第五章习题与复习题详解(矩阵特征值和特征向量)----高等代数8069.pdf

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1、习题 1.(1)若A2=E，证明A的特征值为 1 或1;(2)若A2=A，证明A的特征值为 0 或 1.证明（1）22AEA所以的特征值为1，故A 的特征值为1（2）22222,()0,001AAAXA XAXXXX所以两边同乘 的特征向量得即由于特征向量非零，故即或 2.若正交矩阵有实特征值，证明它的实特征值为 1 或 1.证明 1,1TTTAA AEAAAAA 设 是正交阵，故有与 有相同的特征值，1故设 的特征值是，有=，即 3求数量矩阵A=aE的特征值与特征向量.解 A设 是数量阵，则 0000000000000aaAaEaaaEAa 所以：特征值为a(n 重),A属于a的特征向量为

2、k1(1,0,0)T+k2(0,1,0)T+kn(0,0,1)T，(k1,k2,kn不全为 0)4求下列矩阵的特征值与特征向量.（1）113012002 （2）324202423（3）122212221（4）212533102 1112221211(5),(0,0)0.TTnnnnaabaabAbbbabaab 其中，且 解（1）1130120,1,2,002AEAX0,123求得特征值为:分别代入=求得 A 属于特征值 1 的全部特征向量为 k(1,0,0)T，(k0)A 属于特征值 2 的全部特征向量为 k(1，2，1)T，(k0)解（2）1313232494904922220242342

3、312349(1)(1)(8)2AErrcc 按第一列展开 231,8 1求得特征值：将其代入()AE X 0，求得特征向量：1211211001Xkk 时，12,k k不全为零 11821Xk时，0k 解（3）123123122111111212212(1)212221221221011(1)112(1)(1)(3)0211,1,3AErrr 解得：代入()AE X 0，求得特征向量：A 属于特征值-1 的全部特征向量为 k(1,-1,0)T，(k0)；A 属于特征值 1 的全部特征向量为 k(1,-1,1)T，(k0)；A 属于特征值 3 的全部特征向量为 k(0,1,-1)T，(k0)解

4、（4）322321221253350375102102(1)21(1)rr 直接展开：特征值为-1，-1，-1；A 属于特征值-1 的全部特征向量为 k(1,1,-1)T，(k0)解（5）11 11 2122 12 221212nnnnnnnnaabababaa ba ba bAbbbaa ba ba b 设为A的任一特征值，A的属于的特征向量为：，则 A 于是 22AA 而2()()0TTTTTTTA 故 2=0，因为特征向量0，所以 0，即矩阵A的所有特征值为 0.1 11 211 11 212 12222 122211212120,00000000nnnnnnnnnnnnnabababa

5、bababa ba ba ba ba ba bAEaba ba ba ba ba ba bbbb1初等行变换 解得基础解系：3211112n-1100,010001nbbbbbb 特征值为 0（n 重）；A 属于 n 重特征值 0 的全部特征向量为：k121100bb+k231010bb+kn11001nbb（k1，k2，kn1不全为零）15.122 212221(1)2AAEA设求 的特征值与特征向量；（）求特征值与特征向量.解(1）1233212231131021221221122122122131041430(1)(1)(5)(1)32221AErrrcc 123121231,51222

6、11122200022200011110(,001142221152421212240005AEkkk kAE 将代入特征矩阵：故属于的特征向量为不全为）将代入特征矩阵：属于的特征向量1101kk：（）(2）114:1 12,155EA 的特征值为 6.已知 12 是矩阵44174147aA的一个特征值，求a的值.解 7 12415411121247 12145109944 1248040121204AEaaaAAEa 是 的特征值，7.已知X=11k 是矩阵A=211121112的一个特征向量.求k及X所对应的特征值.解 1212122111112111211211212,1,122114A

7、XXkkkkkkkkkk 解得：代回得 习题 1.判断习题第 4 题中各矩阵能否与对角矩阵相似.如果相似，求出相似变换矩阵与对角矩阵.1）112特征值只有一个线性无关的特征向量，不能对角化 2）二重根21 1有两个线性无关的特征向量，可以对角化.相似变换矩阵为 112201012P 对角阵为100010008 3）矩阵有三个互异的特征值，故可以对角化.110111011P 对角阵为100010003 4）不能对角化.5）101nn重根有个线性无关的特征向量，所以可以对角化.2判断下列矩阵是否与对角阵相似，若相似，求出可逆矩阵P,使1P AP为对角阵.（1）211020413A （2）11201

8、0001A 解(1)212321121020(2)(1)(2)434131,22()1AER AE 时，所以该矩阵可以对角化 代入1232,1 解得对应的特征向量分别为：1211140,0041kkk 所以：可逆矩阵111400041P 解(2)3112010(1)0011()1AER AE 时，故该矩阵不能对角化 3设A是一个 3 阶矩阵，已知A的特征值为 1，1，0，A属于这 3 个特征值的特征向量分别为 1231012,2,1112XXX 求A.解 A有三个互异的特征值，所以可以对角化.111100101010221000112100010000:101100101100100512(|

9、)221010021210010311112001011101001412512311412APAPPPP EP求5121646201A4计算122212 (221kk为正整数）.解 122522122212512(5)010221521001AE 2(5)(1)2221111()222000222000AE 时，2111001K1解得特征向量：=k，12,0k k 4222421015()242422011224000000AE 时，111 解得特征向量：=k0k 121333122-11 11112212 =10113332210115111333kk 11(1)(1)5-1211(1)0

10、511230(1)5111kkkkkkk 11111112(1)5(1)5(1)51(1)52(1)5(1)53(1)5(1)52(1)5kkkkkkkkkkkkkkkkkk 5设 200222,233AaBab A与B相似.（1）求a,b的值；（2）求可逆矩阵 P,使1P AP=B.解 1）A与B相似，故A与B有相同的特征多项式，即：32232200222(2)(1)(4)2(2)11311200020(2)()(1)(2)200224,2(4),20,2EAEBaEAaaaaEBbbbbbbababaab 各项系数对应相等可得：（2）1122001202,23112110010010002

11、12212012)23111000001240010010022221110311311ABAEAE XkAE0解得（的基础解系为2330112)100012000111101122223130102)03130000001AE XkAEAE Xk 00解得（的基础解系为解得（的基础解系为 最后解得可逆矩阵001210,111P 使得1P APB 6.设A=0011100yx与对角阵相似，求x，y满足的条件.解 011(1)(1)(1)10AExy 110110100101000AExyxy将代入特征矩阵：由于A与对角矩阵相似，()2R AE故 0 xyxy 于是即 7设A与B相似，f（x）=

12、a0 xn+a1xn1+an1x+an（a0 0），证明 f（A）与 f（B）相似 证明 1110111111101111111011,()()()()nnnnnnnnkkkkknnnnABPP APBPa Aa AaAa E Pa P A Pa P APaP A Pa P EPP A PBBP APP A PPf A Pa Ba BaBa Ef B因所以存在可逆使得现证明因代回 故f（A）与 f（B）相似 8若A与B相似，C与D相似，证明 CA00 与 DB00 相似.证明 111112221111122111111112222,AB CDPP APBPP CPDPPPPPPPABPP AP

13、PCDPP CP若 相似于相似于则存在有存在有得证 习题 1求正交矩阵Q，使1Q AQ为对角阵.(1)220212020A （2）211121112A 解 （1）先求特征值和特征向量 3221220212(2)(1)4(2)402368(1)2(4)(1)(2)(4)(1)11011201211201202101021012021021000000AEAE 直接展开将代入：解得特征向量：1232113223P 单位化得：224220220102232012012024024000232223113AEP 解得单位化：321104202102102232232011011022011000000

14、AE 3131223223P 解得正交化：于是构成正交矩阵 221333212333122333Q,1412Q AQ 解（2）先求特征值和特征向量 21121100121121130112112103(3)02111211010121112011112000000131113113AEAE r1+r2+r3将代入：解得：单位化：1223311111131110001110001111101,10102AE 将代入：解得：PP正交化：PP 单位化23116211,26026 于是构成正交矩阵 11113260111,3326312036QQ AQ 2已知 1=6，2=3=3 是实对称矩阵A的三个

15、特征值，A的属于 2=3=3 的特征向量为X2 =101，X3 =121，求A的属于1=6 的特征向量及矩阵A 解 令A的属于16的特征向量为：1123xXxx 12130TTXXXX 3123101201xXxx 11有：-x解得：x 1111611110231021113111A 11133311164111110230141221113114111636 且 A 的属于16的特征向量为：111(0)1Xkk 121236110,211,6TTAAAAA3.设 阶实对称矩阵 的秩为2，是 的二重特征值，若（，）（，）都是 属于特征值 的特征向量.（1）求 的另一特征值和对应的特征向量；（2

16、）求.解（1）()2,0R AA因为所以 A的另一特征值为 0，令其相应的特征向量为123xXxx，满足210TTXX 212310101xXxx11有：x解得：2x 11211216121(2)111,11161110110110011011121642211211162423330110224111333PA 习题五(A)一、填空题 1已知 3 阶矩阵A的特征值为 1，3，-2，则A-E的特征值为 ,A的特征值为 2()AE的特征值为 .解 A-E的特征值为A的特征值减 1，故A-E的特征值为 0，2，-3.A的特征值为*222,1 3(2)662 3(6)2)31.37,5,10AAAA

17、 2求得的特征值为：，)+E的特征值为：(+1，(+1，即 2n阶矩阵A的特征值为 1，2，3，n，则(1)AnE .解-(1)()(1)(2)(1)(1)!nAAnnnnn -(n+1)E的特征值为：1-(n+1)=-n,2-(n+1)=1-n,3-(n+1)=2-n,n-(n+1)=-1所以 3.已知 3 阶矩阵A的特征值为 1，3，5，则AE=.解*1 3 515,15 5 316 6 4384AAAAA 求得 的特征值为：即，+E的特征值为：16,6,4,+E 4.设A为 3 阶方阵，且220AEAEAE，则A=，12AE=，2AE=.解 由题意知：112212124,1,25,3,1

18、,4;2AAAAAA 1的特征值为，的特征值为：-23+2E的特征值为：的特征值为：4+E的特征值为5,2,52 12452,504AEAE 5若 3 阶方阵A与B相似，A的特征值为41,31,21，则11AOEEB=.解 11111111111,1 2 3 2 3 4144BEEBE AOAAB ABABBBEEBE AOA 相似于与 有相同的特征值，的特征值都为：2，3，4-E的特征值为：1，2，3 6已知 3 阶矩阵A-1的特征值为 1，2，3，则A的特征值为 .解 1*11 2 36,61 11 1 11,2 36 3 2AAAA A的特征值为的特征值为 7.已知矩阵11020421A

19、x的特征值为 1,2,3,则x=.解()()111236,4tr Atr Axx 特征值的和，8.已知 3 阶矩阵A的特征值为 1，3，2，则211()3A的特征值为 .解 221(1331 33,3 4AAAA-1-1的特征值为：1,3,21)的特征值为的特征值的平方1求得：()的特征值3 9.设 A，B 均为 3 阶方阵，A 的特征值为 1，2，3，B=1，则BBA=.解*()|1 2 367()|7 4 3(1)84A BBAE BAEBAAAAA BBAE BAEB 因 的特征值是1，2，3，故的特征值是 6,3,2+E的特征值是,4,3 10.设 400010000 ,111111B

20、abbA 有相同的特征值，则a=，b=.解 ,A B有相同的特征值，即 2()(),1 1140301131(1)0,1111tr Atr BaaAABbAbbb 代入由 11.已知矩阵A的各行元素之和为 2,则A有一个特征值为 .解 111211112121222212221212112111112122222122211221222nnnnnnnnnnnnnjnjnnjnnjnnnnnnjnjaaaaaaaaaaaaAaaaaaaaaaaaaaaaaaaAEaaaaa令：由题意：nna 1121112122222221221222njnjnnjnnjnnnnnjnnnjaaaaaaaaaa

21、aaaaa 121222211(2)1nnnnnaaaaaa 显然A有一个特征值为 2 12已知 0 是10102010Aa的一个特征值，则a=.解 由于 0 是10102010Aa的一个特征值，则：0EA，即0A，即 101020220110Aaaa 二、单项选择题 1.若 4 阶方阵A与B相似，A的特征值为1 1 1 1,2 3 4 5，则1BE（）.(A)24 (B)-24 (C)-32 (D)32 解 11,24ABA BBBE相似于则有相同的特征值-E的特征值:2-1,3-1,4-1,5-1,即1，2，3，4故 选(A)2.设A为n阶矩阵,为A的一个特征值,则A的伴随矩阵A的一个特征

22、值为().()()()()nnAAABCADA 解 ,*,*,*AXXAA AXAXAA EXA X A XXAA两边同乘得：所以的特征值是 3.设A为n阶矩阵,X为A属于的一个特征向量,则与A相似的矩阵B=P-1AP的属于的一个特征向量为().(A)PX (B)P-1X (C)P TX (D)P nX 解 1111)APBPAXXPBP XXBP XP XB所以选(4.已知X=112是矩阵A=212213baa的一个特征向量,则a,b的值分别为().(A)5,2 (B)-1,3 (C)1,-3 (D)-3,1 解 212112 14,2112213221625,3,1AXXbabaaaab

23、即得 选(D)5.下列结论正确的是().（A）X1,X2是方程组(AE)X=O 的一个基础解系,则 k1X1+k2X2是A的属于的全部特征向量,其中 k1,k2 是全不为零的常数（B）A,B有相同的特征值,则A与B相似（C）如果A=0,则A至少有一个特征值为零（D）若同是方阵A与B的特征值,则也是A+B的特征值 解 121),),A k kPP APB（应为不全为零的常数（B不一定相似，因为不一定能找到可逆矩阵使(C)正确 （D）AXXBYY显然不是 A+B 的特征值 6.设1，2是矩阵A的两个不相同的特征值，是A的分别属于1，2的特征向量，则（）.（A）对任意 k1 0，k2 0，k1+k2

24、都是A的特征向量（B）存在常数 k1 0，k2 0，使 k1+k2是A的特征向量（C）当 k1 0，k2 0 时，k1+k2不可能是A的特征向量（D）存在唯一的一组常数 k1 0，k2 0，使 k1+k2是A的特征向量 解（A）显然不成立；（B）不存在；（C）正确；（D）不存在.所以选（C）7.与矩阵112相似的矩阵是（）.110101100100()010 ()020 ()011 ()120002001002111ABCD 解1是二重根，将1分别代入AE,只有在(C)中，1R AE 故选(C)8.下列矩阵中,不能相似对角化的是().110110101100()021 ()010 ()010

25、()011003002101002ABCD 解 答案(C)中，1是三重特征值，代回AE中，2R AE 显然(C)不能对角化.9.若A与B相似，则（）.（A）BEAE （B）BEAE（C）A=B （D）A*=B*解 因为存在可逆矩阵P,使1P APB 则 111()()()EBEP APPEA PPEAPEA 选(B)10.设向量=（a1，a2，an）T，=（b1，b2，bn）T都是非零向量，且满足条件T=0，记n阶矩阵A=T,则().(A)A 是可逆矩阵 (B)A2不是零矩阵 (C)A 的特征值全为 0 (D)A 的特征值不全为 0 解 22()()()00TTTTTTTAA 故2A的特征值全

26、为零，而若设 A 的特征值为，则2A的特征值为2，显然有 200 选(C)(B)1设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，2，3，对应的特征向量分别为 123123111 1,2,31491 131;(2),3.nAA 又设向量（）求将 用线性表示；（）求 解（1）由题意 15131111111122123212323411493149331220100016116PAPP（2）112233123111111233149xxxxxx 令即 化为线性方程组形式求解，得增广矩阵 _1231111101110011231 0102 010214930011001122122A 123x解得:xx （3）

27、解 123123111223312312132(22)2222223223223223nnnnnnnnnnnnnnnnAAAAA 2设A为 4 阶方阵，且30AE，A=9，（1）求A的一个特征值；（2）21A A的一个特征值.解（1）由已知：*3,93AAA 11的一个特征值的一个特征值（2）121AA A1的一个特征值-31故的一个特征值-813 3 已知向量X=11b 是可逆矩阵A=21112111a 的伴随矩阵A的一个特征向量，求a,b与X所对应的特征值 解 A XX 两边同乘以A 得 2111213211A EXAXAaa*12111(32)1211111abba 解得：2223121

28、140aaabbb 或或 4.A是 n 阶正交矩阵，1A，证明 1 是A的特征值.证明,1TTTTTAXXAA AXAXEXA XA XX两边同乘以得 5.设A是正交矩阵，1,AA是 的特征值 证明也是 的特征值.证明 1TTTTAXXA AXAXXA XA XX 故1是TA的特征值，也是A的特征值.6已知矩阵00321,3.365AaaaAa是 的 重特征值，求 及 解 321,365321221130365265221()0(2)8(6)086AaaaAEaaaccaaaaaa 20022(2)()(6)8(2)(6)2)32(6)2(2)2aaaaAaaa 是 的 重特征值，且:两边对应

29、相等得:7，已知A11022041x 可相似对角化，求与它相似的对角阵和An.解 先求A的特征值：2110220(1)(1)(2)241(1)(1)1x 1230,1解得 1是二重特征值，则有：210000(1)21021040402R AERRxxx 11102204210A 故当 1101104212(0)220 220 012421000000AE 解得特征向量 1112 231210210(1)210 000420000AE 当 解得特征向量：23102001 所以得相似变换矩阵：1110012012011nnPAPP =11000021012001011020100142111022

30、0421nA 8 设A是 3 阶方阵，A有 3 个不同的特征值1，2，3，对应的特征向量依次为,321令321证明：2,AA线性无关.解 12311223322222123112233()()AAAA 2123112321122332223112233222121311122322123333()()()()()()0kk Ak Akkkkkkkkkkkk 123,线性无关，（它们是不同特征值所对应的特征向量）故有：221213111122122322222233312333010:110kkkkkkkkokkkk即 由于0ijA（范德蒙行列式结论）所以方程只有零解.即2,AA线性无关 9若A

31、与B相似且A可逆，证明：A*与B*相似.证明*1*1AAA EAA ABB B,ABAB有 且存在可逆矩阵P，使1111*1111111*P APBBP A PP A PP A A PA PA PA BB BB 故A*与B*相似 10设A=010100002，B=260010001，试判断A、B是否相似，若相似，求出可逆矩阵P，使得B=P1AP 解 20001(2)(1)(1)01100011(2)(1)(1)062AEBE A、B有相同的特征值且都可以对角化，所以要确定A、B是否相似，先求A、B的特征向量：112000012010021 021 001012000000100AE 解得特征向

32、量 2211001001001011 011 011011000000011AE 解得特征向量 331300100011 011011000011AE 解得特征向量 1100200011010011001PAPP 112100100030 010060000001BEp 解得特征向量 221000010020 001061000100BEp 解得特征向量 3311002001000 012063000012BEp 解得特征向量 构成可逆矩阵1010200001010102001QBQQ，有 11111111100021021011100110011010112AP PBQ QP APQ BQA

33、PQ BQPABPQPQ 所以的相似变换矩阵为 11设矩阵12314315Aa 有一个 2 重特征根，求a的值并讨论A可否相似对角化.解 2122123200143133(2)(8183)151152,18312812(2)(6)2AErraaaaaA 由于当故，是 的二重特征值 代入 1231232123 000123000AE 221R AEn 此时A 可以对角化 222,183163816(4)4aaA 当，是 的二重特征值 3233234103 103422000113AER AE 此时A 不能对角化 12A是 3 阶矩阵，123 ，是线性无关的 3 维列向量组，且满足 1123223

34、323,2,23AAA（1）求矩阵 B,使123123()()AB ，；（2）求A的特征值.解 （2）因为123 ，是线性无关的 3 维列向量组，所以 123(,)P 可逆 所以1P APB 即矩阵 A 与 B 相似，由此可得矩阵 A 与 B 有相同的特征值.由 得矩阵 B 的特征值，也即矩阵 A 的特征值 123123100(1)(,)(,)122113A a a aa a a由，知100122.113B2100122(1)(4)0113EB1231,4.13.设矩阵001010100B，已知矩阵A与B相似，计算R(A-2E)+R(A-E).解：AB相似于 则A与B 有相同的特征值，先求B

35、的特征值 010101(1)(1)101BE 是 A 的二重特征值 代入101101000000101000BE 1,1R BEBA所以故时 可以对角化,也可以对角化 1R AE故 2 不是A的特征值，20,2324AER AER AER AE故于是有则 14A是 3 阶实对称矩阵，A的特征值为 1，0，-1，A属于 1 与 0 的特征向量分别为（1,a,1）T和(a,a+1,1)T，求A.解：A是 3 阶实对称矩阵，A的特征值互不相同，故这三个特征值所对应的特征向量正交.有：221,110,21(1)011aaaaaaa 得:所以 代入：1111,101111aaa 设属于-1 的特征向量1

36、23xxx，得1231300 xxxxx属于-1 的特征向量121 得相似变换矩阵1121636111212102333111121636TPAPPPP 15设A是 n 阶实对称矩阵，满足A3-3A2+3A-2E=O，求A的特征值.解：由于A是 n 阶实对称矩阵，所以A的特征值都是实数，323320AAAE 两边同乘以特征向量 32323232322(332)0332033200(332)03320(2)(1)0AAAE XA XA XAXEXXXXXXX由于故 由于是实数，所以2 16设 3 阶实对称矩阵A的特征值123111,2,2,1,1,1TA 是 属于的一个特征向量，B=A5-4A3+E.求B的特征值和特征向量.解 A是 3 阶实对称矩阵，1231,2,2,互不相同，所以对应于123,的特征向量两两正交.令 1212330 xXxxxxx1与正交 解得：23111001XX ，B=f(A)=A5-4A3+E.的特征值f（）12311231212 2,1,2(0),11110(,001BBkkBkkk k 所以 的特征值为属于的全部特征向量为属于的全部特征向量为，不全为）.