2003年高考.江苏卷.数学试题与答案6920.pdf

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1、-2003 年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷 数学理工农医类 本试卷分第一卷选择题和第二卷非选择题两局部第一卷 1 至 2 页，第二卷 3 至 10 页考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回 第一卷选择题共60 分 一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1如果函数 2 yaxbxa 的图象与 x 轴有两个交点，那么点(a,b)在 aOb 平面上的区 域不包含边界为 bbbb OOOO aaaa(A)(B)(C)(D)2抛物线 2 yax 的准线方程是 y2，那么 a 的值为 A 1 8 B 1 8 C8D8 4

2、3x(,0),cosx,那么 tg2x 25 A 7 24 B 7 24 C 24 7 D 24 7 4设函数 f x 21,x0,假设那么的取值范围是(x)1f(x)1,x 00 2 x,x0 A1，1B(1,)C，20，+D，11，+5O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 ABAC OPOA(),0,那么,P的轨迹一定通过 ABC 的 ABAC A外心B内心C重心D垂心 6函数 x1 yln,x(1,)的反函数为-x1-A x e1 y,x(0,)x e1 B x e1 y,x(0,)x e1 xx e1e1 y,x(,0)y,x(,0)CD xx e1e

3、1 7棱长为 a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 A 3 a 3 B 3 a 4 C 3 a 6 D 3 a 12 8设 2 a0,f(x)axbxc，曲线 yf(x)在点 P(x0,f(x0)处切线的倾斜角 的取值范围为 0,4 那么到曲线 yf(x)对称轴距离的取值范围为 P A 0,1 a B 0,1 2a C0,b 2a D 0,b 1 2a 2xmxxn 2 1的的等差数列，9方程(2)(2)0 x 的四个根组成一个首项为 4 那么|mn|A1B 3C 4 1D 2 3 8 10双曲线中心在原点且一个焦点为 F7，0，直线yx1 与其相交于 M、2 N

4、两点，MN 中点的横坐标为，那么此双曲线的方程是 3 2y2y2y 222 2y2 xxxx A1B1C1D1 34435225 11长方形的四个顶点 A0，0，B2，0，C2，1和 D0，1，一质点从 AB 的中点 P0沿与 AB 的夹角的方向射到 BC 上的点 P1后，依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2、P3和 P4入射角等于反射角，设P4的坐标为x4，0，假 设1x42，那么 tg 的取值范围是 A 1，1B 3 13 ，2C 3 25 ，12 D 2，5 23 -12一个四面体的所有棱长都为 2，四个顶点在同一球面上，那么此球的外表积为 A 3B4C 33D 6-2003

5、年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷 数学理工农医类 第二卷非选择题共90 分 二.填空题：本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分把答案填在题中横线上 1 132)9(x 的展开式中 2x 9 x 系数是 14某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1200 辆，6000 辆和 2000 辆为检验 该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取 46 辆进展检验，这三种型号的轿车依 次应抽取_，_，_辆 15某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个局部如图现要栽种 4 种 不同颜色的花，每局部栽种一种且相邻局部不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法 有_种以数字作答 5 614 32 16

6、对于四面体 ABCD，给出以下四个命题 假设 ABAC,BDCD,那么 BCAD 假设 ABCD,ACBD,那么 BCAD 假设 ABAC,BDCD,那么 BCAD假设 ABCD,ACBD,那么 BCAD 其中真命题的序号是_.写出所有真命题的序号 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解容许写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17本小题总分值 12 分 有三种产品，合格率分别为 0.90,0.95 和 0.95，各抽取一件进展检验 求恰有一件不合格的概率；求至少有两件不合格的概率准确到 0.001-18本小题总分值12 分 函数 f(x)sin(x)(0,0)是 R 上的偶函数，其图

7、象关于点 3 M 对称，且在区间 0,(,0)4 2 上是单调函数求和的值 19本小题总分值12 分 如图，在直三棱柱 ABCA1BC 中，底面是等腰直角三角形，ACB90，侧 11 棱 2 AA，D、E 分别是 1 CC 与 AB 1 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重心 G 1 求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小结果用反三角函数值表示 求点 A1到平面 AED 的距离 C1 A1 B1 D E GC BA 20本小题总分值12 分 常数 a0,向量 c(0,a),i(1,0)经过原点 O 以 ci 为方向向量的直线与 经过定点 A(0,a)以 i2c 为方向向量的

8、直线相交于 P，其中 R试问：是否存在两个 定点 E、F，使得PEPF为定值假设存在，求出E、F 的坐标；假设不存在，说明理由-21本小题总分值12 分 a0,n 为正整数 设y(xa)n，证明yn(xa)n1；nn 设f(x)x(xa)，对任意na，证明fn1(n1)(n1)fn(n)n 22本小题总分值14 分 设a0，如图，直线l:yax 及曲线 2 C:yx,C 上的点 Q1的横坐标为 a1(0a1a).从 C 上的点 Qn(n1)作直线平行于 x 轴，交直线 l 于点 Pn1，再从点 Pn1 作直线平行于y轴，交曲线 C 于点 Q1.Q(n1,2,3,的横坐标构成数列an nn 试求

9、 a 与 a 的关系，并求 n1n a 的通项公式；n 当 1n a1,a 时，证明 1 2 k1 (aa)a kk1k2 1 32 n 当a1时，证明 k1 (aa)a kk1k2 1 3 c yl r2 Q3 r1 Q2 Q1 O aa2a3 1 x-2003 年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题江苏卷答案 一、选择题：此题考察根本知识和根本运算，每题 5 分，总分值 60 分.1C2B3D4D5B6B7C8B9C10D11C12A 二、填空题：此题考察根本知识和根本运算，每题 4 分，总分值 16 分.13 21146,30,101512021 2 三、解答题 17本小题要主考察相互

10、独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，总分值 12 分.解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为 A、B 和 C.P(A)0.90,P(B)P(C)0.95，P(A)0.10,P(B)P(C)0.05.因为事件 A，B，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为 P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)20.900.950.050.100.950.950.176 答：恰有一件不合格的概率为 0.176.解法一：至少有两件不合格的概率为 P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(ABC)0.90 2 0.05 2 0

11、.10 0.05 0.95 0.10 2 0.05 0.012 解法二：三件产品都合格的概率为 P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.90 2 0.95 0.812 由知，恰有一件不合格的概率为 0.176，所以至有两件不合格的概率为 1P(ABC)0.1761(0.8120.176)0.012.答：至少有两件不合的概率为 0.012.18在小题主要考察三角函数的图象和单调性、奇偶性等根本知识，以及分析问题和推理计算能力，满 12 分分。解：由f(x)是偶函数,得 f(x)f(x),即 sin(x)sin(x),所以 cossinxcossinx 对任意 x都成立,且 0,所以得cos0.-

12、依题设 0,.所以解得 2 由f (x)的图象关于点 M 对称,得f(3 4 x)f 3(4 x),取x 0,f 得 3(4 )3 sin(4 )2 3 cos 4 ,f 3(4 )sin(33)cos 424 ,3 cos 4 0,又 0,得 3 4 2 k,k1,2,3,2 3(2k 1),k0,1,2,.当 k0时,2 3 ,f (x)2 3 sin(x 2 )0,在 上是减函数 2 ;当 k1,时 2,f(x)sin(2x)在0,上是减函数;22 当 k2时,10 3 ,f (x)sin(x )0,在 22 上不是单调函数 ;所以 ,综合得 2 3 或 2.19本小题主要考察线面关系和

13、直棱柱等根底知识，同时考察空 间想象能力和推理运算能力.总分值 12 分.解法一：解：连结 BG，那么 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成 的角.设 F 为 AB 中点，连结 EF、FC，D,E 分别是 CC,1 AB,又 DC 平面 ABC,的中点 1 CDEF 为矩形 连结 DE,GADB 的重心,GDF.EFD 是在直角三角形中 2 EFFGFD 1 3 FD 2,EF 1,FD 3.于是 ED2,EG 12 3 6 3 .FCCD2,AB22,AB23,EB 1 3.-sinEBG EG EB 6 3 1 3 2 3 .AB 与平面 1 A

14、BD 所成的角是 arcsin 2 3 .连结 A1D，有 V AV AEDD 1 AAE 1 EDAB,EDEF,又 EFABF,ED 平面 A1AB,设 A1到平面 AED 的距离为 h，那么ShSED AED1AB A-111 又 2,SA1AESAABAAABSAEDAEED 1 242 1 6 2 .h 2226 3 6 即 AAED.1到平面的距离为 2 3 6 .2 解法二：连结 BG，那么 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即A1BG 是 A1B 与平 ABD 所成的角.如下图建立坐标系，坐标原点为 O，设 CA=2a，那么 A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,

15、0,1)A 1 (2a,0,2),E(a,a,1),2a 3 G(,2a 3 ,1 3).CE(a 3 ,a 3 ,2 3 ),BD (0,2a,1).GE BD 2 3 2 a 2 3 0.解得 a 1.BA 1 (2,2,2),BG 2 3(,4 3 ,1 3).cos ABG 1|BA 1 BA 1 BG|BG|2 14 3 /1 3 3 21 7 3 .AB 与平面 1 ABDarccos 所成角是 7 3 .由有 A(2,0,0)A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1)AEED(1,1,1)(1,1,0)0,AA 1 ED(0,0,2)(1,1,0)0,ED 平面 AA

16、E,又 ED 1 平面 AED.20.当 2 a 时，方程是圆方程，故不存在符合题意的定点 E 和 F；2 当 2112a11a 2 0a 时，方程表示椭圆，焦点 E(a,)和 F(a,)2222222 2 1111 当 a,方程也表示椭圆，焦点2Faa)时(0,(aa)(0,(2 2222 两个定点.21本小题主要考察导数、不等式证明等知识，考察综合运用所数学知识解决问题的能力，总分值 12-分.证明：因为 (xa)n nCk n k0 (a)，nkxk nkxk-所以 y n knk kCn(a)x k0 k1 k n n 0 k1nkk1 Cn(a)xn(xa)1 n 1.对函数 nn

17、f()()求导数:nxxxa f n (x)n nx 1n1 n(xa),所以 f n n1(n)nn(n n a)1.当 x a0时,f(x)n 0.当x a,时 f(x)n n x (x a)n 是关于 x 的增函数 .nnnn 因此,n 当 a 时,(n1)(n1a)n(na)nnnn(1)(1)(1)(1)(1)()fnnnnnannna 1 n n1nfn(n1)(nn(na)(1)n().即对任意na,fn1(n1)(n1)fn(n).22本小题主要考察二次函数、数列、不等式等根底知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能 力，总分值 14 分.111 22224 解：Qn(a,

18、a),P(a,a),Q(a,a).n1nn1nnn1n2n aaa 12,ana 1n a 1111 2 222122 ana1(a)()a nn2n aaaa 2 1 1(1)(1)2223 222122()anan 3 aaa 2 (1 a 1a n2n12n112n n1 12)()2221)a(aa 11 aa 1 a n1 12，().ana a 12-11 证明：由 a=1 知 ana,a,.1n1 a2,a 23 416 1 当k12a.时,a k3 16 k n 1 n 111(aka1)a(aa)(aa).kk2kk11n1 161632 k1 n1 2 证明：由知，当 a=1 时，ana,1-因此 k n 1 n n21 k1kk1 222ii12i(aka1)a(aa)a(aa)a kk2111111 k1i1 2 (1 n3 21 a 5 a1 23i21 a)aa(1a)a=.1 111113 1a 1aa3 2 i1 111