二元一次方程组知识点整理3376.pdf

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1、实用文档 标准文案 第五章 二元一次方程组 知识点整理 知识点 1：二元一次方程（组）的定义 1、二元一次方程的概念 含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程 注意：1、(1)方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数.(2)含有未知数的项的次数都是 1.(3)二元一次方程的左右两边都必须是等式.（三个条件完全满足的就是二元一次方程）2.含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为 1。即若 axm+byn=c 是二元一次方程，则 a0，b0 且m=1,n=1 例 1：已知（a2）xby|a|15 是关于 x、y 的二元一次方程，则 a_，b_

2、例 2：下列方程为二元一次方程的有_ yx52，14 x，2xy，3 yx，22 yx，22yxxy，71 yx yx23，1cba【巩固练习】下列方程中是二元一次方程的是（）A3x-y2=0 B2x+1y=1 C3x-52y=6 D4xy=3 2、二元一次方程组的概念 由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组 注意：方程组中有且只有两个未知数。方程组中含有未知数的项的次数为 1。方程组中每个方程均为整式方程。例：下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A、228423119.23754624xyxyabxBCDxybcyxxy【巩固练习】1，已知下列方程组：（1）32xyy，（2）32

3、4xyyz，（3）1310 xyxy，（4）30 xyxy，其中属于二元一次方程组的个数为（）A1 B.2 C 3 D 4 1、若753313mnmyx是关于x、y二元一次方程，则m=_，n=_。知识点 2：二元一次方程组的解定义 一般地，使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解。实用文档 标准文案 类型题 1 根据定义判断 例：方程组422yxyx的解是（）A21yx B13yx C20yx D02yx【巩固练习】1，当1 mx，1 my满足方程032myx，则m_.2、下面几个数组中，哪个是方程 7x+2y=19 的一个解（）。A、31xy B、3

4、1xy C、31xy D、31xy 类型题 2 已知方程组的解，而求待定系数。此类题型只需将解代入到方程中，求出相应系数的值，从而求代数式的值 例 1：已知12yx是方程组274123nyxymx的解，则 m2n2的值为_ 例 2：若满足方程组6)12(423ykkxyx的 x、y 的值相等，则 k_ 【巩固练习】1、若方程组10)1(232ykkxyx的解互为相反数，则 k 的值为 。2、若方程组52243ybaxyx与5243yxbyxa有相同的解，则 a=，b=。,类型 3 列方程组求待定字母系数是常用的解题方法 例：若20yx，311yx都是关于 x、y 的方程 axby6 的解，则

5、ab 的值为 例：关于 x，y 的二元一次方程 axby 的两个解是11yx，12yx，则这个二元一次方程是 【巩固练习】如果21yx是方程组10cybxbyax的解，那么，下列各式中成立的是（）A、a4c2 B、4ac2 C、a4c20 D、4ac20 知识点 3：二元一次方程组的解法 方法一：代入消元法 实用文档 标准文案【典型例题】例 27838100 xyxy 我们通过代入消去一个未知数，将方程组转化为一个一元一次方程来解，这种解法叫做代入消元法。用代入消元法解二元一次方程组的步骤：（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.（2）把

6、（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.【巩固练习】1，方程x4y15 用含 y 的代数式表示，x 是（）Ax4y15 Bx154y Cx4y15 Dx4y15 2、把方程7x2y15写成用含 x 的代数式表示 y 的形式，得（）Ax=215152715157.7722xxyxxB xC yD y 3、用代入法解方程组252138xyxy 较为简便的方法是（）A先把变形 B先把变形 C可先把变形，也可先把变形 D把、同时变形 方法二：加减消

7、元法 例：对于方程组:20240 xyxy 分析：这个方程组的两个方程中，y 的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？解：得，2xyxy4022 即x18,把x18代入得y4。所以 4yx=18 定义：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程这种方法叫做加减消元法，简称加减法。例 1、方程组231534mnmn中，n 的系数的特点是 ，所以我们只要将两式 ，就可以消去未知数，化成一个一元一次方程，达到消元的目的 实用文档 标准文案 例 2、用加减法解341236xyxy时，将方程两边乘以 ，把方程两边乘

8、以 ，可以比较简便地消去未知数 【方法掌握要诀】用加减法解二元一次方程组时，两个方程中同一个未知数的系数必须相同或互为相反数，即它们的绝对值相等当未知数的系数的符号相同时，用两式相减；当未知数的系数的符号相反时，用两式相加。方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，就用适当的 整数乘方程两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；解这个一元一次方程；将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解【巩固练习】1、用加减法解方程组326231xyxy时，要使方程

9、中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形，以下四种变形正确的是（）966961896186412(1)(2)(3)(4)462462462693xyxyxyxyxyxyxyxy A（1）（2）B（2）（3）C（3）（4）D（4）（1）对于方程组2353433xyxy而言，你能设法让两个方程中 x 的系数相等吗？你的方法是 ；若让 2、两个方程中 y 的系数互为相反数，你的方法是 3、用加减消元法解方程组23537xyxy正确的方法是（）A2x5得 B3x12得 C3x75得 Dx3y7x2 先将变为，再得 以下教科书中没有的几种解法（可以作为培优学生的拓展）(一)加减-代入混合使用的

10、方法.例 1,13x+14y=41(1)14x+13y=40(2)解:(2)-(1)得 x-y=-1 x=y-1(3)把(3)代入(1)得 13(y-1)+14y=41 13y-13+14y=41 27y=54 y=2 把 y=2 代入(3)得 x=1 所以:x=1,y=2 特点:两方程相加减,单个 x 或单个 y,这样就适用接下来的代入消元.实用文档 标准文案(二)换元法 例 2，(x+5)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4 令 x+5=m,y-4=n 原方程可写为 m+n=8 m-n=4 解得 m=6,n=2 所以 x+5=6,y-4=2 所以 x=1,y=6 特点：两方程中都含

11、有相同的代数式，如题中的 x+5,y-4 之类，换元后可简化方程也是主要原因。（三）另类换元 例 3，x:y=1:4 5x+6y=29 令 x=t,y=4t 方程 2 可写为：5t+6*4t=29 29t=29 t=1 所以 x=1,y=4 知识点 4：实际问题与二元一次方程组 列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（5

12、）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.列方程组解应用题中常用的基本等量关系 1.行程问题：(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差开始时两者相距的路程；(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和总路程。(3)航行问题：船在静水中的速度水速船的顺水速度；船在静水中的速度水速船的逆水速度；顺水速度逆水速度2水速。注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航

13、行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。2工程问题：工作效率工作时间=工作量.3商品销售利润问题：(1)利润售价成本(进价)；(2)；(3)利润成本（进价）利润率；标价成本(进价)(1利润率)；(5)实际售价标价打折率；打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）实用文档 标准文案 4储蓄问题：利息本金利率期数 本息和本金利息本金本金利率期数本金(1利率期数)利息税利息利息税率本金利率期数利息税率。税后利息利息(1利息税率)。5配套问题：解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。6增长率问题：解这类问题

14、的基本等量关系式是：原量(1增长率)增长后的量；原量(1减少率)减少后的量.7和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系是：较大量较小量多余量，总量倍数倍量.8数字问题：解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当 n 为整数时，奇数可表示为 2n+1(或 2n-1)，偶数可表示为 2n 等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字 9优化方案问题：在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。经典例题透析 类型一：列二元一次方程组解决行程问题 例：甲、乙两地相

15、距 160 千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1 小时 20 分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留 1 小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？举一反三：【变式 1】甲、乙两人相距 36 千米，相向而行，如果甲比乙先走 2 小时，那么他们在乙出发 2.5 小时后相遇；如果乙比甲先走 2 小时，那么他们在甲出发 3 小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？类型二：列二元一次方程组解决工程问题 例：一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付两组费用共 3520 元；若先请甲组单独做

16、 6 天，再请乙组单独做 12 天可完成，需付两组费用共 3480 元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需 12 天完成，乙组单独做需 24 天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？举一反三：【变式 3】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作 6 周完成需工钱 5.2 万元；若甲公司单独做 4 周后，剩下的由乙公司来做，还需 9 周完成，需工钱 4.8 万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.类型三：列二元一次方程组解决商品销售利润问题 实用文档 标准文案 例：有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为

17、 5%,乙商品的利润率为 4%,共可获利 46 元。价格调整后，甲商品的利润率为 4%，乙商品的利润率为 5%，共可获利 44 元，则两件商品的进价分别是多少元？举一反三：【变式 4】某商场用 36 万元购进 A、B 两种商品，销售完后共获利 6 万元，其进价和售价如下表：A B 进价（元/件）1200 1000 售价（元/件）1380 1200（注：获利=售价 进价）求该商场购进 A、B 两种商品各多少件；类型四：列二元一次方程组解决银行储蓄问题 例：小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了 2000 元钱，一种是年利率为2.25的教育储蓄，另一种是年利率为 2.

18、25的一年定期存款，一年后可取出 2042.75 元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税利息金额20%，教育储蓄没有利息所得税）举一反三：李明以两种形式分别储蓄了 2000 元和 1000 元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息 43.92 元.已知两种储蓄年利率的和为 3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额20%）类型五：列二元一次方程组解决生产中的配套问题 例：某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每 2 米的某种布料可做上衣的衣身 3 个或衣袖 5 只.现计划用 132 米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的

19、衣身和衣袖恰好配套？举一反三：【变式 7】现有 190 张铁皮做盒子，每张铁皮做 8 个盒身或 22 个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？类型六：列二元一次方程组解决增长率问题 例：某工厂去年的利润（总产值总支出）为 200 万元，今年总产值比去年增加了 20%，总支出比去年减少了 10%，今年的利润为 780 万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？【变式 10】某城市现有人口 42 万，估计一年后城镇人口增加 0.8%，农村人口增加 1.1%，这样全市人口增加 1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。类型七：列二元一

20、次方程组解决和差倍分问题 例：“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共 9 千顶，现某地震灾区急需帐篷 14 千顶，两厂决定在一实用文档 标准文案 周内赶制出这批帐篷为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的 1.6 倍、1.5 倍，恰好按时完成了这项任务求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？举一反三：【变式 11】(2011 年北京门头沟区中考一模试题)“地球一小时”是世界自然基金会在 2007 年提出的一项倡议号召个人、社区、企业和政府在每年 3 月最后一个星期六 20 时 30 分21 时 30 分

21、熄灯一小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活中国内地去年和今年共有 119 个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的 3 倍少 13 个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动 类型八：列二元一次方程组解决数字问题 例：一个两位数，减去它的各位数字之和的 3 倍，结果是 23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是 5，余数是 1，这个两位数是多少？举一反三：【变式 12】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大 5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少 9，求这个两位数？类型九：列

22、二元一次方程组解决浓度问题 例：现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是 37，乙种酒精溶液的酒精与水的比是 41，今要得到酒精与水的比为 32 的酒精溶液 50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？举一反三：【变式 14】要配浓度是 45%的盐水 12 千克，现有 10%的盐水与 85%的盐水，这两种盐水各需多少？类型十：列二元一次方程组解决几何问题 例：用长 48 厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉 3 厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？举一反三：【变式 16】一块矩形草坪的长比宽的 2 倍多 10m，它的周长是 132m，则长和宽分别

23、为多少？类型十一：列二元一次方程组解决年龄问题 例：今年父亲的年龄是儿子的 5 倍，6 年后父亲的年龄是儿子的 3 倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？举一反三：【变式 17】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12 年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.类型十二：列二元一次方程组解决优化方案问题：例：某商场计划拨款 9 万元从厂家购进 50 台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500 元，乙种每台 2100 元，丙种每台 2500 元。(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机 50 台，用去 9 万元，请你研究一下商场的进货方

24、案；(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利 150 元、200 元、250 元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？举一反三：【变式 18】某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为 1000 元；经粗加工后销售，每吨利润可达 4500 元；经精加工后销售，每吨利润涨至 7500 元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜 140 吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工 16 吨；如果进行细加工，每天可加工 6 吨.但两种加工方式不能同时进行.受季节条件的限制，公司必须在 15 天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案 方案一：将蔬菜全部进行粗加工；实用文档 标准文案 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在 15 天完成 你认为选择哪种方案获利最多？为什么？