4-2不定积分的基本公式和运算法则直接积分法7856.pdf

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1、复习 1 原函数的定义。2 不定积分的定义。3 不定积分的性质。4 不定积分的几何意义。引入 在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。讲授新课 第二节 不定积分的基本公式和运算 直接积分法 一 基本积分公式 由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下：导数公式 微分公式 积分公式 1()kxk()d kxkdx Ckxkdx(k0)2 21()2xx 21()2dxxdx 212xdxxC 3 211()xx 211()ddxxx 211d

2、xCxx 4 1(ln)xx 1d(ln)xdxx Cxdxxln1 5 1()1xx 1d()1xx dx Cxdxx11(1)6(e)exx d(e)exxdx Cdxxxee 7()lnxxaaa d()lnxxaa dxa Caadxaxxln 8(sin)cosxx d(sin)cosxxdx Cxxdxsincos 9(cos)sinxx d(cos)sinxxdx Cxxdxcossin 10 2(tan)secxxdx 2d(tan)secxxdx Cxxdxdxxtanseccos122 11 2(cot)cscxx 2d(cot)cscxxdx Cxxdxdxxcotcsc

3、sin122 12(sec)sec tanxxx d(sec)sec tanxxxdx Cxxdxxsectansec 13(csc)csccotxxx d(csc)csc cotxxxdx Cxxdxxcsccotcsc 14 21(arctan)1xx 21d(arctan)1xdxx Cxdxxarctan112 15 21(arcsin)1xx 21d(arcsin)1xdxx Cxdxxarcsin112 以上十五个公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要记右端的结果，还要熟悉左端被积函数的的形式。求函数的不定积分的方法叫积分法。例 1.求下列不定积分.（1）dxx21 （2）dxx

4、x 解：（1）dxx21212121xxdxCCx （2）dxxxCxdxx252352 此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为x的形式，然后应用幂函数的积分公式求积分。二 不定积分的基本运算法则 法则 1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即 dxxgdxxfdxxgxf)()()()(法则 1 对于有限多个函数的和也成立的 法则 2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即 dxxfkdxxkf)()(（0k）例 2 求3(21)xxe dx 解 3(21)xxe dx=23x dx+dx-xe dx=412xxxeC。注 其中每一项的不定积分虽然都应当

5、有一个积分常数，但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和 C 写在末尾，以后仿此。注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例由于41()2xxxeC=321xxe，所以结果是正确的。三 直接积分法 在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果（如上例）但有时，被积函数常需要经过适当的恒等变形（包括代数和三角的恒等变形）再利用积分的性质和公式求出结果，这样的积分方法叫直接积分法。例 3 求下列不定积分.（1）1(1)()xxdxx （2）dxxx1122 解：（1）首先把被积函数1(1

6、)()xxx化为和式，然后再逐项积分得 11(1)()(1)xxdxxxxdxxx 1xxdxxdxdxdxx 5122221252xxxxC。注：（1）求函数的不定积分时积分常数C不能丢掉，否则就会出现概念性的错误。（2）等式右端的每个不定积分都有一个积分常数，因为有限个任意常数的代数和仍是一个常数，所以只要在结果中写一个积分常数C即可。（3）检验积分计算是否正确，只需对积分结果求导，看它是否等于被积函数。若相等，积分结果是正确的，否则是错误的。（2）2222211 22(1)111xxdxdxdxxxx 222arctan1dxdxxxCx。上例的解题思路是设法化被积函数为和式，然后再逐项

7、积分，是一种重要的解题方法，须掌握。练习 1 322324xxxdxx，2 22221(1)xdxxx，3 421xdxx。答案 1 21432ln|2xxxCx ，2 1arctan xCx，3 31arctan3xxx C 例 4 求下列不定积分.（1）xdx2tan （2）dxx2sin2 解：（1）22tan(sec1)xdxxdx 2sectanxdxdxxxC（2）Cxxdxxdxxsin21212cos12sin2 上例的解题思路也是设法化被积函数为和式，然后再逐项积分，不过它实现化和是利用三角式的恒等变换。练习 1 2cot xdx 2 2cos2xdx 3 cos2xdxco

8、sx-sinx 答案 1 cot xxC 2 1(sin)2xxC 3 sin-cosxxC 例 5 设xxf22cos)(sin，求)(xf.解：由于xxxf222sin1cos)(sin，所以xxf1)(，故知)(xf是x1的原函数，因此 Cxxdxxxf2)1()(2 小结 基本积分公式，不定积分的性质，直接积分法。练习 求下列不定积分.（1）2(12sin)xdxx（2）2212()cossindxxx，（3）dttt2)1(，（4）2223()11dttt，（5）dxxx)6(6，（6）dxxx2411，（7）dxxx)cotcsc(csc，（8）dxxx2sin2cos，（9）2(

9、cossin)22ttdt，（10）dxx)1(tan2，（11）22ee(3)1xxxdxx。答案 1 2cos2ln|xxxC，2 tan-cotxxC，3 212ln|2tttC，4 2arcsin 3arctantt C，5 761ln67xxC，6 313xxC，7 cotcscxxC，8 cot2xC，9 costtC，10 tan2xxC，11(3)2arcsin1 ln3xex C。小结 计算简单的不定积分，有时只需按不定积分的性质和基本公式进行计算；有时需要先利用代数运算或三角恒等变形将被积函数进行整理然后分项计算 作业 P81:2,3 板书设计 一 基本公式 例 1 二 不定积分的法则 例 2 三 直接积分法 例 3 例 4 例 5 练习 小结 作业