导数的概念、导数公式与应用4972.pdf

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1、导数的概念及运算 知识点一：函数的平均变化率（1）概念：函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值 y 也相应的有增量y=f(x0+x)-f(x0)，其比值叫做函数从到+x 的平均变化率，即。若，则平均变化率可表示为，称为函数从到的平均变化率。注意：事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。是自变量 在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是 0。函数的平均变化率是 0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。（2）平均变化率的几何意义 函数的平均变化率的几何意义是表示连

2、接函数图像上两点割线的斜率。如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线 AB 的斜率。事实上，。作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。知识点二：导数的概念：1导数的定义：对函数，在点处给自变量 x 以增量，函数 y 相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。即：（或）注意：增量可以是正数，也可以是负数；导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。2导函数：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数,称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。注意：函数的导数与在点

3、处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。3导数几何意义：（1）曲线的切线 曲线上一点 P(x0，y0)及其附近一点 Q(x0+x,y0+y)，经过点 P、Q 作曲线的割线 PQ，其倾斜角为当点 Q(x0+x,y0+y)沿曲线无限接近于点 P(x0，y0)，即x0 时，割线 PQ 的极限位置直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线。若切线的倾斜角为，则当x0 时，割线 PQ 斜率的极限，就是切线的斜率。即：。(2)导数的几何意义：函数在点 x0的导数是曲线上点（）处的切线的斜率。注意：若曲线在点处的导数不存在，但有切线，则切线与 轴垂直。，切线与轴正向夹角为锐角

4、；，切线与轴正向夹角为钝角；,切线与 轴平行。(3)曲线的切线方程 如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为：。4瞬时速度：物体运动的速度等于位移与时间的比，而非匀速直线运动中这个比值是变化的，如何了解非匀速直线运动中每一时刻的运动快慢程度，我们采用瞬时速度这一概念。如果物体的运动规律满足 s=s(t)(位移公式)，那么物体在时刻 t 的瞬时速度 v，就是物体t到t+t这 段 时 间 内，当 t 0时 平 均 速 度 的 极 限，即。如果把函数看作是物体的位移公式），导数表示运动物体在时刻的瞬时速度。规律方法指导 1如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法：作差：求出和 作

5、商：对所求得的差作商，即。注意：（1），式子中、的值可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零。若函数为常数函数时，。（2）在式子中，与是相对应的“增量”，即在时，。（3）在式子中，当取定值，取不同的数值时，函数的平均变化率不同；当取定值，取不同的数值时，函数的平均变化率也不一样。2如何求函数在一点处的导数 （1）利用导数定义求函数在一点处的导数，通常用“三步法”。计算函数的增量：；求平均变化率：；取极限得导数：。（2）利用基本初等函数的导数公式求初等函数的导数。3导数的几何意义 设函数在点的导数是，则表示曲线在点（）处的切线的斜率。设是位移关于时间的函数，则表示物体在时刻的瞬时速度；设是速度关

6、于时间的函数，则表示物体在时刻的加速度；4利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤 求出在处的导数；利用直线方程的点斜式得切线方程为。类型一：求函数的平均变化率 1、求在到之间的平均变化率，并求，时平均变化率的值.思路点拨：求函数的平均变化率，要紧扣定义式进行操作.举一反三：【变式 1】求函数 y=5x2+6 在区间2，2+内的平均变化率。【变式 2】已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：（1）1，3；（2）1，2；（3）1，；（4）1，.【变式 3】自由落体运动的运动方程为，计算 t 从 3s 到，各段内的平均速度（位移 s 的单位为 m）。【变式 4】过曲线上两点和作曲线的割线，求出

7、当时割线的斜率.类型二：利用定义求导数 2、用导数的定义，求函数在 x=1 处的导数。举一反三：【变式 1】已知函数 （1）求函数在 x=4 处的导数.（2）求曲线上一点处的切线方程。【变式 2】利用导数的定义求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）。3、求曲线 y=x3+2x 在 x=1 处的切线方程.思路点拨：从函数在一点处的导数定义可求得函数 y=x3+2x 在 x=1 处的导数值，再由导数的几何意义，得所求切线的斜率，将 x=1 代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程.举一反三：【变式】在曲线 y=x2上过哪一点的切线：（1）平行于直线 y=4x5；（2）垂直于直线 2x6y+

8、5=0；（3）与 x 轴成 135的倾斜角。知识点三：常见基本函数的导数公式 （1）（C 为常数），（2）（n 为有理数），（3），（4），（5），（6），（7），（8），知识点四：函数四则运算求导法则 设，均可导 （1）和差的导数：（2）积的导数：（3）商的导数：（）知识点五：复合函数的求导法则 或 即复合函数对自变量 的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量 对自变量 的导数。注意：选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。规律方法指导 1求复合函数的导数的一般步骤 适当选定中间变量，正确分解复合关系；分步

9、求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；把中间变量代回原自变量（一般是 x）的函数。整个过程可简记为分解求导回代，熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。类型一：利用公式及运算法则求导数 1、求下列函数的导数：（1）；（2）（3）；（4）y=2x33x2+5x4 举一反三：【变式】求下列函数的导数：（1）；（2）（3）y=6x34x2+9x6 2、求下列各函数的导函数 （1）；（2）y=x2sinx;（3）y=；（4）y=举一反三：【变式 1】函数在处的导数等于()A1 B2 C3 D4 【变式 2】下列函数的导数 （1）；（2）【变式 3】求下列函数的导数

10、.（1）；（2）；（3）.类型四：复合函数的求导 3、求下列函数导数.（1）；（2）；（3）；（4）.举一反三：【变式 1】求下列函数的导数：（1）；（2）（3）y=ln（x）；（4）类型五：求曲线的切线方程 4、求曲线 y=x3+2x 在 x=1 处的切线方程.举一反三：【变式 1】求曲线在点处的切线的斜率，并写出切线方程.【变式 2】已知，是曲线上的两点，则与直线平行的曲线的切线方程是_.【变式 3】已知曲线.（1）求曲线上横坐标为 1 的点处的切线的方程；（2）第（1）小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点？【变式 4】如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程 5、已知直线 为曲线在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且.（1）求直线的方程；（2）求由直线、和轴所围成的三角形的面积.举一反三：【变式 1】曲线在点（1，1）处的切线与 轴、直线所围成的三角形的面积为_.【变式 2】曲线在（0，1）处的切线与 的距离为，求 的方程.