2013-2014学年高一数学人教B版必修一学案2.2一次函数和二次函数23225.pdf

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1、2.2 一次函数和二次函数 1 一次函数的性质与图象(1)一次函数的概念 函数y kx b(k 0)叫做一次函数，又叫做线性函数；它的定义域为R，值域为R.一次函数y kx b(k 0)的图象是直线，其中k 叫做该直线的斜率，b 叫做该直线在y 轴上的截距 对一次函数的概念要注意以下三点：k 0.若 k 0，则函数就成为常数函数 x 的最高次项次数为1.否则，也不是一次函数 b 为任意常数(2)一次函数的性质 一次函数 y kx b(k 0)分类 k 0 k 0 图象 定义域 R R 一次函数 y kx b(k 0)值域 R R 单调性 在(，)上递增 在(，)上递减 奇偶性 b 0 时为奇函

2、数，b 0 时既不是奇函数也不是偶函数 特殊点 与 x 轴的交点为bk，0，与y 轴的交点为(0，b)斜率 kyxy2 y1x2 x1(x2 x1)(3)图象的画法 因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要描出两个点，再连成直线即可(4)图象的特点 正比例函数y kx 的图象是经过原点(0,0)的一条直线 一次函数y kx b 的图象是经过y 轴上点(0，b)的一条直线(5)画法技巧 画正比例函数y kx 的图象，通常取(0,0)，(1，k)两点，然后连线 画一次函数y kx b 的图象，通常取它与坐标轴的交点(0，b)，bk，0，然后连线原因是上述两点在坐标轴上，描点较准确但由于b

3、k多数情况下是分数，故在描点时，我们也可以取x 和 y 都是整数的点 谈重点 对截距 b 含义的理解(1)b 的取值范围：b R.(2)b 的几何意义：直线 ykxb 与 y 轴的交点的纵坐标(3)点(0，b)是直线 ykxb 与 y 轴的交点当 b0 时，此交点在 y 轴的正半轴上；当 b0时，此交点在 y 轴的负半轴上；当 b0 时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数(4)截距与距离是两个不同的概念截距可正可负可以为零，但距离不可能为负【例 11】一次函数y kx k，若y 随 x 的增大而增大，则它的图象过()A第一、二、三象限 B第一、三、四象限 C第一、二、四象限 D第二、三

4、、四象限 解析：由题意知 k0，所以k0，故 ykxk 的图象过第一、三、四象限 答案：B【例 12】函数的解析式为x 2y 7 0，则其对应直线的斜率与纵截距分别为()A1 7,2 2 B 1，7 C 1，72 D1 7,2 2 解析：x2y70，17=22yx，斜率1=2k，纵截距7=2b，故选 A.答案：A【例 13】在同一直角坐标系内画出一次函数y 2x 1 和 y2x 1 的图象 解：列表 x 0 0.5 y 1 0 x 0 0.5 y 1 0 描点(0,1)，(0.5,0)，(0,1)，(0.5,0)连线，即得 y2x1 和 y2x1 的图象，如图 【例 14】已知一次函数的图象经

5、过A(3,5)和 B(4，9)两点，求该一次函数的解析式 分析：一次函数的图象是一条直线，可设解析式为 ykxb(k 0)，又因为其图象过 A，B两点，所以 A，B 两点的坐标适合方程，由此解出 k 和 b.解：设这个一次函数的解析式为 ykxb(k 0)当 x3 时，y5；当 x4 时，y9，3=5,4=9.kbkb ，得 7k14，k2.把 k2 代入，得 b1.这个一次函数的解析式为 y2x1.2二次函数的定义 函数y ax2 bx c(a 0)叫做二次函数，它的定义域是R.特别地，当b c 0，则函数变为 y ax2(a 0)点技巧 学习二次函数的定义应注意的两点(1)对二次函数的定义

6、，要特别注意 a 0 这个条件函数 yax2bxc 只有在 a 0 的条件下才是二次函数，且 x 的最高次数是 2，b，c 可取任意实数(2)任何一个二次函数的解析式都可化成 yax2bxc(a 0)的形式，因此把 yax2bxc(a 0)叫做二次函数的一般形式 3二次函数的图象变换及参数 a，b，c，h，k 对其图象的影响(1)函数 yx2和 yax2(a0)的图象之间的关系 二次函数 yax2(a0)的图象可由 yx2的图象各点的纵坐标变为原来的 a 倍得到，参数 a的取值不同，函数及其图象也有区别，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小当 a0 时，二次函数 yax2的图

7、象开口向上，当 a0 时，图象开口向下而且，当 a0 时，a 的值越大，函数 yax2的图象开口越小，a 的值越小，函数 yax2的图象开口越大；当 a0 时，a 的值越小，函数 yax2的图象开口越小，a 的值越大，函数 yax2图象开口越大也就是说，|a|越大，抛物线的开口越小；反之，|a|越小，抛物线的开口越大(2)函数 yax2和 ya(xh)2k(a0)的图象之间的关系 函数 ya(xh)2k(a0)的图象可以由函数 yax2(a0)的图象向左(h0)或向右(h0)平移|h|个单位长度，再向上(k0)或向下(k0)平移|k|个单位长度得到h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左

8、移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k 负下移”可简记为“左加右减，上加下减”由于只进行了图象的平移变换，所以函数 ya(xh)2k(a0)的图象与函数 yax2(a0)的图象形状相同，只是位置不同(3)函数 yax2和 yax2bxc(a0)的图象之间的关系 二次函数 yax2bxc(a0)通过配方可以得到其恒等形式 ya(xh)2k(a0)，从而可以知道，由 yax2的图象如何平移就得到 yax2bxc(a0)的图象在二次函数 yax2bxc(a0)，即 yaxb2a24acb24a(a0)中，二次项系数 a 决定着函数图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大

9、小；b和a共同决定抛物线的对称轴的位置，抛物线的对称轴是直线xb2a，它是一条平行于 y 轴或与 y 轴重合的直线；a，b，c 共同决定抛物线顶点b2a，4acb24a的位置，c 的大小决定抛物线 yax2bxc 与 y 轴交点的位置，当 c0 时，抛物线经过坐标原点，当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴，当 c0 时，交点在 y 轴的负半轴【例 31】(1)由 y2x2的图象，如何得到 y2(x1)23 的图象？(2)把 y2x2的图象，向右平移 3 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度，能得到哪个函数的图象？(3)将函数y4x22x1 写成 ya(xh)2k 的形式，并

10、说明它的图象是由 y4x2的图象经过怎样的变换得到的？解：(1)把y2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度就得到y2(x1)23 的图象(2)把y2x2的图象，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，就得到函数y2(x3)24，即 y2x212x22 的图象(3)y4x22x1 21412xx 21114121616xx 21141416x 213444x.把 y4x2的图象向左平移14个单位长度，再向上平移34个单位长度，就可得到函数 y4x22x1 的图象【例 32】(1)在同一坐标系中作出下列函数的图象：yx2；yx22；y2x24x.(2)分析如何把 yx2的图

11、象变换成 y2x24x 的图象 分析：解答本题可就每个函数列表、描点连线，作出相应图象，然后利用图象以及二次函数的平移变换规律分析 yx2与 y2x24x 的图象之间的关系 解：(1)列表：x 3 2 1 0 1 2 3 yx2 9 4 1 0 1 4 9 yx22 7 2 1 2 1 2 7 y2x24x 30 16 6 0 2 0 6 描点、连线即得相应函数的图象，如图所示 (2)y2x24x 2(x22x)2(x22x11)2(x1)22.由 yx2到 y2x24x 的变化过程如下 方法一：先把 yx2的图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 2 倍得到 y2x2的图象，然后把 y2x

12、2的图象向下平移 2 个单位长度得到 y2x22 的图象，最后把 y2x22 的图象向右平移 1 个单位长度得到 y2(x1)22，即 y2x24x 的图象 方法二：先把yx2的图象向右平移1个单位长度得到y(x1)2的图象，然后把y(x1)2的图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 2 倍得到 y2(x1)2的图象，最后把 y2(x1)2的图象向下平移 2 个单位长度便可得到 y2(x1)22，即 y2x24x 的图象 析规律 二次函数图象的变换规律 所有二次函数的图象均可以由函数 yx2的图象经过变换得到，变换前，先将二次函数的解析式化为顶点式，再确定变换的步骤常用的变换步骤如下：yx2

13、-横坐标不变纵坐标变为原来的a倍yax2-k0，上移k个单位长度k0，左移h个单位长度h02ba，b0.abc0.因此 A 是错误的 B 中，当 x1 时，y0(抛物线上横坐标为1 的点在 x 轴下方)，abc0(把 x1 代入函数得 ya(1)2b(1)cabc)，bac.因此 B 是错误的 C 中，抛物线上横坐标为 1 的点在 x 轴上方，即 y0，又当 x1 时，函数 ya12b1cabc，abc0.因此 C 是错误的 D 中，由上得 bac.又=12ba，1=2ab.2c3b.因此 D 正确 答案：D【例 52】已知二次函数的图象的顶点坐标是(1，3)，且经过点 P(2,0)，求这个函

14、数的解析式 分析：本题已知图象上两点的坐标(1，3)和(2,0)，若不考虑已知点的特点，设二次函数的一般式 yax2bxc(a0)似乎差一个条件，但注意到点(1，3)是抛物线的顶点，再利用对称轴方程，就可以列出关于 a，b，c 的三元一次方程组，从而得解；根据顶点坐标是(1，3)，也可设二次函数的顶点式 ya(x1)23(a0)，只需将点 P(2,0)的坐标代入，即可求出 a；若看到 P(2,0)点是图象与 x 轴的交点，利用对称性即可求出图象与 x 轴的另一个交点，设二次函数的交点式 ya(xx1)(xx2)也能求解 解：(方法 1)设所求函数的解析式为 yax2bxc(a0)，由题意，得=

15、3,42=0,=1,2abcabcba 解得=3,=6,=0.abc 所求函数的解析式为 y3x26x.(方法 2)设所求函数的解析式为 ya(x1)23(a0)，由图象经过点 P(2,0)，得 a(21)230，解得 a3.所求函数的解析式为 y3(x1)23，即 y3x26x.(方法 3)二次函数的图象的顶点坐标为(1，3)，其对称轴为直线 x1.又 图象与 x 轴的一个交点坐标为 P(2,0)，由对称性可知，图象与 x 轴的另一个交点坐标为(0,0)可设所求函数的解析式为 ya(x0)(x2)(a 0)图象的顶点坐标是(1，3)，a(10)(12)3，解得 a3.所求函数的解析式为 y3

16、x(x2)，即 y3x26x.析规律 由二次函数的图象与 x 轴的交点求解析式 若二次函数 yf(x)的图象与 x 轴的两个交点坐标为(x1,0)和(x2,0)，则其对称轴方程为 xx1x22，由此可以看出，已知二次函数的对称轴及其与 x 轴的一个交点坐标，即可求出另一个交点的坐标 6 二次函数图象的草图画法 画二次函数的图象时，重点体现抛物线的特征“三点一线一开口”“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向根据这些特征，在坐标系中可快速画出抛物线的草图，使画图的操作更简便，使图象更精确【例

17、 6】画出函数y 2x2 4x 6 的草图 解：y2x24x6 2(x22x)6 2(x22x11)6 2(x1)216 2(x1)28.函数图象的开口向上，顶点坐标为(1，8)，对称轴为直线 x1.令 y0，得 2x24x60，即 x22x30，解得 x1 或 x3，故函数图象与 x 轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)画法步骤：描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，8)，(1，0)，(3,0)，画出直线 x1；连线：用光滑的曲线连点(1，8)，(1，0)，(3,0)，在连线的过程中，要保持关于直线x1 对称，即得函数 y2x24x6 的草图，如图所示 7 待定系数法 一般地，在求一个函

18、数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法 待定系数法求解析式的基本步骤如下：(1)设出含有待定系数的解析式；(2)根据恒等条件，列出含待定系数的方程或方程组；(3)解方程或方程组求出待定系数，从而使问题得到解决【例 7】若 f(x)为一次函数，且满足ff(x)1 2x，则f(x)的解析式为_ 解析：已知 f(x)为一次函数，可以使用待定系数法 设 f(x)kxb(k 0)，则 ff(x)f(kxb)k(kxb)bk2xkbb，利用对应系数相等即可求得=2k，=21b

19、 或=2k，=21b.答案：()=221f xx或()=221f xx 8给定区间上二次函数的最值或值域的求法 求二次函数的最值或值域，基本的方法是配方法，当限定在某个闭区间上时，关键是确定函数图象的开口方向和对称轴与所给区间的相对位置，结合函数图象确定该函数的单调性、最大值或最小值是在端点处取得还是在顶点处取得 一般地，二次函数 f(x)ax2bxc(a0)在闭区间p，q上的最值有下列四种情况：(1)当b2ap，即对称轴在区间p，q的左边时，画出草图如图，从图象上易得 f(x)在p，q上是增函数，则f(x)minf(p)，f(x)maxf(q)(2)当pb2apq2，即对称轴在区间p，q的左

20、端点与区间中点之间时，画出草图如图.从图象上易得 f(x)在p，q上的最值情况是 f(x)minfb2a4acb24a，f(x)maxf(q)(3)当pq2b2aq，即对称轴在区间p，q的中点与右端点之间时，画出草图如图.从图象上易得 f(x)在p，q上的最值情况是 f(x)minfb2a4acb24a，f(x)maxf(p)(4)当b2aq，即对称轴在区间p，q的右边时，画出草图如图.从图象上易得 f(x)在p，q上是减函数，则 f(x)minf(q)，f(x)maxf(p)【例 8】已知函数 f(x)x22ax2，x5,5(1)当 a1 时，求函数 f(x)的最大值和最小值；(2)用 a

21、表示出函数在5,5上的最值；(3)求实数 a 的取值范围，使 yf(x)在5,5上是单调函数 分析：f(x)x22ax2(xa)22a2.(1)当 a1 时，由于对称轴 x1 在区间5,5内，则由图象知函数 f(x)的最大值是 f(5)，最小值是 f(1)；(2)中对称轴 xa，要根据对称轴与区间5,5的相对位置来讨论最值，因此要对对称轴的位置分类讨论；(3)切入点是单调函数，结合图象可知对称轴不能在区间5,5内部，因此也要讨论对称轴的位置 解：(1)当 a1 时，f(x)x22x2(x1)21，x5,5，当 x1 时，f(x)取得最小值，即 f(x)minf(1)1.当 x5 时，f(x)取

22、得最大值，即 f(x)maxf(5)(51)2137.所以函数 f(x)的最大值为 37，最小值为 1.(2)函数 yf(x)(xa)22a2图象的对称轴为 xa.当a 5，即 a 5 时，函数在区间5,5上是增函数，所以 f(x)maxf(5)2710a，f(x)minf(5)2710a；当5a 0，即 0 a5 时，f(x)maxf(5)2710a，f(x)minf(a)2a2；当 0a 5，即5 a0 时，f(x)maxf(5)2710a，f(x)minf(a)2a2；当a5，即 a5 时，函数在区间5,5上是减函数，所以 f(x)minf(5)2710a，f(x)maxf(5)2710

23、a.故当 a 5 时，f(x)max2710a，f(x)min2710a；当 0 a5 时，f(x)max2710a，f(x)min2a2；当5 a0 时，f(x)max2710a，f(x)min2a2；当 a5 时，f(x)max2710a，f(x)min2710a.(3)由(2)可知若函数 f(x)在区间5,5上是单调函数，则有 a 5 或 a 5.释疑点 如何在给定区间求二次函数的最值或值域 当函数的解析式中含有参数或给定的区间不固定时，求二次函数在此区间上的最值，应按开口方向或对称轴与所给区间的相对位置进行正确合理的讨论，一要考虑二次函数的对称轴在区间的某侧还是在区间内，从而确定函数的

24、单调区间；当对称轴在区间内部时，还要考虑区间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大 9 一元二次方程与二次函数的关系 一元二次方程与二次函数的关系是方程与函数关系的特例，是研究函数与方程关系的典范 一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的根就是相应的二次函数y ax2 bx c 的函数值为0 时的自变量x 的值，从图象上看，就是抛物线与x 轴交点的横坐标 当一元二次方程的判别式 0时，方程有两个不相等的实数根，此时对应的二次函数的图象与x 轴有两个不同的交点，其

25、解析式又可写成两根式的形式：y a(x x1)(x x2)，抛物线与x轴的两个交点间的距离|x2 x1|(x2 x1)2(x1 x2)2 4x1x2ba24cab2 4ac|a|.当 0 时，方程有两个相等的实数根，此时对应的二次函数的图象与x 轴只有一个公共点；当0 时，方程没有实数根，此时对应的二次函数的图象与x 轴没有交点当a 0 时，它们之间的关系如下图所示：0 0 0 求解一元二次方程根的问题，一般使用求根公式或根与系数的关系，但有些问题用这种方法解决比较繁琐，甚至无法求解，此时若借助于二次函数，并借助于图象，则问题会转化为易于理解和表达的问题例如，实数a 为何值时，关于x 的一元二

26、次方程x2(a 1)x 2a 0 有一根小于1，另一根大于1?显然，如果使用根与系数的关系或求根公式求解非常困难，我们可以利用相应的二次函数的图象解决该问题设f(x)x2(a 1)x 2a，画出该函数的图象(如下图)，方程的两根中一根小于1，另一根大于1，等价于函数的图象与x 轴的一个交点在1 的左侧，另一个交点在1的右侧，只需 f(1)0，f(1)0，由此可解得a23.通过上述实例，我们可以看到，用函数的思想解决一元二次方程根的分布问题，运用了数形结合的思想，使难以处理的问题转化的非常直观简单一般情况下，用二次函数的图象处理一元二次方程根的分布问题，要从多个方面考虑使结论成立的等价条件，如判

27、别式、对称轴、函数值的正负大小等【例91】已知f(x)1(x a)(x b)，并且m，n是方程f(x)0的两根，则实数a，b，m，n 的大小关系可能是()A m a b n B a m n b C a m b n D m a n b 解析：由 f(x)1(xa)(xb)可知，二次函数 f(x)的开口向下，且 f(a)f(b)10.m，n 是方程 f(x)0 的两根，f(m)f(n)0.由 f(x)的图象可知，实数 a，b，m，n 的关系可能是 mabn(如图所示)答案：A 点技巧 由二次函数图象比较参数大小 比较实数 a，b，m，n 的大小，可转化为比较四个函数值 f(a)，f(b)，f(m)

28、，f(n)的关系根据条件可容易画出函数的图象并得到 a，b，m，n 四个变量在 x 轴上的位置，从而写出 a，b，m，n 的大小关系【例 92】若方程x232x k 在(1,1)上有实根，求k 的取值范围 分析：显然利用求根公式求解不可取，我们可以利用相应二次函数的图象解决该问题，或将其转化为二次函数 kx232x 在区间(1,1)上的值域问题 解：(方法 1)设 f(x)x232xk，函数 f(x)的图象开口向上，对称轴为直线3=4x.若方程 x232xk 在(1,1)上有两个实根，则函数 f(x)的图象如图甲所示，故2223()40,23(1)110,23(1)(1)(1)0,2kfkfk

29、 即9,161,25,2kkk 91162k.若方程 x232xk 在(1,1)上有一实根，则函数 f(x)的图象如图乙、丙所示，故(1)0,(1)0,ff即223(1)(1)0,23110,2kk 5,21,2kk 1522k.综上所述，实数 k 的取值范围是95,16 2.(方法 2)方程23=2xx k可以看作是 k 关于 x 的二次函数23=2k xx，配方得239=416kx，其对称轴方程为3=4x，函数在区间31,4上是减函数，在区间3,14上是增函数(图象如图所示)由函数的单调性可知，此函数在区间(1,1)上的值域为3,(1)4ff，233339=442416f，f(1)(1)232(1)52，实数 k 的取值范围是95,16 2.