二次函数复习专题讲义3072.pdf

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1、实用文档 文案大全 第 1-3讲 二次函数全章综合提高【知识清单】一、网络框架 二、清单梳理 1、一 般的，形如2(0,)yaxbxc aa b c是常数的 函数 叫二 次函数。例 如222212,26,4,5963yxyxyxx yxx 等都是二次函数。注意：系数a不能为零，,b c可以为零。2、二次函数的三种解析式（表达式）2(0)0=00=0000000y ax ayayayaxy xxy xaxy xxy x最小值最大值概念：形如的函数简单二次函数 图像：是过（0,0）的一条抛物线对称轴：轴性质最值：当时，；当时，当时，在对称轴左边（即）,随的增大而减小。在对称轴右边（即）,随的增大而

2、增大。增减性当时，在对称轴左边（即）,随的增大而增大。在对称轴右边（即）,随的增大而减小。二次函数2222(0)004242440=0=440y axbx c aaabac baabxaac bac bayayaaa最小值最大值概念：形如的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。开口方向：，开口向上；，开口向下。图像：是一条抛物线顶点坐标：（-,）对称轴：-最值：当时，当时，一般二次函数性质：当时，在对称轴左增减性：22022bbxy xxy xaabbaxy xxy xaa边（即-）,随的增大而减小。在对称轴右边（即-）,随的增大而增大。当时，在对称轴左边（即-）,随的增大而增大。在

3、对称轴右边（即-）,随的增大而减小。待定系数法求解析式应用与一元二次方程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题实用文档 文案大全 一般式：2(0,)yaxbxc aa b c是常数 顶点式：2()(,0)ya xhk a h ka为常数，且，顶点坐标为(,)h k 交点式：1212()()(0,)ya xxxxax xx其中是抛物线与 轴的交点的横坐标 3、二次函数的图像位置与系数,a b c之间的关系 a：决定抛物线的开口方向及开口的大小。当0a 时，开口方向向上；当0a时，开口方向向下。|a决定开口大小，当|a越大，则抛物线的开口越小；当|a越小，则抛物线的开口越大。反之，也成立。c：决定

4、抛物线与y轴交点的位置。当0c时，抛物线与y轴交点在y轴正半轴（即x轴上方）；当0c时，抛物线与y轴交点在y轴负半轴（即x轴下方）；当0c时，抛物线过原点。反之，也成立。ab和：共同决定抛物线对称轴的位置。当02ba时，对称轴在y轴右边；当02ba时，对称轴在y轴左边；当02ba（即当0b时）对称轴为y轴。反之，也成立。特别：当1x 时，有yabc；当1x 时，有yabc。反之也成立。4、二次函数2()ya xhk的图像可由抛物线2yax向上（向下），向左（向右）平移而得到。具体为：当0h时，抛物线2yax向右平移h个单位；当0h时，抛物线2yax向左平移h个单位，得到2()ya xh；当0k

5、 时，抛物线2()ya xh再向上平移k个单位，当0k 时，抛物线2()ya xh再向下平移k个单位，而得到2()ya xhk的图像。5、抛物线2(0)yaxbxc a与一元二次方程20(0)axbxca的关系：若 抛 物 线2(0)ya xb xc a与x轴 有 两 个 交 点，则 一 元 二 次 方 程20(0)a xb xca有两个不相等的实根。若 抛 物 线2(0)ya xb xc a与x轴 有 一 个 交 点，则 一 元 二 次 方 程实用文档 文案大全 20(0)axbxca有两个相等的实根（即一根）。若 抛 物 线2(0)ya xb xc a与x轴 无 交 点，则 一 元 二 次

6、 方 程20(0)a xb xca没有实根。6、二次函数2(0,)yaxbxc aa b c是常数的图像与性质 关系式 2(0)yaxbxc a 2()(0)ya xhk a 图像形状 抛物线 顶点坐标 24(,)24bacbaa(,)h k 对称轴 2bxa xh 增 减 性 0a 在图像对称轴左侧，即2bxa 或xh，y随x的增大而减小；在图像对称轴右侧，即2bxa 或xh，y随x的增大而增大；0a 在图像对称轴左侧，即2bxa 或xh，y随x的增大而增大；在图像对称轴右侧，即2bxa 或xh，y随x的增大而减小；最 大 值最小值 0a 当2bxa 时，24=4acbya最小值 当xh时，

7、=ky最小值 0a 当2bxa 时，24=4acbya最大值 当xh时，=ky最大值 实用文档 文案大全【考点解析】考点一：二次函数的概念【例 1】下列函数中是二次函数的是（）2.81A yx .81B yx 8.C yx 23.4D yx【解析】根据二次函数的定义即可做出判断，A中281yx符合2(0)yaxbxc a的形式，所以是二次函数，,B C分别是一次函数和反比例函数，D中右边234x不是整式，显然不是二次函数。【答案】A【例 2】已知函数2234(2)3(1)mmymm xmxm是二次函数，则m_。【解析】根据二次函数的定义，只需满足两个条件即可“二次项系数不为零，且x的最高次数为

8、2”。故有2220342mmmm，解得0212mmmm且或，综上所述，m取1。【答案】1【针对训练】1、若函数22(2)mymxmx是二次函数，则该函数的表达式为_y。考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用【例 1】已知点8,a在二次函数2axy 的图象上，则a的值是（）2.A 2.B .C2 2.D【解析】因为点8,a在二次函数2axy 的图象上，所以将点8,a代入二次函数2axy 中，可以得出3a8，则可得2a，【答案】.A 实用文档 文案大全【例 2】（2011，泰安）若二次函数cbxaxy2的x与y的部分对应值如下表，则当1x时，y的值为（）x 7 6 5 4 3 2 y 27

9、 13 3 3 5 3 5.A 3.B 13.C 27【解析】设二次函数的解析式为khxay2，因为当4x或2时，3y，由抛物线的对称性可知3h，5h，所以532xay，把3,2代入得，2a，所 以 二 次 函 数 的 解 析 式 为5322xy，当3x时，27y。【答案】C【针对训练】1、(2002年太原)过0,1,0,3,2,1三点的抛物线的顶点坐标是（）.A 2,1 2.(1,)3B 5,1.C 14.(2,)3D 2、无论m为何实数，二次函数2xy mxm 2的图象总是过定点（）3,1.A 0,1.B 3,1.C 0,1D 【例 3】（2010，石家庄一模）如图所示，在平面直角坐标系中

10、，二 次 函 数cbxaxy2的 图 象 顶 点 为2,2.A，且 过 点2,0B，则y与x的函数关系式为（）.A22 xy .B222 xy.C222 xy .D222 xy 实用文档 文案大全【解 析】设 这 个 二 次 函 数 的 关 系 式 为222xay，将2,0B代 入 得22022，解得：1a，故这个二次函数的关系式是222 xy，【答案】D【针对训练】1、二次函数212yxbxc的顶点为(2,1)，则二次函数的解析式为_.【例 4】二次函数2yxbxc过点(3,0)(1,0)、，则二次函数的解析式为_。考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数,a b c的关系）【例 1】

11、（2012，兰州）已知二次函数bxay2)1()0(a有最小值 1，则a、b的大小关系为（）.Aba .Bba .Cba .D不能确定【考点】涉及二次函数顶点坐标和最值【解析】因为二次函数bxay2)1()0(a有最小值 1，所以0a，1b，1b，所以ba。【答案】.A【针对训练】1、二次函数1422xxy的最小值是 。2、（2013，兰州）二次函数3)1(22xy的图象的顶点坐标是（）.A)31(，.B)31(，.C)31(，.D)31(，实用文档 文案大全 3、抛物线)2(xxy的顶点坐标是（）.A)11(，.B)11(，.C)11(，.D)11(，【例 2】（2012，兰州）抛物线3)2

12、(2 xy可以由抛物线2xy 平移得到，则下列平移过程正确的是（）.A先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位.B先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位.C先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位.D先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位【考点】涉及函数平移问题【解析】抛物线2xy 向左平移 2 个单位可得到抛物线2)2(xy，再向下平移 3 个单位可得到抛物线3)2(2 xy。【答案】.B【针对训练】1、（2012，南京）已知下列函数：（1）2xy；（2）2xy；（3）2)1(2 xy。其中，图象通过平移可以得到函数322xxy的图象的有 （填写所有正确选项的序号

13、）。2、（2009，上海）将抛物线22 xy向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 。3、将抛物线2xy向左平移 2 个单位后，得到的抛物线的解析式是（）.A22xy .B2)2(xy .C2)2(xy .D22xy 实用文档 文案大全 4、将抛物线2(0)yaxbxc a向下平移 3个单位，在向左平移 4个单位得到抛物线2245yxx，则原抛物线的顶点坐标是_。【例 3】（2013，长沙）二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则下列关系式错误的是（）.A0a .B0c .C042acb .D0cba【考点】图像与系数的关系【解析】观察题中图象可知，抛物线的开口方向向上，

14、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，与x轴有两个交点，所以0a，0c，042acb，且当1x时，0cbay。显然选项 A、B、C 都正确，只有选项 D 错误。【答案】.D【例 4】（2011，山西）已知二次函数cbxaxy2的图象如图所示，对称轴为直线1x，则下列结论正确的是（）.A0ac.B方程02cbxax的两根是11x，32x.C02ba.D当0 x时，y随x的增大而减小【考点】图像与性质的综合应用【解析】由图象可知0a，0c，故 A 错误；因对称轴为直线1x，所以12ab，故C错误；由图象可知当01 x时，y随x的增大而增大，故 D错误；由二次函数的对称性可知 B 选项正确，【答案】.

15、B 【针对训练】实用文档 文案大全 1、（2013，呼和浩特）在同一平面直角坐标系中，函数mmxy和函数222xmxy（m是常数，且0m）的图象可能是（）.A .B .C .D 2、（2011，重庆）已知抛物线cbxaxy2)0(a在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）.A0a .B0b.C0c .D0cba 3、在反比例函数中xay)0(a，当0 x时，y随x的增大而减小，则二次函数axaxy2的图象大致是（）.A .B .C .D 4、如图所示，二次函数2(0)yaxbxc a的图像经过(1,2)A，且与x轴的交点的横坐标分别为12,x x，其中1221,01xx ，

16、下列结论：420abc；20ab；1a ；284baac，其中正确的选项有_。【例 5】已知关于x的函数243yxx，求当11x 时函数的最大值和最小值 实用文档 文案大全 【针对训练】1、已知函数2241yxx，试求当12x 的最大值和最小值 2、已知函数224|1yxx，试求当12x 的最大值和最小值 【例 6】已 知 二 次 函 数2(0)ya xb xc a其 中abc、满 足0abc和930abc，则该二次函数的对称轴是直线_。【针对训练】1、已知12(,2002)(,2002)A xB x、是二次函数25(0)yaxbxa的图像上的两点，则当12xxx时，二次函数的值是_.【例 7

17、】已知二次函数222yxmx，当2x 时，y的值随x值的增大而增大，则实实用文档 文案大全 数m的取值范围是_。【针对训练】1、若二次函数2()1yxm，当1x 时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_。讲到这儿了 考点四：二次函数的实际应用【例 1】（2011，重庆）某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年 1至 9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格1y（元）x与月份（91 x，且x取整数）之间的函数关系如下表：月份x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 价格1y（元/件）560 580 600 620 640 660 680 700 720 随着

18、国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10 至 12 月每件配件的原材料价格2y（元）与月份x（10 x12，且x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出1y与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出2y与x之间满足的一次函数关系式；（2）若去年该配件每件的售价为 1000元，生产每件配件的人力成本为 50 元，其它成本 30实用文档 文案大全 元，该配件在 1 至 9 月的销售量1p（万件）与月份x满足函数关系式1.11.01xp（1 x9，且x取整数）10 至 12 月的销售量2p（万件）与月份

19、x满足函数关系式9.21.02xp（10 x12，且x取整数）求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；（3）今年 1 至 5 月，每件配件的原材料价格均比去年 12 月上涨 60 元，人力成本比去年增加 20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高%a，与此同时每月销售量均在去年 12 月的基础上减少%1.0 a这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了 1 至 5 月的总利润 1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值（参考数据：992=9901，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025）【考点】涉及函数模型，

20、把实际问题转化为函数，用函数的观点来解决问题，综合性比较强，一般还涉及不等式，最值问题。【解析】（1）把表格（1）中任意 2 点的坐标代入直线解析式可得1y的解析式把（10，730）（12，750）代入直线解析式可得2y的解析式，；（2）分情况探讨得：1 x9 时，利润=1p（售价各种成本）；10 x12 时，利润=2p（售价各种成本）；并求得相应的最大利润即可；（3）根据 1至 5月的总利润 1700万元得到关系式求值即可。解：（1）设bkxy，则5 8 025 6 0bkbk错误！未找到引用源。，解得错误！未找到引用源。5420bk，540201xy（1 x9，且x取整数）；设baxy2，

21、则错误！未找到引用源。75127310baba，解得错误！未找到引用源。6310ba，630102xy（10 x12，且x取整数）；（2）设 去 年 第x月 的 利 润 为W元 1x 9，且x取 整 数 时450)4(2418162)30501000(2211xxxypWx=4 时，W最大=450元；10 x12，且x取整数时，222)29()30501000(xypW x=10时，W最大=361元；（3）去年 12 月的销售量为0.112+2.9=1.7（万件），今年原材料价格为：750+60=810（元）实用文档 文案大全 今年人力成本为：50（1+20%）=60元 5 1000（1+%a

22、）81060301.7（1 0.1%a）=1700，设%at，整理得01099102tt，解得20940199t 9401更接近于 9409，979401 错误！未找到引用源。，1t0.1，2t9.8，1a10 或2a980，1.7（1 0.1%a）1，a10【答案】（1）630102xy（10 x12，且x取整数）；（2）x=10时，W最大=361元；（3）a10 【针对训练】1、（2013湖北孝感）在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为 20 元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲。经试验发现，若每件按 24 元的价格销售时，

23、每天能卖出 36 件；若每件按 29 元的价格销售时，每天能卖出 21 件假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数。（1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？实用文档 文案大全 【例 2】（2010，孝感）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线1 xy与二次函数的图象交于BA,两点，其中点A在y轴上（1）二次函数的解析式为y=；（2）证明点)12,(mm不在（1）中所求的二次函数的图象上；（3）若C为线段AB的中点，过C点作xCE 轴于E点，

24、CE与二次函数的图象交于D点 y轴上存在点K，使以CDAK,为顶点的四边形是平行四边形，则KK点的坐标是 ；二次函数的图象上是否存在点P，使得ABDPOESS 2？求出P点坐标；若不存在，请说明理由 【考点】考察函数的图像与性质，与平面图形综合为主，一般涉及存在性问题和动点问题。【解析】（1）由二次函数图象的顶点坐标为)0,2(，故根据抛物线的顶点式写出抛物线解析式（2）把该点代入抛物线上，得到m的一元二次方程，求根的判别式（3）由直线1 xy与二次函数的图象交于BA,两点，解得BA,两点坐标，求出D点坐标，设K点坐标),0(a，使CDAK,为顶点的四边形是平行四边形，则DCKA，且DKBA/

25、，进而求出K点的坐标过点B作xBF 轴于F，则AOCEBF/，又C为AB中点，求得B点坐标，可得到ABDPOESS 2，设)141,(2 xxxP，由题意可以解出x（1）解：1412xxy（2）证明：设点)12,(mm在二次函数1412xxy的图象上，实用文档 文案大全 则有：141122mmm，整理得0842 mm，01684)4(2 原方程无解，点)12,(mm不在二次函数1412xxy的图象上（3）解：)3,0(K或)5,0(二次函数的图象上存在点P，使得ABDPOESS 2，如图，过点B作xBF 轴于F，则AOCEBF/，又C为AB中点，EFOE，由于1412xxy和1 xy可求得点)

26、9,8(B )5,4(),1,4(),0,4(CDE xAD/轴，16442122ABDPOESS 设)141,(2 xxxP，由题意得：2221)141(42122xxxxSPOE ABDPOESS 2 3222212xx 解得6x或10 x，当6x时，16163641y，当10 x时，1611010041y，实用文档 文案大全 存在点)16,6(P和)16,10(P，使得ABDPOESS 2【答案】（1）1412xxy；（2）见上述解答过程；（3）存在，点)16,6(P和)16,10(P 【例 3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线28 25yxbxc经过点3(,0)2A和点(1,2 2)B

27、，与x轴的另一个交点为C。（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在对称轴的右侧、x轴上方的抛物线上，且BDADAC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE。判断四边形OAEB的形状，并说明理由；点F是OB的中点，点M是直线BD上的一个动点，且点M和点B不重合，当13BMFMFO时，请直接写出线段BM的长 【答案】（1）28 242 22 28 2(23)(27)555yxxxx（2）/(4,2 2)BDACD（3）平行四边形；12或52【针对训练】1、（2012，泉州）如图，O为坐标原点，直线 l 绕着点)2,0(A旋转，与经过点)1,0(C的二次函数h

28、xy241的图象交于不同的两点QP、（1）求h的值；实用文档 文案大全（2）通过操作、观察，算出POQ的面积的最小值（不必说理）；（3）过点CP、作直线，与x轴交于点B，试问：在直线 l的旋转过程中，四边形AOBQ是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状 【基础闯关】1、已知二次函数cbxaxy2的图象如图所示，那么这 个函数的解析式为实用文档 文案大全 _。2、已知二次函数131232xxy，则函数y的最小值是_。3、把抛物线22xy 向上平移 5 个单位，所得抛物线的解析式为_。4、（2011，济 宁）将 二 次 函 数542xxy化 成khxy2)(的 形 式，则y_。5

29、、（2006，陕西）如图，抛物线的函数表达式是（）.A22xxy .B22xxy.C22xxy .D22xxy 6、已知函数cbxaxy2)0(a的图象如图所示，则函数baxy的图象是（）.A .B .C .D 7、（2013，兰州）二次函数3122）（xy的图象的顶点坐标是（）.A（1，3）.B（1，3）.C（1，3）.D（1，3）8、（2013，泰安）对于抛物线3)1(212xy，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线1x；顶点坐标为（1，3）；1x时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（）.A 1 .B2 .C3 .D4 实用文档 文案大全 9、（2013，贵阳）已知：直线bax

30、y过抛物线322xxy的顶点p，如图所示（1）顶点p的坐标是_（2）若直线baxy经过另一点A（0，11），求出该直线的表达式；（3）在（2）的条件下，若有一条直线nmxy与直线baxy关于x轴成轴对称，求直线nmxy与抛物线322xxy的交点坐标 10、（2010，虹口区一模）已知二次函数322xxy，解答下列问题：（1）用配方法将该函数解析式化为kmxay2)(的形式；（2）指出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴，以及它的变化情况 【拓展提高】1、将二次函数3)1(22xy的图象沿y轴向上平移 3个单位，那么平移后的二次函数图象的顶点坐标是 。2、若抛物线mxxy22的最低点的纵坐标为

31、n，则nm 的值是 。3、抛 物 线cbxaxy2的 顶 点 坐 标 是3,1，且 过 点5,0，那 么 二 次 函 数实用文档 文案大全 cbxaxy2的解析式为（）.A5422xxy .B5422xxy.C1422xxy .D3422xxy 4、（2010，兰州）抛物线cbxxy2图象向右平移 2个单位再向下平移 3个单位，所得图象的解析式为322xxy，则b、c的值为（）.A 2b，2c .B2b，0c .C2b，1c .D3b，2c 5、（2010，兰州）抛物线cbxaxy2图象如图所示，则一次函数24bacbxy与反比例函数xcbay在同一坐标系内的图象大致为（）.A .B .C .

32、D 6、（2012，南宁）如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，则下列关系不正确的是（）.A k=n .B h=m .Ckn .Dh0，k0 7、（2010，北京）将二次函数322xxy化为khxy2)(的形式，结果为（）.A4)1(2 xy.B4)1(2 xy.C2)1(2 xy.D2)1(2 xy 8、（2012，重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理 某企业去年每月的污水量均为 12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行 1至 6 月，该

33、企业向污水厂输送的污水量 y1（吨）与月份x（1 x6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：月份 x（月）1 2 3 4 5 6 输送的污水量 y1（吨）12000 6000 4000 3000 2400 2000 实用文档 文案大全 7 至 12 月，该企业自身处理的污水量 y2（吨）与月份x（7 x12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为)0(22acaxy其图象如图所示1 至 6 月，污水厂处理每吨污水的费用：1z（元）与月份x之间满足函数关系式：xz211，该企业自身处理每吨污水的费用：2z（元）与月份x之间满足函数关系式：xxz121432；7 至 12 月，污水厂处理每吨污水的

34、费用均为 2 元，该企业自身处理每吨污水的费用均为 1.5元（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出21,yy与x之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加 a%，同时每吨污水处理的费用将在去年 12 月份的基础上增加（a30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行 50%的补助若该企业每月的污水处理费用为 18000元，请计算出 a 的整数值（参考数据：2.15231，5.20419，4.28809）实用文档 文案大全 9、(2012，丽水)在直角坐标系中，点A是抛物线yx2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OAOB，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC (1)如图 1，当点A的横坐标为 时，矩形AOBC是正方形；(2)如图 2，当点A的横坐标为时，求点B的坐标；将抛物线2xy 作关于x轴的轴对称变换得到抛物线yx2，试判断抛物线yx2经过平移交换后，能否经过CBA,三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由