海淀区2021-2022学年第一学期期末高三数学试题与答案12166.pdf

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1、海淀区 2021-2022 学年第一学期期末试题 高三数学 2022.01 第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合 1,0,1,2,|(2)0ABx x x，则AB (A)(B)0 (C)1 (D)0 1，（2）抛物线22xy的准线方程为 (A)1x (B)1y (C)12x (D)12y （3）复数52i的虚部为 (A)2 (B)2 (C)1 (D)1（4）在421()xx的展开式中，x的系数为 (A)4 (B)4 (C)6 (D)6（5）已知角的终边在第三象限，且tan2，则s

2、incos (A)1 (B)1 (C)55 (D)55（6）已知na是等差数列，nS是其前 n 项和.则“43aa”是“对于任意*Nn且3n，3nSS”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（7）若函数sin()6yx在0,m上单调递增，则m的最大值为(A)13 (B)12 (C)23 (D)1（8）已知圆C过点(1,2),(1,0)AB，则圆心C到原点距离的最小值为 (A)12 (B)22 (C)1 (D)2（9）如图，,A B是两个形状相同的杯子，且B杯高度是A杯高度的34，则B杯容积与A杯容积之比最接近的是 （A）1:3 （B）2:5（

3、C）3:5 （D）3:4 AB（10）已知函数()2xf x，()logag xx.若对于()f x图象上的任意一点P，在()g x的图象上总存在一点Q，满足OPOQ，且|OPOQ，则实数a (A)14 (B)12 (C)2 (D)4 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。（11）双曲线2214yx 的渐近线方程为_.（12）已知甲盒中有 3 个白球，2 个黑球；乙盒中有 1 个白球，2 个黑球.现从这 8 个球中随机选取一球，该球是白球的概率是_,若选出的球是白球，则该球选自甲盒的概率是_.（13）已知函数()f x的值域为 3,3，()f

4、 x的图象向右平移 1 个单位后所得的图象与()f x的图象重合，写出符合上述条件的一个函数()f x的解析式：_.（14）若24AB ACAB，且|1AP，则|AB _,CP AB的最大值为 .（15）如图，在正方体1111ABCDABC D中，E为棱11BC的中点.动点P沿着棱DC从点D向点C移动，对于下列三个结论：存在点P，使得1PAPE；1PAE的面积越来越小；四面体11APB E的体积不变.所有正确的结论的序号是_.三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）（本小题 14 分）在ABC中，2220bcabc.（）求A的大小；（）再从条件、条

5、件、条件这三个条件中选择两个作为已知，使得ABC存B1C1CD1A1ADBEP在，求ABC的面积.条件：1cos3B；条件：2sin2C；条件：3a.（17）（本小题 14 分）如图，已知长方体1111ABCDABC D中，2ABAD，11AA.E为11AD中点，平面1CB E交棱1DD于点F.（）求证：1BCEF；（）求二面角11CB EC的余弦值，并求点A到平面1CB E的距离.（18）（本小题 14 分）某班组织冬奥知识竞赛活动，规定首轮比赛需要从 6 道备选题中随机抽取 3 道题目进行作答.假设在 6 道备选题中，甲正确完成每道题的概率都是23且每道题正确完成与否互不影响，乙能正确完成

6、其中的 4 道题且另外 2 道题不能完成.（）求甲至少正确完成其中 2 道题的概率；（）设随机变量 X 表示乙正确完成题目的个数，求 X 的分布列及期望EX；（）现规定至少正确完成其中 2 道题才能进入下一轮比赛，请你根据所学概率知识进行预测，谁进入下一轮比赛的可能性较大，并说明理由.（19）（本小题 14 分）已知点(0,1)A在椭圆C：22213xyb上.（）求椭圆C的方程和离心率；（）设直线:(1)l yk x（其中1k）与椭圆C交于不同两点,E F，直线AE，FEDD1A1C1BCAB1AF分别交直线3x 于点M,N.当AMN的面积为3 3时，求k的值.（20）（本小题 15 分）函数

7、()esin2xf xaxx.（）求曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程；（）当0a时，求函数()f x在0,1上的最小值；（）直接写出a的一个值，使()f xa恒成立，并证明.（21）（本小题 14 分）已知 n 行 n 列(2)n 的数表111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa中，对任意的1,2,in，1,2,jn，都有0,1ija.若当0sta 时，总有11nnitsjijaan，则称数表 A 为典型表，此时记11nnnijijSa.（）若数表001100110B，11001100001 1001 1C，请直接写出 B，C 是否是典型表；（）当6n时，是否存在典

8、型表 A 使得617S，若存在，请写出一个 A；若不存在，请说明理由；（）求nS的最小值.海淀区 20212022 学年第一学期期末试题 高三数学参考答案 2022.01 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案 C D C A C B C B B B 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。题号（11）（12）（13）（14）（15）答案 2,2yx yx 12，34 3sin(2)yx或3cos(2)yx或其它 2,2 三、解答题共 6 小题，共 85 分。（16）（本小题共 14 分）解：

9、（）由2220bcabc,可得2221cos222bcabcAbcbc 因为A为三角形内角，所以120A.（）选择条件.由（）知C为锐角，又因为2sin2C，所以45C，所以180(12045)15B，所以62sinsin(4530)sin45 cos30cos45 sin304B.由正弦定理可得sinsinacAC，所以23sin22sin32aCcA，所以ABC的面积为116233sin322244acB.说明：最后两步也可以如下计算：由正弦定理可得sinsinabAB，所以623sin624sin232aBbA，所以ABC的面积为1162233sin322224abC.（17）（本小题

10、14 分）解：（）证法 1：因为长方体1111ABCDABC D中，平面11AA D D平面11BBCC，平面11AA D D平面1BCEEF，平面11BBCC平面11BCEBC，所以1BCEF.证法 2：因为长方体1111ABCDABC D中，平面11AA D D平面11BBC C，1BC 平面11BBC C，所以1BC平面11ADD A，因为1BC 平面1CB E，平面11ADD A平面1CB E=EF，所以1BCEF.（）因为AB，AD，1AA两两垂直，所以以点A为坐标原点，AB，AD，1AA所 在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角 坐标系如图所示：-5 分 则0,0,0A，2,2,

11、0C，12,0,1B，0,1,1E，10,2,1BC，1=2,1,0B E，12,0,1AB 平面11B EC的法向量为10,0,1n，设平面1CB E的法向量为2,nx y z，则212100n BCn B E，可得2020yzxy，令1x，则2y，4z，所以21,2,4n，所以121222221244 21cos,211124n nn nn n.又因为二面角11CB EC为锐角，所以，二面角11CB EC的余弦值为4 2121.设点A到平面1CB E的距离为d，则122242 21721AB ndn.（18）（本小题 14 分）FEDD1A1C1BCAB1FEDD1A1C1B1ACBxyz

12、解：（）法 1：设甲在首轮比赛中正确完成的题数为，易知23,3B，所以(2)(2)(3)PPP 3232332482039272722()(1)33CC.法 2：1220(2)1(0)(1)127927PPP .（）由题意得X的取值范围是1,2,3 124236C C1(1)C5P X，214236C C3(2)C5P X，304236C C1(3)C5P X，所以X的分布列为 X 1 2 3 P 15 35 15 所以131()1232555E X （）从正确完成实验操作的题数的均值方面分析()()2EE X，两人水平相当；因为2221312()(12)(22)(32)5555D X，222

13、()31333D，所以，从正确完成实验操作的题数的方差方面分析()()D XD,乙的水平更稳定；因为314(2)555P X，4820(2)92727P所以(2)(2)P XP.从至少正确完成 2 题的概率方面分析，乙通过的可能性更大.（19）（本小题 14 分）解：（）因为点(0,1)A在椭圆C：22213xyb上，所以将点(0,1)A代入椭圆方程，可得20113b，所以21b.所以椭圆C的方程为2213xy.因为2223 12cab，所以椭圆C的离心率为2633.（）由22(1)13yk xxy可得 2222(31)63(1)0kxk xk.42223612(31)(1)24120kkkk

14、 恒成立，设11(,)E x y，22(,)F x y，则2122631kxxk，21223(1)31kx xk.直线 AE 的方程为1111yyxx，令3x，得点 M 的纵坐标为113(1)1Myyx，同理可得点 N 的纵坐标为223(1)1Nyyx，所以1212113MNyyMNyyxx211212(1)(1)3xyx yx x 211231kxxx x 212121231()4kxxx xx x 222222263(1)31()431313(1)31kkkkkkk 22 3 211kk.因为AMN的面积13(30)3 322AMNSMNMN，所以2 3MN，即22111kk，化简得220

15、kk，解得0k 或2k.所以k的值为 0 或 2.（20）（本小题 15 分）解：（）因为()esin2xf xaxx，所以(0)fa且()ecos2xfxax，所以(0)121faa，所以曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程为(1)(0)yaax，即(1)yaxa.（）当0a，0,1x时,因为()ecos202cos0 xfxaxx,所以()f x在0,1上单调递增，所以()f x在0,1上的最小值为(0)fa.（）取1a，以下证明()esin21xf xxx 恒成立.令()esin21xg xxx，即证()0g x 恒成立.（1）当(,0 x 时，有e1x,cos 1,1x，所以

16、()ecos20 xg xx，所以()g x在(,0上单调递减，所以()(0)0g xg在(,0上恒成立.（2）当(0,)x时，令()()ecos2xG xg xx.因为e1x,sin(0,1x，所以()esin0 xG xx，所以()()ecos2xG xg xx在(0,)上单调递增，所以()(0)0g xg在(0,)上恒成立.所以()g x在(0,)上单调递增，所以()(0)0g xg在(0,)上恒成立.综上，()0g x 恒成立，所以()f xa恒成立.（21）（本小题 14 分）解：（）B 不是典型表，C 是典型表；（）方法 1.6S不可能等于 17.以下用反证法进行证明.证明：假设6

17、17S，那么典型表6 6()ija中有 19 个 0，在六行中至少有一行 0 的个数不少于 4，不妨设此行为第一行，且不妨设111213140aaaa.此时前四列中，每一列的其余位置中都至少有 4 个 1，所以前四列中至少有 16 个 1，所以15a与16a中至多有一个 1，即15a与16a中至少有一个为 0，不妨设150a，则第五列的其余位置中至少又有 5 个 1，所以前五列中已经有不少于 21 个 1 了，与617S 矛盾！所以假设不成立.所以6S不可能等于 17.（）方法 2.6S不可能等于 17，以下证明618S.证明：因为当典型表6 6()ija中 0 的个数不超过 18 时，那么

18、1 的个数不少于 18，所以618S；以下只需证明当典型表6 6()ija中 0 的个数大于 18 时，也有618S 成立.当典型表6 6()ija中 0 的个数大于 18 时，在六行中至少有一行 0 的个数不少于 4，不妨设此行为第一行.（1）若第一行 0 的个数为 6，则6611115jijiaa，不合题意；（2）若第一行 0 的个数为 5，不妨设1112150aaa，161a，此时前 5 列中，每一列的其余位置都只能是 1，所以618S.（3）若第一行 0 的个数为 4，不妨设111213140aaaa，15161aa，此时前4 列中，每一列的其余位置中都至少有 4 个是 1，所以618

19、S.综上，618S.所以6S不可能等于 17.（）方法 1 在水平方向的 n 行和竖直方向的 n 列中，一定存在某一行或某一列中含有的 1 的个数最少，不妨设第一行中的 1 最少，并设其个数为k，其中0,1,2,3,kn.且不妨设第一行中前 k 个为 1，后()nk个为 0.对于第一行中为 1 的这 k 列中，因为每一列都至少有 k 个 1，所以共有2k个 1；对于第一行中为 0 的()nk列中，每一列中都至少有()nk个 1，所以222222()222()22nnnSknkknknk.以下记22()2()22nnf kk，（1）当 n 为偶数时，则222()2()2222nnnnnSf k对

20、任意的k恒成立.而且nS可以取到22n.例如：当“12ni 且12nj”和“12nin 且12njn ”时，1ija，其它位置为 0，此时22nnS.（2）当 n 为奇数时，则22211()2()2222nnnnnSf k对任意的k恒成立.而且nS可以取到212n.例如：当“112ni且112nj”和“12nin 且12njn”时，1ija，其它位置为 0，此时2+12nnS.综上，当 n 为偶数时，nS的最小值为22n；当 n 为奇数时，nS的最小值为212n.（）方法 2（整体分析，算两次）设典型表 A 的第 i 列有ic个 0，（1,2,3,in），A 的第 j 列有jr个 0，（1,2

21、,3,jn），则典型表 A 中 0 的总个数为11nnijijNcr.由定义可得 11()()nniijjijc ncr nrnN，所以2211nnijijnNcnNrnN，所以2211nnijijcrnN.又因为22211()niniiicNcnn，22211()ninijirNrnn，所以22NnNn，所以22nN，所以22nnS.（1）当 n 为偶数时，nS可以取到22n.例如：当“12ni 且12nj”和“12nin 且12njn ”时，1ija，其它位置为 0，此时22nnS.（2）当 n 为奇数时，212nnS，而且nS可以取到2+12n.例如：当“112ni 且112nj ”和“

22、12nin 且12njn ”时，1ija，其它位置为 0，此时2+12nnS.综上，当 n 为偶数时，nS的最小值为22n；当 n 为奇数时，nS的最小值为212n.（）方法 3 在水平方向的 n 行和竖直方向的 n 列中，一定存在某一行或某一列中含有的的个数最少，不妨设第一行中的 1 最少，并设其个数为k，其中0,1,2,3,kn.且不妨设第一行中前 k 个为 1，后()nk个为 0.（1）当 n 为偶数时，若2nk，则222nnnSn；若2nk，对于第一行中为 1 的这 k 列中，因为每一列都至少有 k 个 1，所以共有2k 个 1；对于第一行中为 0 的()nk列中，每一列中都至少有()

23、nk个 1，所以22222()2()222nnnnSknkk.而且nS可以取到22n.例如：当“12ni 且12nj”和“12nin 且12njn ”时，1ija，其它位置为 0，此时22nnS.（2）当 n 为奇数时，若12nk，则21122nnnSn；若12nk，对于第一行中为 1 的这 k 列中，因为每一列都至少有 k 个 1，所以共有2k个 1；对于第一行中为 0 的()nk列中，每一列中都至少有()nk个 1，所以222221()222nnSknkknkn.而且nS可以取到2+12n.例如：当“112ni且112nj”和“12nin 且12njn”时，1ija，其它位置为 0，此时2+12nnS.综上，当 n 为偶数时，nS的最小值为22n；当 n 为奇数时，nS的最小值为212n.