小学奥数知识点完全梳理13595.pdf
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1、小学奥数知识点完全梳理 概述 一、计算 1 四则混合运算与繁分数 运算顺序 分数、小数混合运算技巧 一般而言:加减运算中,能化成有限小数的统一以小数形式;乘除运算中,统一以分数形式;带分数与假分数的互化 繁分数的化简 2 简便计算 凑整思想 基准数思想 裂项与拆分 提取公因数 商不变性质 改变运算顺序 运算定律的综合运用 连减的性质 连除的性质 同级运算移项的性质 增减括号的性质 变式提取公因数 形如:1212.(.)nnabababaaab 3 估算 求某式的整数部分:扩缩法 4 比较大小 通分 a.通分母 b.通分子 跟“中介”比 利用倒数性质 若111abc,则 cba.;形如:3121
2、23mmmnnn,则312123nnnmmm;5 定义新运算 6 特殊数列求和 运用相关公式:21321nnn 612121222nnnn 21nan nnn 412121222333nnnn 131171001abcabcabcabc bababa22 1+2+3+4n-1+n+n-1+4+3+2+1=n2 二、数论 1 奇偶性问题 奇奇=偶 奇奇=奇 奇偶=奇 奇偶=偶 偶偶=偶 偶偶=偶 2 位值原则 形如:abc=100a+10b+c 3 数的整除特征:整除数 特 征 2 末尾是 0、2、4、6、8 3 各数位上数字的和是 3 的倍数 5 末尾是 0 或 5 9 各数位上数字的和是 9
3、 的倍数 11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和,两者之差是 11 的倍数 4 和 25 末两位数是 4 或 25 的倍数 8 和 125 末三位数是 8 或 125 的倍数 7、11、13 末三位数与前几位数的差是 7 或 11 或 13 的倍数 4 整除性质 如果 c|a、c|b,那么 c|ab;如果 bc|a,那么 b|a,c|a;如果 b|a,c|a,且 b,c=1,那么 bc|a;如果 c|b,b|a,那么 c|a.a 个连续自然数中必恰有一个数能被 a 整除;5 带余除法 一般地,如果 a 是整数,b 是整数 b0,那么一定有另外两个整数 q 和 r,0rb,使得 a=bq+r
4、当 r=0 时,我们称 a 能被 b 整除;当 r0 时,我们称 a 不能被 b 整除,r 为 a 除以 b 的余数,q 为 a 除以 b 的不完全商亦简称为商;用带余数除式又可以表示为 ab=qr,0rb a=bq+r 6.唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即 n=p11a p22a.pkak 7.约数个数与约数和定理 设自然数n的质因子分解式如n=p11a p22a.pkak那么:n的约数个数:dn=a1+1a2+1.ak+1 n的所有约数和:1+P1+P12+p11a1+P2+P22+p22a1+Pk+Pk2+pkak 8.同余定理 同余定义:若两个整数 a,
5、b 被自然数 m 除有相同的余数,那么称 a,b 对于模 m 同余,用式子表示为 abmod m 若两个数 a,b 除以同一个数 c 得到的余数相同,则 a,b 的差一定能被 c 整除;两数的和除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数和;两数的差除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数差;两数的积除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数积;9完全平方数性质 平方差:A2-B2=A+BA-B,其中我们还得注意A+B,A-B同奇偶性;约数:约数个数为奇数个的是完全平方数;约数个数为3的是质数的平方;质因数分解:把数字分解,使他满足积是平方数;平方和;10孙子定理中国剩余定理
6、 11辗转相除法 12数论解题的常用方法:枚举、归纳、反证、构造、配对、估计 三、几何图形 1 平面图形 多边形的内角和 N 边形的内角和=N-2180 等积变形位移、割补 三角形内等底等高的三角形 平行线内等底等高的三角形 公共部分的传递性 极值原理变与不变 三角形面积与底的正比关系 S1S2=ab;S1S2=S4S3 或者 S1S3=S2S4 相似三角形性质份数、比例 abchABCH ;S1S2=a2A2 S1S3S2S4=a2b2abab;S=a+b2 燕尾定理 SABG:SAGCSBGE:SGECBE:EC;SBGA:SBGCSAGF:SGFCAF:FC;SAGC:SBCGSADG:
7、SDGBAD:DB;差不变原理 知 5-2=3,则圆点比方点多 3;隐含条件的等价代换 例如弦图中长短边长的关系;组合图形的思考方法 化整为零 先补后去 正反结合 2 立体图形 规则立体图形的表面积和体积公式 不规则立体图形的表面积 整体观照法 体积的等积变形 水中浸放物体:V升水=V物 测啤酒瓶容积:V=V空气+V水 三视图与展开图 最短线路与展开图形状问题 染色问题 几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系;四、典型应用题 1 植树问题 开放型与封闭型 间隔与株数的关系 2 方阵问题 外层边长数-2=内层边长数 外层边长数-14=外周长数 外层边长数2-中空边长数2=实面积数 3 列
8、车过桥问题 车长+桥长=速度时间 车长甲+车长乙=速度和相遇时间 车长甲+车长乙=速度差追及时间 列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题 车长=速度和相遇时间 车长=速度差追及时间 4 年龄问题 差不变原理 5 鸡兔同笼 假设法的解题思想 6 牛吃草问题 原有草量=牛吃速度-草长速度时间 7 平均数问题 8 盈亏问题 分析差量关系 9 和差问题 10 和倍问题 11 差倍问题 12 逆推问题 还原法,从结果入手 13 代换问题 列表消元法 等价条件代换 五、行程问题 1 相遇问题 路程和=速度和相遇时间 2 追及问题 路程差=速度差追及时间 3 流水行船 顺水速度=船速+水速 逆水
9、速度=船速-水速 船速=顺水速度+逆水速度2 水速=顺水速度-逆水速度2 4 多次相遇 线型路程:甲乙共行全程数=相遇次数2-1 环型路程:甲乙共行全程数=相遇次数 其中甲共行路程=单在单个全程所行路程共行全程数 5 环形跑道 6 行程问题中正反比例关系的应用 路程一定,速度和时间成反比;速度一定,路程和时间成正比;时间一定,路程和速度成正比;7 钟面上的追及问题;时针和分针成直线;时针和分针成直角;8 结合分数、工程、和差问题的一些类型;9 行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法;六、计数问题 1 加法原理:分类枚举 2 乘法原理:排列组合 3 容斥原理:总数量=A+B+C-A
10、B+AC+BC+ABC 常用:总数量=A+B-AB 4 抽屉原理:至多至少问题 5 握手问题 在图形计数中应用广泛 角、线段、三角形,长方形、梯形、平行四边形 正方形 七、分数问题 1 量率对应 2 以不变量为“1”3 利润问题 4 浓度问题 倒三角原理 例:5 工程问题 合作问题 水池进出水问题 6 按比例分配 八、方程解题 1 等量关系 相关联量的表示法 例:甲+乙 =100 甲乙=3 x 100-x 3x x 解方程技巧 恒等变形 2 二元一次方程组的求解 代入法、消元法 3 不定方程的分析求解 以系数大者为试值角度 4 不等方程的分析求解 九、找规律 周期性问题 年月日、星期几问题 余
11、数的应用 数列问题 等差数列 通项公式 an=a1+n-1d 求项数:n=11naad 求和:S=1()2naa n 等比数列 求和:S=1(1)1na qq 裴波那契数列 策略问题 抢报 30 放硬币 最值问题 最短线路 a.一个字符阵组的分线读法 b.在格子路线上的最短走法数 最优化问题 a.统筹方法 b.烙饼问题 十、算式谜 1 填充型 2 替代型 3 填运算符号 4 横式变竖式 5 结合数论知识点 十一、数阵问题 1 相等和值问题 2 数列分组 知行列数,求某数 知某数,求行列数 3 幻方 奇阶幻方问题:杨辉法 罗伯法 偶阶幻方问题:双偶阶:对称交换法 单偶阶:同心方阵法 十二、二进制
12、 1 二进制计数法 二进制位值原则 二进制数与十进制数的互相转化 二进制的运算 2 其它进制十六进制 十三、一笔画 1 一笔画定理:一笔画图形中只能有 0 个或两个奇点;两个奇点进必须从一个奇点进,另一个奇点出;2 哈密尔顿圈与哈密尔顿链 3 多笔画定理 笔画数=2奇点数 十四、逻辑推理 1 等价条件的转换 2 列表法 3 对阵图 竞赛问题,涉及体育比赛常识 十五、火柴棒问题 1 移动火柴棒改变图形个数 2 移动火柴棒改变算式,使之成立 十六、智力问题 1 突破思维定势 2 某些特殊情境问题 十七、解题方法 结合杂题的处理 1 代换法 2 消元法 3 倒推法 4 假设法 5 反证法 6 极值法
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