M单元推理与证明4951.pdf

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1、 数 学 M 单元 推理与证明 M1 合情推理与演绎推理 11 M12015山东卷 观察下列各式：C01 40；C03 C13 41；C05 C15 C25 42；C07 C17 C27 C37 43；照此规律，当n N*时，C02n1 C12n1 C22n1Cn12n1 _ 11 4n1 解析 归纳可知，C02n1 C12n1 C22n1Cn12n1 4n1.M2 直接证明与间接证明 16 2015湖南卷 N1(1)选修4-1：几何证明选讲 如图1-5，在O 中，相交于点E 的两弦AB，CD 的中点分别是M，N，直线MO 与直线 CD 相交于点F.证明：(i)MENNOM 180；(ii)F

2、EFN FMFO.图 1-5 N3(2)选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l：x 532t，y312t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2cos .(i)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(ii)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A，B，求|MA|MB|的值 N4、M2(3)选修4-5：不等式选讲 设 a0，b0，且a b1a1b.证明：(i)a b 2；(ii)a2 a2 与 b2 b0，b0，得 ab1.(i)由基本不等式及 ab1，有 ab2 ab2(当且仅当 ab 时等号成立)，即 ab2.(i

3、i)假设 a2a2 与 b2b2 同时成立，则由 a2a0，得 0a1；同理，0b1.从而 ab1，这与 ab1 矛盾，故 a2a2 与 b2b0，函数 f(x)eaxsin x(x0，)记 xn为 f(x)的从小到大的第 n(nN*)个极值点证明：(1)数列f(xn)是等比数列；(2)若 a1e21，则对一切 nN*，xn|f(xn)|恒成立 21证明：(1)f(x)aeaxsin xeaxcos xeax(asin xcos x)a21eaxsin(x)，其中 tan 1a，02.令 f(x)0，由 x0，得 xm，即 xm，mN*.对 kN，若 2k x(2k1)，即 2k x0；若(2

4、k1)x(2k2)，即(2k1)x(2k2)，则 f(x)0.因此，在区间(m1)，m)与(m，m)上，f(x)的符号总相反，于是当 xm(mN*)时，f(x)取得极值，所以 xnn(nN*)此时，f(xn)ea(n)sin(n )(1)n1ea(n)sin .易知 f(xn)0，而 f（xn1）f（xn）（1）n2ea（n1）sin（1）n1ea（n）sin ea是常数，故数列f(xn)是首项为 f(x1)ea()sin ，公比为ea的等比数列(2)由(1)知，sin 1a21，于是对一切 nN*，xn|f(xn)|恒成立，即 n 1a21ea(n)恒成立，等价于a21a0)设 g(t)et

5、t(t0)，则 g(t)et（t1）t2.令 g(t)0，得 t1.当 0t1 时，g(t)1 时，g(t)0，所以 g(t)在区间(1，)上单调递增 从而当 t1 时，函数 g(t)取得最小值 g(1)e.因此，要使(*)式恒成立，只需a2 1a1e2 1.而当a1e2 1时，由tan 1ae2 1 3且 02知，3 2.于是 2332 e2 1.因此对一切n N*，axnn e2 1 1，所以g(axn)g(1)ea2 1a，故(*)式恒成立 综上所述，若a1e2 1，则对一切n N*，xn|f(xn)|恒成立 M3 数学归纳法 22 B3、M3、E72015湖北卷 已知数列an的各项均为

6、正数，bn n11nnan(n N)，e 为自然对数的底数(1)求函数f(x)1 x ex的单调区间，并比较11nn与 e 的大小；(2)计算b1a1，b1b2a1a2，b1b2b3a1a2a3，由此推测计算b1b2 bna1a2 an的公式，并给出证明；(3)令 cn(a1a2 an)1n，数列an，cn的前n 项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn0，即x0 时，f(x)单调递增；当 f(x)0 时，f(x)单调递减 故 f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(0，)当 x0 时，f(x)f(0)0，即1 xex.令 x1n，得11ne1n，即11nne.(2)b1a1 11111

7、1 1 2；b1b2a1a2b1a1b2a2 2 21122(2 1)2 32；b1b2b3a1a2a3b1b2a1a2b3a3 32 31133(3 1)3 43.由此推测：b1b2 bna1a2 an(n 1)n.下面用数学归纳法证明.(i)当 n 1 时，左边右边2，成立(ii)假设当n k 时，成立，即b1b2 bka1a2 ak(k 1)k.当 n k 1 时，bk1(k 1)11k 1k 1ak1，由归纳假设可得 b1b2bkbk1a1a2akak1b1b2bka1a2akbk1ak1(k1)k(k1)11k1k1(k2)k1.所以当 nk1 时，也成立 根据(i)(ii)，可知对

8、一切正整数 n 都成立(3)证明：由 cn的定义，算术-几何平均不等式，bn的定义及得 Tnc1c2c3cn(a1)11(a1a2)12(a1a2a3)13(a1a2an)1n（b1）112（b1b2）123（b1b2b3）134（b1b2bn）1nn1 b112b1b223b1b2b334b1b2bnn（n1）b11121231n（n1）b2123 1341n（n1）bn1n（n1）b111n1b2121n1 bn1n1n1b11b22bnn1111a11122a211nnanea1ea2eaneSn，即 TneSn.23M32015江苏卷 已知集合 X1，2，3，Yn1，2，3，n(nN*

9、)，设 Sn(a，b)|a 整除 b 或 b 整除 a，aX，bYn令 f(n)表示集合 Sn所含元素的个数(1)写出 f(6)的值；(2)当 n6 时，写出 f(n)的表达式，并用数学归纳法证明 23解：(1)f(6)13.(2)当 n6 时，f(n)n2n2n3，n6t，n2n12n13，n6t1，n2n2n23，n6t2，n2n12n3，n6t3，n2n2n13，n6t4，n2n12n23，n6t5(tN*)下面用数学归纳法证明：当 n6 时，f(6)62626313，结论成立 假设n k(k 6)时结论成立，那么n k 1 时，f(k 1)在f(k)的基础上新增加的元素在(1，k 1)

10、，(2，k 1)，(3，k 1)中产生，分以下情形讨论：(i)若 k 1 6t，则k 6(t 1)5，此时有 f(k 1)f(k)3 k 2k 12k 23 3 (k 1)2k 12k 13，结论成立；(ii)若 k 1 6t 1，则k 6t，此时有 f(k 1)f(k)1 k 2k2k3 1 (k 1)2（k 1）12（k 1）13，结论成立；(iii)若 k 1 6t 2，则k 6t 1，此时有 f(k 1)f(k)2 k 2k 12k 13 2 (k 1)2k 12（k 1）23，结论成立；(iv)若 k 1 6t 3，则k 6t 2，此时有 f(k 1)f(k)2 k 2k2k 23

11、2 (k 1)2（k 1）12k 13，结论成立；(v)若 k 1 6t 4，则k 6t 3，此时有 f(k 1)f(k)2 k 2k 12k3 2 (k 1)2k 12（k 1）13，结论成立；(vi)若 k 1 6t 5，则k 6t 4，此时有 f(k 1)f(k)1 k 2k2k 13 1 (k 1)2（k 1）12（k 1）23，结论成立 综上所述，结论对满足n 6 的自然数n 均成立 M4 单元综合 8 M42015广东卷 若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值()A至多等于3 B至多等于4 C等于5 D大于5 8 B 解析 正四面体符合要求，因此n 可以等于4.下

12、面证明n 5 不可能 证明：假设存在五个点两两距离相等，设为A，B，C，D，E.其中A，B，C，D 构成空间的正四面体ABCD，设其棱长为a.设 G 为BCD 的中心，则不难算出AG63a，BG33a，且AG平面BCD.如果点E 到 A，B，C，D 四点的距离相等，那么点E 一定在直线AG 上，且EB a.如果点E 在线段AG 上，那么在Rt EBG 中，EGBE2 BG263a，AG63a，此时 A，E 重合，所以点E 可能在AG 的延长线上 如果点E 在 AG 的延长线上，此时EG63a，EA2 63a a.综上所述，如果E 到正四面体的四个顶点的距离相等，那么点E 只能是正四面体的四个顶

13、点之一 所以若空间中n 个不同的点两两距离相等，则正整数n 的取值至多是4.15 M42015福建卷 一个二元码是由0 和 1 组成的数字串x1x2 xn(n N*)，其中xk(k 1，2，n)称为第k 位码元二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0 变为1，或者由1 变为0)已知某种二元码x1x2 x7的码元满足如下校验方程组：x4 x5 x6 x7 0，x2 x3 x6 x7 0，x1 x3 x5 x7 0，其中运算定义为：0 0 0，0 1 1，1 0 1，1 1 0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述

14、校验方程组可判定k 等于_ 15 5 解析 1101101 中 x1 x2 x4 x5 x7 1，x3 x6 0，则 x4 x5 x6 x7 1，不满足方程组，x2 x3 x6 x7 0，满足方程组，所以推测x4或x5错误又x1 x3 x5 x7 1，不满足方程组，所以x5错误，故k 5.7 2015泉州五校联考 已知三次函数f(x)ax3 bx2 cx d(a 0)，设f(x)是函数y f(x)的导数，f(x)是 f(x)的导数，若方程f(x)0 有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”某同学经过探究发现，任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且

15、“拐点”就是对称中心设函数f(x)13x312x2 3x512，请你根据该同学的发现，计算f12015 f22015 f32015f20142015 _ 7 2014 解析 f(x)x2 x 3，由f(x)2x 1 0 得 x12，则12，1 为 y f(x)的对称中心，故f12015 f20142015 f22015 f201320152f12 2，故 f12015 f22015 f32015f20142015 2014.8 2015武汉三调 如图K522(1)所示，在平面几何中，设O 是等腰直角三角形ABC底边BC 的中点，AB 1，过点O 的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q，R，则有

16、1AQ1AR 2.类比以上结论，将其拓展到空间中，如图K522(2)所示，设O 是正三棱锥A-BCD中底面BCD 的中心，AB，AC，AD 两两垂直，AB 1，连接AO，且过点O 的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q，R，P，则有_ 图 K522 8.1AQ1AR1AP 3 解析 设 O 到正三棱锥A-BCD 三个侧面的距离为d.易知V三棱锥R-AQP13SAQP AR1312 AQ AP AR16AQ AP AR.又V三棱锥R-AQP V三棱锥O-AQP V三棱锥O-ARP V三棱锥O-AQR13SAQP d13SARP d13SAQR d16(AQAP ARAP AQAR)d

17、，16AQ AP AR16(AQAP ARAP AQAR)d，即1AQ1AR1AP1d.而 V三棱锥A-BDC13SBDC AO1334 23316，V三棱锥O-ABD13V三棱锥A-BDC118，即13 SABD d1312 d118，得d13，1AQ1AR1AP 3.6 2015江西师大附中模拟 由棱长为1 的正方体叠成的几何体如图K521 所示，第 1个几何体的表面积为6，第 2 个几何体的表面积为18，第 3 个几何体的表面积是36.依此规律，则第n 个几何体的表面积是_.63n(n 1)解析 第 1个几何体的表面积为6 1 6，第 2个几何体的表面积为6(1 2)18，第3 个几何体的表面积为6(1 2 3)36，由此可得第n 个几何体的表面积为6(1 2 3n)3n(n 1)