2020年中考数学专项训练：二次函数的综合应用(含答案)9978.pdf

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1、 课时训练 二次函数的综合应用(限时:40 分钟)|夯实基础|1.已知一个直角三角形两直角边之和为 20 cm,则这个直角三角形的最大面积为()A.25 cm2 B.50 cm2 C.100 cm2 D.不确定 2.如图K15-1,在ABC中,B=90,AB=6 cm,BC=12 cm,动点P从点A开始沿边AB向B以1 cm/s的速度移动(不与点 B 重合),动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向 C 以 2 cm/s 的速度移动(不与点 C 重合).如果 P,Q 分别从 A,B 同时出发,那么经过多少秒时,四边形 APQC 的面积最小?()图 K15-1 A.1 B.2 C.3 D.4 3.

2、二次函数 y=x2-8x+15 的图象与 x 轴相交于 M,N 两点,点 P 在该函数的图象上运动,能使PMN 的面积等于12的点 P 共有 个.4.2018长春如图 K15-2,在平面直角坐标系中,抛物线 y=x2+mx 交 x 轴的负半轴于点 A.点 B 是 y 轴正半轴上一点,点 A 关于点 B 的对称点 A恰好落在抛物线上.过点 A作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 C.若点 A的横坐标为 1,则 AC 的长为 .图 K15-2 5.2019长春 如图 K15-3,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2-2ax+83(a0)与 y 轴交于点 A,过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于点

3、 M,P 为抛物线的顶点,若直线 OP 交直线 AM 于点 B,且 M 为线段 AB 的中点,则 a 的值为 .图 K15-3 6.已知:如图K15-4,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+x的对称轴为直线x=2,顶点为A.点P为抛物线对称轴上一点,连接 OA,OP.当 OAOP 时,求 P 点的坐标.图 K15-4 7.已知边长为 4 的正方形 CDEF 截去一个角后成为五边形 ABCDE(如图 K15-5),其中 AF=2,BF=1.试在 AB 上求一点 P,使矩形 PNDM 有最大面积,求此时 PM 的长.图 K15-5 8.如图 K15-6,矩形 ABCD 中,AB=6 cm,BC=

4、12 cm,点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 cm/s 的速度移动,点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 cm/s 的速度移动,如果 P,Q 分别从 A,B 同时出发.(1)经过多长时间,PBQ 的面积等于 8 cm2?(2)经过多长时间,五边形 APQCD 的面积最小,最小值是多少?图 K15-6|拓展提升|9.如图 K15-7,抛物线 m:y=ax2+b(a0)与 x 轴交于点 A,B(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C.将抛物线 m绕点 B 旋转 180,得到新的抛物线 n,它的顶点为 C1,与 x 轴的另一个交点为 A1.若四边形 AC1A

5、1C 为矩形,则 a,b应满足的关系式为()图 K15-7 A.ab=-2 B.ab=-3 C.ab=-4 D.ab=-5 10.如图 K15-8,在平面直角坐标系 xOy 中,若动点 P 在抛物线 y=ax2上,P 恒过点 F(0,n),且与直线 y=-n 始终保持相切,则 n=(用含 a 的代数式表示).图 K15-8 11.2019临沂在平面直角坐标系中,直线 y=x+2 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,抛物线 y=ax2+bx+c(a0)经过点 A,B.(1)求 a,b 满足的关系式及 c 的值.(2)当 x0 时,若 y=ax2+bx+c(a0)的函数值随 x 的增大而增

6、大,求 a 的取值范围.(3)如图 K15-9,当 a=-1 时,在抛物线上是否存在点 P,使PAB 的面积为 1?若存在,请求出符合条件的所有点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.图 K15-9 【参考答案】1.B 解析设一条直角边为 x cm,则另一条直角边长为(20-x)cm,直角三角形的面积 S=12x(20-x)=-12(x-10)2+50.-120,当 x=10 时,S最大=50 cm2.故选 B.2.C 解析设 P,Q 同时出发后经过的时间为 t s,四边形 APQC 的面积为 S cm2,则有:S=SABC-SPBQ=12126-12(6-t)2t=t2-6t+36=(t-3)

7、2+27.当 t=3 s 时,S 取得最小值.故选 C.3.4 解析二次函数 y=x2-8x+15 的图象与 x 轴交点为(3,0)和(5,0),MN=2,设 P 点坐标为(x,y),y=x2-8x+15,SPMN=12=12MN|y|,可得 y1=12,y2=-12.当 y=12时,x=862;当 y=-12时,x=822,所以共有四个点.4.3 解析如图,设 AC 与 y 轴交于点 D.点 A 与点 A关于点 B 对称,AB=AB.又 ACx 轴,ADB=AOB=90,DAB=OAB,ABOABD,AO=AD,点 A的横坐标为 1,AD=AO=1,点 A 坐标为(-1,0).把(-1,0)

8、代入抛物线解析式 y=x2+mx,得 m=1,抛物线解析式为 y=x2+x,点 A坐标为(1,2).令 y=2 得,x2+x=2,解得 x1=-2,x2=1,AC=1-(-2)=3.5.2 解析在 y=ax2-2ax+83中,令 x=0,可得 y=83,点 A 的坐标为 0,83,y=ax2-2ax+83=a(x-1)2+83-a,点 M 的坐标为 2,83,抛物线的顶点 P 的坐标为 1,83-a,直线 OP 的解析式为 y=83-a x,令 y=83,可得 x=88-3,点 B 的坐标为88-3,83.M 为线段 AB 的中点,88-3=4,解得 a=2.6.解:抛物线 y=ax2+x 的

9、对称轴为直线 x=2,-12=2,a=-14,抛物线的表达式为:y=-14x2+x,顶点 A 的坐标为(2,1),设对称轴与 x 轴的交点为 E.如图,在直角三角形 AOE 和直角三角形 POE 中,tanOAE=,tanEOP=,OAOP,OAE=EOP,=,AE=1,OE=2,21=2,解得 PE=4,P(2,-4).7.解:设矩形 PNDM 的边 DN=x,NP=y,则矩形 PNDM 的面积 S=xy(2x4),易知 CN=4-x,EM=4-y,作 BQNP 于 Q,则有 BQ=CN,PQ=NP-BC,且有-=,即-34-=12,y=-12x+5,S=xy=-12x2+5x(2x4),此

10、二次函数的图象开口向下,对称轴为直线 x=5,当 x5 时,S 随 x 的增大而增大.2x4,当 x=4,即 PM=4 时,S 有最大值.8.解:(1)设运动时间为 t 秒,则 PB=6-t,BQ=2t,则 SPBQ=12PBBQ=12(6-t)2t=8,解得 t=2 或 t=4,故经过 2 秒或 4 秒时,PBQ 的面积等于 8 cm2.(2)SPBQ=12PBBQ=12(6-t)2t=-t2+6t.当 t=-2=3 时,SPBQ最大=-364(-1)=9,故 S五边形APQCD最小=S矩形ABCD-SPBQ最大=612-9=63(cm2).故当 t=3 秒时,五边形 APQCD 的面积最小

11、,最小值是 63 cm2.9.B 解析令 x=0,得 y=b.C(0,b).令 y=0,得 ax2+b=0,x=-,A-,0,B-,0,AB=2-,BC=2+2=2-.要使四边形 AC1A1C 是矩形,必须满足 AB=BC,2-=2-,4-=b2-,ab=-3.a,b 应满足关系式 ab=-3.故选 B.10.14 解析如图,连接 PF.设P 与直线 y=-n 相切于点 E,连接 PE.则 PEAE.动点 P 在抛物线 y=ax2上,设 P(m,am2).P 恒过点 F(0,n),PF=PE,即2+(2-)2=am2+n.n=14.11.分析(1)求出点 A,B 的坐标,即可求解;(2)当 x

12、0 时,若 y=ax2+bx+c(a0)的函数值随 x 的增大而增大,则函数图象的对称轴 x=-20,由(1)知 b=2a+1,即-2+120,求解即可;(3)假设存在符合题意的是 P.过点 P 作直线 lAB,作 PQy 轴交 BA 于点 Q,作 PHAB 于点 H,易求QPH=45,SPAB=12ABPH=1222PQ22=1,则|yP-yQ|=1,即可求解.解:(1)根据直线 y=x+2 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,令 x=0,则 y=2,令 y=0,则 x=-2,故点 A,B 的坐标分别为(-2,0),(0,2),将 B(0,2)的坐标代入 y=ax2+bx+c,得 c

13、=2,则函数表达式为:y=ax2+bx+2,将点 A 坐标代入上式得 4a-2b+2=0,整理得:b=2a+1.(2)当 x0 时,若 y=ax2+bx+c(aa-12,故 a 的取值范围为:-12a0.(3)当 a=-1 时,二次函数表达式为:y=-x2-x+2,假设存在符合题意的点 P,过点 P 作直线 lAB,作 PQy 轴交 BA 于点 Q,作 PHAB 于点 H,A(-2,0),B(0,2),OA=OB,AB=22,BAO=45,PQH=45,SPAB=12ABPH=1222PQ22=1,解得 PQ=1,则 yP-yQ=1,在直线 AB 下方作直线 m,使直线 m 和 l 与直线 AB 等距离,则直线 m 与抛物线的两个交点分别与点 A,B 组成的三角形的面积也为 1,故|yP-yQ|=1,设点 P(m,-m2-m+2),则点 Q(m,m+2),-m2-m+2-m-2=1,解得:m=-1 或-12,故点 P 的坐标为(-1,2)或(-1+2,2)或(-1-2,-2).