极值问题1071.pdf

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1、实验二 极值问题 实验的目的 1、了解多元函数极值的求法；2、了解多元函数条件极值的求法；3、进一步掌握利用 Matlab 进行多元函数偏导数的求解与应用。实验的基本理论与方法 1、多元函数极值的充分条件：设),(yxfz 在点),(00yx的某邻域内具有二阶连续偏导数，又0),(00yxfx，0),(00yxfy，令Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，则),(yxfz 在点),(00yx处 1）AC-B20 时具有极值，当 A0 时有极小值；2）AC-B2 x,y=solve(3*x2+6*x-9=0,-3*y2+6*y=0,x,y)得到四个驻点为 P(1

2、,0),Q(-3,0),R(1,2),S(-3,2)第三步，求借二阶偏导数，并输出结果 A=diff(f,x,2)B=diff(diff(f,x),y)C=diff(f,y,2)A=6*x+6 B=0 C=-6*y+6 第四步，分别判别 P,Q,R,S 四点是否为极值，建立 M 文件，自动判断 P,Q,R,S 四点的极值情况：xx=1-3 1-3;%驻点横坐标 yy=0 0 2 2;%驻点纵坐标 for i=1:4 D=(6*xx(i)+6)*(-6*yy(i)+6)if D0 if(6*xx(i)+6)0 x=xx(i)y=yy(i)disp(为极小值点；)disp(极小值为)fmin=x3

3、-y3+3*x2+3*y2-9*x end end if D0 x=xx(i)y=yy(i)disp(该点不是极值点；)end if D=0 x=xx(i)y=yy(i)disp(无法确定！)end end 运行输出结果为 x=1 y=0 为极小值点；极小值为 fmin=-5 x=-3 y=0 该点不是极值点；x=1 y=2 该点不是极值点；x=-3 y=2 为极大值点；极大值为 fmax=31 下面绘出函数图形观察极值点和鞍点的情形，在函数曲面图 3.1 左中，观察不到细节。而右图的等高线图中有两个极值点(1,0)，(-3,2)，又因为极值点有等高线环绕，而(-3,0)，(1,2)周围没有等

4、高线，故不是极值点，是鞍点。x=-5:0.1:5;y=-1:0.1:3;X,Y=meshgrid(x,y);Z=X.3-Y.3+3*X.2+3*Y.2-9*X;subplot(2,1,1);mesh(X,Y,Z);title(函数曲面图)subplot(2,1,2);contour(X,Y,Z,200);xlabel(x);ylabel(y);title(等高线图)例 2 抛物面22yxz被平面1zyx截成一椭圆，求原点到该椭圆的最长与最短距离。解：先绘出图形 x=-2:0.1:2;y=-2:0.1:2;X,Y=meshgrid(x,y);Z=X.2+Y.2;mesh(X,Y,Z);hold

5、on Z=1-X-Y;mesh(X,Y,Z);下面求解最值：设椭圆上点的坐标为),(zyx，则原点到椭圆上这一点的距离平方为 2222zyxd，其中zyx,要同时满足22yxz和1zyx。则利用 Lanrange函 数 的 极 值。先 求)1()(),(22222zyxyxzzyxxL关 于,zyx的偏导数，相应的 M 文件的 Matlab 程序：syms x y z k1 k2;图 3.1 函数曲面图与等高线图 图 3.2 函数曲面图 L=x2+y2+z2+k1*(z-x2-y2)+k2*(x+y+z-1);diff(L,x)diff(L,y)diff(L,z)diff(L,k1)diff(

6、L,k2)输出结果 ans=2*x-2*k1*x+k2 ans=2*y-2*k1*y+k2 ans=2*z+k1+k2 ans=z-x2-y2 ans=-1+x+y+z 其次，将以上结果组成方程组并求出方程组解：syms x y z k1 k2;k1,k2,x,y,z=solve(2*x-2*k1*x+k2=0,2*y-2*k1*y+k2=0,2*z+k1+k2=0,x2+y2-z=0,1-x-y-z=0)解方程组的结果有四组解，其中 i 为虚数单位：P(1,0,3/4-1/4*i*13(1/2)，Q(1,0,3/4+1/4*i*13(1/2)，R(3-5/3*3(1/2),11/3*3(1/

7、2)-7,1/2*3(1/2)-1/2)，S(3+5/3*3(1/2),-7-11/3*3(1/2),1/2-1/2*3(1/2)。由题意可知，曲面上没有虚数点坐标，所以 P,Q 省略！又知距离的最大值与最小值必存在，将 R,S 两点代入2222zyxd，有 x=1/2*3(1/2)-1/2;y=x;z=2-3(1/2);d1=sqrt(x2+y2+z2)x=-1/2-1/2*3(1/2);y=x;z=2+3(1/2);d2=sqrt(x2+y2+z2)则距离的最大值约为 d2=4.2024，在点32,231,231取到；距离的最小值约 d2 为=0.5829，在点32,231,231取到。例

8、 3 求内接于单位球且有最大体积的长方体。解：设球面方程为1222zyx，),(zyx是它的内接长方形在第一卦线内的一个顶点，则此长方形的长宽高分别为 2x,2y,2z，体积为 V=2x2y2z=8xyz，令)(8),(222zyxkxyzkzyxL 下面按步骤求解，首先求解偏导数。Matlab 的 M 文件程序及结果：syms x y z r k;L=8*x*y*z+k*(x2+y2+z2-r2);diff(L,x)diff(L,y)diff(L,z)diff(L,k)输出结果 ans=8*y*z+2*k*x ans=8*x*z+2*k*y ans=8*x*y+2*k*z ans=x2+y2

9、+z2-r2 其次求解驻点坐标：syms x y z k;k,x,y,z=solve(8*y*z+2*k*x=0,8*x*z+2*k*y=0,8*x*y+2*k*z=0,x2+y2+z2-1=0)由前文所设),(zyx是它的内接长方形在第一卦线内的一个顶点，则只有 k=0 0 -4/3*3(1/2)4/3*3(1/2)4/3*3(1/2)-4/3*3(1/2)4/3*3(1/2)-4/3*3(1/2)-4/3*3(1/2)4/3*3(1/2)0 0 0 0 x=0 0 1/3*3(1/2)-1/3*3(1/2)1/3*3(1/2)-1/3*3(1/2)-1/3*3(1/2)1/3*3(1/2)

10、-1/3*3(1/2)1/3*3(1/2)1 -1 0 0 y=0 0 1/3*3(1/2)-1/3*3(1/2)-1/3*3(1/2)1/3*3(1/2)1/3*3(1/2)-1/3*3(1/2)-1/3*3(1/2)1/3*3(1/2)0 0 1 -1 z=1 -1 1/3*3(1/2)-1/3*3(1/2)1/3*3(1/2)-1/3*3(1/2)1/3*3(1/2)-1/3*3(1/2)1/3*3(1/2)-1/3*3(1/2)0 0 0 0 x=y=z=1/3*3(1/2)成立。33,33,33为唯一驻点，由题意知这种长方形必有最大体积，所以当长方体的长、宽、高都为33。实验内容与练习 1、求函数22)(4),(yxyxyxf的极值。2、求函数)4)(6(),(22yyxxyxf的极值。3、求函数)2(),(22yyxeyxfx的极值。4、求函数xyz 在1 yx条件下的极值。5、求函数yxyxyxf247),(22在上半圆0,1622yyx上的最大值与最小值。6、求表面积为 8 而体积为最大的长方体的体积。7、在平面 xoy 上求一点，使它到 x=0，y=0 及 x+2y-16=0 三直线的距离平方和为最小。