABCBBCBC，故ADBECF与BC反向平行选 A.技巧点拨 共线向量定理的主要应用：（1）证明向量共线：对于非零向量 a，b，若存在实数，使 a=b，则 a 与 b 共线【注】对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解向量 a 与 b 共线是指 a 与 b 所在的直线平行或重合向量共线的充要条件中要注意“a0”，否则 可能不存在，也可能有无数个.

10、（2）证明三点共线：若存在实数，使ABAC，则 A，B，C 三点共线【注】证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线 对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点 O，,OA OB不共线，满足OPxOAyOB(x，yR)，则 P，A，B 共线xy=1.（3）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值 考点 2 平面向量的基本定理及坐标表示 题组一 平面向量基本定理的应用 调 研 1 如 图，在 平行 四 边 形ABCD中，,AC BD相 交 于 点O，E为 线 段AO的 中 点，若,BEBABD

11、 R，则 6 A34 B14 C14 D34【答案】C【解析】BD2BO，BEBABD，BEBA2BO.E 为线段 AO 的中点，BE 12(BABO)，根据平面向量基本定理得到对应系数相等，12，212，解得 14，14.故选 C.【名师点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，根据平行四边形的图象特点得到BEBA2BO，又因为BE12(BABO)，根据平面向量基本定理得到对应系数相等得到结果.调研 2 在梯形 ABCD 中，已知 ABCD，AB=2CD，M，N 分别为 CD，BC 的中点.若ABAMAN，则=_.【答案】45【解析】解法一：连接 AC，由ABAMAN，得11()()22A

12、BADACACAB，即(1)2AB()222ADAC 0，即1(1)()()22222ABADADAB 0，即3(1)44AB()2AD 0.又因为AB，AD不共线，所以由平面向量基本定理得 143410，20，解得 45，85.所以=45.解法二：(回路法)连接 MN 并延长交 AB 的延长线于 T，由已知易得 AB=45AT，45ATABAMAN，T，M，N 三点共线，=45.7 技巧点拨 1对平面向量基本定理的理解（1）平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础（2）平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组（3

13、）用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如 a=1e12e2的形式，是向量线性运算知识的延伸 2应用平面向量基本定理表示向量的实质 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的 3应用平面向量基本定理的关键点（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等 4用平面向量基本定理

14、解决问题的一般思路（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式.题组二 平面向量的坐标运算 8 调研 3 已知向量 a=(2，1)，b=(1，2)若 manb=(9，8)(m，nR)，则 mn 的值为_ 【答案】3 【解析】【解析】由 a=(2，1)，b=(1，2)，可得 manb=(2m，m)(n，2n)=(2mn，m2n)，由已知可得 2mn9m2n8，解得 m2n5，从而 mn=3.调研 4 在ABC 中，点 P 在 BC 上，且2BPPC，

15、点 Q 是 AC 的中点，若PA=(4，3)，PQ=(1，5)，则BC等于 A(6，21)B(2，7)C(6，21)D(2，7)【答案】A【解析】22()(6,4),33()(6,21)ACAQPQPABCPCACAP ，故选 A 技巧点拨 平面向量坐标运算的技巧 1 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标 2解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用.【注】（1）要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点

16、坐标就是向量坐标（2）向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的 题组三 平面向量共线的坐标表示及运算 调研 5 已知向量2,1a，1,3 b，则下列向量与2 ab平行的是 A22,3 B1,3 9 C1,2 D0,2【答案】A【解析】因为2,1a，1,3 b，所以2(3,1),ab由(3,1)322,23可知2 ab与向量22,3平行，故选 A.【名师点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量共线的基本定理，属于中档题.根据向量的线性运算，计算2(3,1),ab根据向量平行的基本定理即可判定.调研 6 已知梯形 ABCD

17、中，ABCD，且 DC=2AB，若三个顶点分别为 A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D 的坐标为_【答案】(2，4)【解析】在梯形 ABCD 中，DC=2AB，ABCD，2DCAB.设点 D 的坐标为(x，y)，则DC=(4x，2y)，AB=(1，1)，(4x，2y)=2(1，1)，即(4x，2y)=(2，2)，4222xy，解得24xy，故点D 的坐标为(2，4)调研 7 已知向量3cos2，a与向量34sin，b平行，则锐角等于 A512 B3 C4 D6【答案】C【解析】向量3cos2，a与向量34sin，b平行，3cos4sin2 3 ，12sincos6sin26，sin

18、21 又为锐角，02，22，4 故选 C【名师点睛】根据向量的共线及倍角公式得到sin21，然后根据的范围得到所求的角的大小 解答本题的关键有两个：一是根据向量共线的充要条件得到关于角的三角函数关系式；二是在已知三角函数值求角时，要注意讨论角的范围，这是解题中容易出现错误的地方 调研 8 设OA=(1，2)，OB=(a，1)，OC=(b，0)，a0，b0，O 为坐标原点，若 A，B，C 三点共线，10 则1a2b的最小值是 A2 B4 C6 D8【答案】D【解析】解法一：由题意可得，OA=(1，2)，OB=(a，1)，OC=(b，0)，所以ABOBOA=(a1，1)，ACOCOA=(b1，2)

19、又A，B，C 三点共线，ABAC，即(a1)21(b1)=0，2ab=1，又a0，b0，1a2b=1a2b(2ab)=4ba4ab44=8，当且仅当ba=4ab，即11,42ab时，取“=”故选 D 解法二：kAB=12a1，kAC=2b1，A，B，C 三点共线，所以 kAB=kAC，即12a1=2b1，2ab=1，所以1a2b=2aba4a2bb=4ba4ab42ba4ab=8(当且仅当ba=4ab，即11,42ab时，取“=”号)，1a2b的最小值是 8.故选 D 技巧点拨 平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式呈现，难度一般不大，属中低档题，且常见题型及求解策略

20、如下：1利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量 2 利用两向量共线求参数 如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若11(,)x ya，22(,)xyb，则ab的充要条件是1221x yx y”解题比较方便 3三点共线问题A，B，C 三点共线等价于AB与AC共线 4利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解.考点 3 平面向量的数量积及向量的应用 11 题组一 平面向量数量积的运算 调研 1 设 xR，向量 a

21、=(1，x)，b=(2，4)，且 ab，则 ab=A6 B 10 C 5 D10【答案】D【解析】a=(1，x)，b=(2，4)，且 ab，42x=0，x=2，a=(1，2)，ab=10，故选 D 调研 2 在直角ABC中，2C，4AB，2AC，若32ADAB，则CD CB A18 B6 3 C18 D6 3【答案】C【解析】在直角ABC中，2C，4AB，2AC，1cos2ACCABAB，若32ADAB，则2CD CBADACABACAD ABAD ACAC ABAC（）（）223322ABAB ACAC ABAC351164 2418222 故选 C.【名师点睛】本题考查向量的加减运算和数量

22、积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题在直角ABC中，求得1cos2ACCABAB，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值 技巧点拨 平面向量数量积的类型及求法：1平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式 a b|cosab；二是坐标公式 a b1212x xy y.2求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.【注】（1）在平面向量数量积的运算中，不能从 ab=0 推出 a=0 或 b=0 成立实际上由 ab=0 可推出以下四 12 种结论：

23、a=0，b=0；a=0，b0；a0，b=0；a0，b0，ab（2）实数运算满足消去律：若 bc=ca，c0，则有 b=a在向量数量积的运算中，若 ab=ac(a0)，则不一定有 b=c（3）实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c 不一定等于 a(bc)，这是由于(ab)c 表示一个与 c 共线的向量，而 a(bc)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线 题组二 平面向量数量积的应用 调研 3 已知非零向量,0,1,3t ab，若4 a b，则2ab与b的夹角为 A3 B2 C6 D23【答案】A【解析】4t a b，t=4，4,0a，又1,

24、3 b，22,2 3ab.设2ab与b的夹角为，则(2)261cos22 42 abbabb，=3.故答案为 A【名师点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式的应用，属于中档题.根据条件容易求出 t=4，从而得出4,0a，从而得出22,2 3ab，可设2ab与b的夹角为，这样根据(2)cos2abbabb即可求出 cos，进而得出 的值 调研 4 设向量,4xa，1,xb，向量a与b的夹角为锐角，则x的取值范围为 A(2 2)，B0,+C 0,22+，D 2 2，【答案】C【解析】由向量,4xa，1,xb，因为向量a与b的夹角为锐角，则 140 xx 且41xx，解得0 x 且2x，即x

25、的取值范围为 0,22+，.故选 C.13【名师点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算及向量的共线定理的应用，其中解答中熟记平面向量的坐标运算法则和平面向量的共线定理，列出相应的关系式是解得关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.由题意，根据向量a与b的夹角为锐角，可得 140 xx 且41xx，即可求解.技巧点拨 平面向量数量积主要有两个应用：(1)求夹角的大小：若 a，b 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos|a ba b(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题(2)确定夹角的范围：数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于 0 说明不共线的

26、两向量的夹角为直角，数量积小于 0 且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【注】在求ABC的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角如在等边三角形 ABC中，AB与BC的夹角应为 120而不是 60.题组三 平面向量的模及其应用 调研 5 已知向量2,1,10,5 2aa bab，则b A2 B5 C2 D5【答案】D【解析】|a+b|=52，222 aa bb=50，2a=5，5+20+2b=50，解得2b=25，|b|=5 故选 D【名师点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题对|a+b|=52两边平方即可得出2b，进而得出|b|调研 6 设 e1，e2为单位向量，它们的

27、夹角为3，a=xe1ye2，b=xe1ye2(x，yR)，若|a|=3，则|b|的最小值为_ 14【答案】1【解析】单位向量 e1，e2的夹角为3，e1e2=12，由|a|=3，得(xe1ye2)2=3，即 x2y2xy=3，则|b|2=(xe1ye2)2=x2y2xy，得 x2y2=|b|232，得 xy=3|b|22.又 x2y22xy，当且仅当 x=y 时“=”成立，|b|23223|b|22，解得|b|21，因此，|b|的最小值为 1.技巧点拨 利用平面向量数量积求模及范围、求参数的取值或范围问题是高考考查数量积的一个重要考向，常以选择题、填空题的形式呈现，具有一定的综合性，且平面向量

28、的模及其应用的常见类型与解题策略如下：(1)求向量的模 解决此类问题应注意模的计算公式2|aaa a，或坐标公式22|xya的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解(2)求模的最值或取值范围解决此类问题通常有以下两种方法：几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围(3)由向量的模求夹角此类问题的求解其实质是求向量模方法的逆运用.题组四 平面向量的应用 调研 7 已知 D 是ABC所在平面内一点，且满足()()0BCCABDAD，则ABC是 A等腰三角形 B直角三角

29、形 C等边三角形 D等腰直角三角形【答案】A【解 析】设,BCa ACb ABc，则 由()()()0BCCABDADBCCABA，得BC BACA BA，所以 accosB=bccosA，即 acosB=bcosA，利用余弦定理化简得 a2=b2，即 a=b，所以ABC是等腰三角形（此题也可用正弦定理化简 acosB=bcosA 得sin()0AB，即AB可得）15 调研 8 已知正三角形 ABC 的边长为2 3，重心为 G，P 是线段 AC 上一点，则GP AP的最小值为 A14 B2 C34 D1【答案】C【解析】如图，过点G作GDAC，垂足为D，当点P位于线段AD上时，0GP AP；当

30、点P位于线段DC上时，0GP AP，故当GP AP取得最小值时，点P在线段AD上，所以3GP APAP DPAPAP ，当32AP 时，取得最小值34，故选 C 【名师点睛】求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，本题主要是通过向量的数量积运算得到关于某线段长的二次函数，确定其定义域求最值即可.过点G作GDAC，垂足为D，分析可知当GP AP取得最小值时，点P在线段AD上，从而得|3GP APAPAP，利用二次函数的性质可得最值.调研 9 已知向量 a=cos3x2，sin3x2，b=sinx2，cosx2，其中 x2

31、，.令函数 f(x)=ab，若 cf(x)恒成立，则实数 c 的取值范围为 A(1，)B(0，)C(1，)D(2，)【答案】A【解析】因为 f(x)=ab=cos3x2sinx2sin3x2cosx2=sin2x，又 2x2，所以1sin2x0，所以 f(x)max=1.又 cf(x)恒成立，所以 cf(x)max，即 c1.所以实数 c 的取值范围为(1，)故选 A 技巧点拨 16 1向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量与函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题 2以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题通过向量

32、的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法 3向量的两个作用：(1)载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；(2)工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题 4向量中有关最值问题的求解思路：一是“形化”，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是“数化”，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题【注】常见的向量表示形式：(1)重心若点 G 是ABC的重心，则GAGBGC 0或1()3PGPAPBPC=(其中 P 为平面内任意一点)反之，若GAGBGC 0

33、，则点 G 是ABC的重心(2)垂心若 H 是ABC的垂心，则HA HBHB HCHC HA.反之，若HA HBHB HC HC HA，则点 H 是ABC的垂心(3)内心若点 I 是ABC的内心，则|BCIACAIBABIC 0.反之，若|BCIACA|IBABIC 0，则点 I 是ABC的内心(4)外心若点 O 是ABC的外心，则()()()0OAOBBAOBOCCBOCOAAC或|OAOBOC.反之，若|OAOBOC，则点 O 是ABC的外心.1（福建省莆田市莆田第七中学2019-2020学年高三上学期期中数学试题）若向量(0,2)m，(3,1)n，17 则与2mn共线的向量可以是 A(3

34、,1)B(1,3)C(3,1)D(1,3)【答案】B【解析】0,2,3,1mn，23,3mn，而31,33,33，故选B.【名师点睛】本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位.求解时，先利用向量坐标运算求出向量2mn,然后利用向量平行的条件判断即可.2（四川省内江市高中 2019-2020 学年高三上学期第一次模拟考试数学试题）向量a，b满足|1a，|4b 且2a b，则a与b的夹角的大小为 A6 B4 C3 D2【答案】C【解析】=1=4=2aba b，,21cos,1 42a ba bab，又,a b的范围为0,=

35、3a b，故选 C.【名师点睛】本题主要考查两个向量数量积的定义，再根据三角函数值和两个向量夹角的范围求角，意在考查学生基本概念、基本知识掌握的准确度.求解时，根据两个向量数量积的定义，求出a与b的夹角的余弦值，再根据两个向量夹角的范围，求出两个向量的夹角.3（河北省承德市第一中学 2019-2020 学年高三上学期 12 月月考数学试题）已知在ABC中，P为线段AB上一点，且3BPPA，若CPxCAyCB，则2xy 18 A94 B74 C54 D34【答案】C【解析】3BPPA，34BPBA，33314444CPCBBPCBBACBCACBCACBxCAyCB，31,44xy，524xy

36、故选 C【名师点睛】本题考查平面向量基本定理，解题时用向量加减法表示出CP，然后用基底,CA CB表示即可 求解时，首先CPCBBP，由已知条件可知34BPBA，再有BACACB，这样可用,CA CB表示出CP 4（广东省珠海市实验中学-东莞六中 2019-2020 学年上学期高三第一次联考数学试题）已知平面向量(2,3)a，(,6)xb，且ab，则|ab A5 B13 C5 D13【答案】B【解析】2,3,6,abx且a b，则23,4,6xx 故2,313.ab 故选 B.【名师点睛】本题考查向量模长的计算，根据向量平行的坐标公式求出 x 的值是解决本题的关键求解时，根据向量平行求出 x

37、的值，结合向量模长的坐标公式进行求解即可 5（湖南省长沙市明德中学 2019-2020 学年高三入学检测数学试卷）已知 A，B，C 是平面上不共线的三点，O 是ABC 的重心，动点 P 满足13OP（11222OAOBOC），则点 P 一定为三角形 ABC 的 ABC 边中线的中点 BBC 边中线的三等分点（非重心）C重心 19 DBC 边的中点【答案】B【解析】O是ABC 的重心,0OAOBOC,1111 31 3232211223 23 2OPOAOBOCOAOAOBOCOAOA,点 P 是 BC 边中线的三等分点（非重心）.故选：B.【名师点睛】本题考查向量在几何中的应用,考查重心在向量

38、中的应用.求解时，由O是ABC 的重心可得0OAOBOC,代入1112322OPOAOBOC中即可得到12OPOA,进而判断P点位置即可.6（九师联盟 2020 届高三上学期 10 月质量检测数学试题）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量(,cos)aB，(cos,)Ab，若，则ABC一定是 A锐角三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】因，所以coscos0aA bB，所以coscosbBaA，由正弦定理可知sincossincosBBAA，所以sin2sin2AB.又,(0,)A B，且(0,)AB，所以22AB或22AB，所以AB或2

39、AB，则ABC是等腰三角形或直角三角形，故选：D.【名师点睛】本题主要考查正弦定理边角互化和三角形形状的判定，考查平面向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.求解时，由和正弦定理得到sin2sin2AB，所以22AB或22AB，化简即得解.7（河北省衡水市安平县安平中学 20198-2020 学年高三上学期 10 月月考数学试题）在ABC中，20 60,3,2BACABAC，若D为BC的中点，E为AD的中点，则BE AC A54 B12 C43 D43【答案】A【解析】如图：1122BE ACBDDEACACABADAC 221113135cos60244444

40、4ACABABACACACAB ACACABAC .故选：A.【名师点睛】本题考查向量的线性运算，平面向量的基本定理，熟悉线性运算的加法和减法公式是解题关键，此类题型需要明确哪两组向量属于基底向量，后续整个变换都围绕这两个基底向量展开即可，属于中档题.求解时，根据题意，画出三角形，结合平面向量基本定理进行求解即可.8（湖南省长沙市明德中学 2019-2020 学年高三入学检测数学试题）已知BC是圆O的直径，H是圆O的弦AB上的一动点，10BC，8AB，则HB HC的最小值为 A4 B25 C9 D16【答案】D【解析】以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，21

41、 设点,()H x y，则(5,0),(5,0)BC，所以(5,),(5,)HBxyHCxy ，则22(5,)(5,)25HB HCxyxyxy ，又因为8AB，且H在弦AB上一动点，所以22925xy，其中当取AB的中点时取得最小值，所以92516HB HC，故选 D【名师点睛】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，解答的关键是建立适当的直角坐标系，表示出向量,HB HC的坐标，再利用圆的性质求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，对于平面向量的运算问题，通常有两种方法：一是建立平面的基底，利用基底运算；二是建立适当的平面直角坐标系，转化为坐标运算即可 9（湖北省黄冈市浠水县实验高级中

42、学2019-2020学年高三12月月考数学试卷）若向量1,2,1,1ab，则2ab与a夹角的余弦值等于_.【答案】3 1010【解析】23,3ab，2363 10cos2,103 252abaab aab a，本题正确结果：3 1010.【名师点睛】本题考查向量夹角的求解，明确向量夹角的余弦值等于向量的数量积除以两向量模长的乘积.求解时，利用坐标运算求得2ab；根据平面向量夹角公式可求得结果.10（云南省玉溪市第一中学 2019-2020 学年高三上学期 12 月月考数学试题）向量1,1a ，1,0b，若 2abab，则_ 22【答案】3【解析】由题意可得2,1,22,2abab ,由题意可得

43、：2221 203abab .11（湖南省长沙市明德中学 2019-2020 学年高三入学检测数学试题）已知|a|2|b|，|b|0，且关于 x 的方程 x2+|a|xa b 0 有两相等实根，则向量a与b的夹角是_【答案】23【解析】已知|2ab,0b,且关于x的方程20 xa ba x有两相等实根,240aa b,设向量a与b的夹角为,则 224 2cos0bb b ,可解得1cos2，0,则向量a与b的夹角为23.故答案为：23.【名师点睛】本题考查向量的夹角,考查方程的解的应用.求解时，由关于x的方程20 xa ba x有两相等实根,可得240aa b,解得1cos2,即可求出a与b的

44、夹角.12（2020 年黑龙江省哈尔滨师范大学附中高三 9 月月考数学试题）ABC中，2AB,2 2AC,45BAC,P为线段AC上任意一点，则PB PC的取值范围是_【答案】1,42【解析】ABC 中，设 PAx，x0，2 2，则PB PC（PAAB）PCPA PCAB PCx（2 2x）cos180+2（2 2x）cos45 x23 2x+423 21()22x，x0，2 2，23 由二次函数的性质可知，当 x3 22时，有最小值12；当 x0 时，有最大值 4，故所求PB PC的范围是12，4【名师点睛】本题主要考查了向量的基本定理及向量的数量积的运算性质，二次函数的性质等知识的简单应用

45、，属于中档题求解时，先设 PAx，x0，2 2，利用向量数量积的运算性质可求PB PC，结合二次函数的性质即可求解 13（江西省南昌市安义中学 2019-2020 学年高三上学期第五次月考数学试题）已知向量,a b满足31,2aab，a与b的夹角为 60，则b _【答案】12【解析】由31,2aab，可得23()4ab，即22324aa bb，代入1a，可得21312 124bb ，整理得2(21)0b，解得12b.【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算与应用，熟记向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.求解时，由31,2aab，得22324aa bb，代入1a，可

46、得2(21)0b，即可求解b.14（宁夏回族自治区银川市第二中学 2019-2020 学年高三上学期 12 月月考数学试题）设函数 f xa b，其中2sin,cos24axx，sin,34bx，xR.（1）求 f x的最小正周期和对称轴；（2）若关于 x 的方程 2f xm在,4 2x上有解，求实数 m 的取值范围【答案】（1）最小正周期T，对称轴为：5122kx，kZ；（2）0,1.24【解析】2sinsin3cos244f xa bxxx 22sin3cos24xx 1 cos 23cos24xx sin23cos21xx 2sin 213x，最小正周期T，由 232xk，得5122kx

47、，kZ，所以 f x的对称轴为：5122kx，kZ.（2）因为 2f xm可化为2sin 213mx在,4 2x上有解，等价于求函数2sin 213yx的值域，,4 2x，22,363x，1sin 2,132x，0,1y，故实数 m 的取值范围是 0,1.【名师点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算.考查了正弦函数的图像和性质，属基础题 求解时，（1）用向量数量积公式计算后再化成辅助角形式，最后用正弦函数的周期公式和对称轴的结论可求得；（2）将方程有解转化为求函数的值域，然后用正弦函数的性质解决 15（江苏省淮安市楚中、新马、清浦、洪泽高中四校联考 2019-2020 学年高三上学期期中

48、数学考试试题）在ABC 中，记角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，角 A 为锐角，设向量(cos,sin)mAA，=(cos,sin)nAA，且12m n（1）求角 A 的大小及向量m与n的夹角；25（2）若5a，求ABC 面积的最大值【答案】（1）6A，,3m n；（2）5(23)4.【解析】试题分析：（1）由数量积的坐标表示得221cossincos22m nAAA，根据02A，求；（2）三角形ABC中，知道一边5a 和对角6A，利用余弦定理得关于,b c的等式，利用基本不等式和三角形面积公式1sin2SbcA得ABC 面积的最大值 试题解析：（1）221cossincos22m n

49、AAA.因为角为锐角，所以23A，6A.根据1|cos,2m nm nm n，得,3m n.（2）因为5a，6A，所以222(5)2cos6bcbc得：5(23)bc，故15(23)sin24SbcA，即ABC 面积的最大值为5(23)4.1（2019 年高考全国 I 卷理数）已知非零向量 a，b 满足|2|ab，且()abb，则 a 与 b 的夹角为 A6 B3 C23 D56 【答案】B【解析】因为()abb，所以2()abba bb=0，所以2a bb，所以cos=22|12|2a bbabb，所以a 与 b 的夹角为3，故选 B 26【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及

50、各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为0,2（2019 年高考全国 II 卷理数）已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BC=1，则AB BC=A3 B2 C2 D3【答案】C【解析】由(1,3)BCACABt，221(3)1BCt，得3t，则(1,0)BC，(2,3)(1,0)2 13 02AB BC 故选 C【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大 3（2018 年高考新课标卷理科）在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB A3144ABAC B1344ABAC C3144ABAC D1344ABA