第四章不定积分2673.pdf

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1、 1 第四章 不定积分 在第二章中，我们讨论了如何求一个函数的导函数问题，本章将讨论它的反问题，即要寻求一个可导函数，使它的导函数等于已知函数这是积分学的基本问题之一 第一节 不定积分的概念与性质 本节主要内容 1.原函数与不定积分的概念；2.基本积分表；3.不定积分的性质 讲解提纲：一、原函数与不定积分的概念(一)原函数 问题 1 已知真空中自由落体的瞬时速度gttv)(其中常量g是重力加速度，又知0t时路程0s，求自由落体的运动规律)(tss 解 由导数的物理意义可知，gttvts)()(1)容易验证Cgtts221)(，(C为任意常数)满足式(1)；又因为0t时0s，代入上式得0C，所以

2、求得的运动规律为221)(gtts 问题 2 设曲线)(xfy 经过原点，曲线上任一点处存在切线，且切线斜率都等于切点处横坐标的两倍，求该曲线方程 解 根据曲线上某一点处切线的几何意义，有 xy2 (2)容易验证Cxy2，(C为任意常数)满足式(2)；又因为原点在曲线上，故当0 x时0y，代入上式得0C，因此所求曲线的方程为2xy 上述两个问题的本质：已知某函数的导数)()(xfxF，求函数)(xF 定义 1 如果在区间I上，可导函数)(xF的导函数为)(xf，即对任意的Ix，都有)()(xfxF 或 dxxfxdF)()(，那么函数)(xF就称为)(xf（或dxxf)(）在区间I上的原函数

3、例如：因为xxcos)(sin或xdxxdcos)(sin，所以xsin是xcos的一个原函数；因为gtgt)21(2，所以221gt是gt的一个原函数；因为xx2)(2，所以2x是x2的一个原函数 关于原函数，我们首先要问：一个函数具备何种条件，才能保证它的原函数一定存在呢？这个问题将在下一章中讨论，这里先介绍一个结论 2 原函数存在定理 如果函数)(xf在区间I上连续，则)(xf在区间I上一定有原函数，即存在区间I上的可导函数)(xF，使得对任一Ix，有)()(xfxF 简单的说就是，连续的函数一定有原函数 下面要说明三点：注 1：如果)(xf有一个原函数，则)(xf就有无穷多个原函数 设

4、)(xF是)(xf的原函数，则)()(xfCxF，即CxF)(也为)(xf的原函数，其中C为任意常数 注 2：若)(xF与)(xG都是)(xf在区间I上的原函数，则)(xF与)(xG之差为常数，CxGxF)()(（C为常数）注 3：如果)(xF为)(xf在区间I上的一个原函数，则CxF)(（C为任意常数）可表达)(xf的任意一个原函数(二)不定积分 例如：对任意常数C，Cgt221都满足式(1)，Cx2都满足式(2)，所以Cgt221都是gt的原函数；Cx2都是x2的原函数 又如：对任意常数C，都有xCxcos)(sin，所以Cx sin也都是xcos的原函数 由此可见，一个函数的原函数并不唯

5、一，而是有无限个如果)(xF是)(xf的一个原函数，即)()(xfxF，那么与)(xF相差一个常数的函数CxFxG)()(，仍有)()(xfxG，所以)(xG也是)(xf的原函数反过来，设)(xG是)(xf的任意一个原函数，则恒有下列等式成立：)()()(xfxGxF，0)()(xGxF，CxGxF)()(（C为常数）即)(xG与)(xF不过相差一个常数总结正反两个方面可得两个结论：(1)若)(xf存在原函数，则有无穷多个原函数；(2)若)(xF是)(xf的一个原函数，则)(xf的全部原函数构成的集合为CCxF)(为常数 1.不定积分的定义 定义 2 在区间I上，函数)(xf的带有任意常数项的

6、原函数称为)(xf（或dxxf)(）在区间I上的不定积分，记作 dxxf)(，其中，记号“”称为积分号，)(xf称为被积函数，dxxf)(称为被积表达式，x称为积分变量 由此定义及前面的说明可知，若)(xF为)(xf的一个原函数，则 CxFdxxf)()(，（C为任意常数）注意 积分号“”是一种运算符号，它表示对已知的被积函数求全部的原函数，所以在不定积分的结果中不能漏写C 3 例题选讲 例 1 求dxx2 解 由于23)3(xx，即33x是2x的一个原函数，因此有 dxx2Cx33 例 2 求dxx1 解 当0 x时，由于xx1)(ln，所以xln是x1在),0(内的一个原函数因此，在),0

7、(内，Cxdxxln1当0 x时，由于xxx1)1(1ln，由上同理，在0,内，Cxdxx)ln(1 将结果合并起来，可写作Cxdxx|ln1 例 3 设曲线过点)2,1(，且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲线的方程 解 设曲线方程为)(xfy，由题意知，曲线上任一点),(yx处切线的斜率为 xdxdy2，从而有 Cxxdxy22进一步地，由2)1(y，得1C，因此所求曲线方程为 12 xy 2.不定积分的几何意义 在直角坐标系中，)(xf的任意一个原函数)(xF的图形 是一条曲线)(xFy，这条曲线上任意点)(,(xFx处的切 线的斜率)(xF 恰为函数值)(xf，称这条曲线为)(x

8、f的一 条积分曲线)(xf的不定积分CxF)(则是一个曲线族，称为积分曲线族平行于y轴的直线与族中每一条曲线的交 点处的切线斜率都等于)(xf，因此积分曲线族可以由一条积 分曲线通过平移得到 二、基本积分表 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出相应的积分公式 例如，因为xx11，所以11x是x的一个原函数，于是 Cxdxx11，（1）类似地可以得到其他积分公式 下面把一些基本的积分公式列成一个表，这个表通常叫做基本积分表 y=F(x)x y O 4(1)Ckxkdx(k是常数)；(2)Cxdxx11，(1)；(3)Cxdxx|ln1；(4)Cxdxxarctan112；(5

9、)Cxdxxarcsin112；(6)Cxxdxsincos；(7)Cxxdxcossin；(8)dxx2cos1Cxxdxtansec2；(9)dxx2sin1Cxxdxcotcsc2；(10)Cxxdxxsectansec；(11)Cxxdxxcsccotcsc；(12)Cedxexx；(13)Caadxaxxln；(14)Cxxdxcoshsinh；(15)Cxxdxsinhcosh 以上十五个基本积分公式，是求不定积分的基础，必须熟记，下面举几个应用幂函数的积分公式(2)的例子 例题选讲：例 4 求 dxx31 解 CxCxdxxdxx2133321131 例 5 求 dxxx2 解

10、CxCxdxxdxxx2712525272125 例 6 求 dxxx31 解 CxCxdxxdxxx3113434331341 上面三个例子表明，有时被积函数实际是幂函数，但用分式或根式表示。遇此情形，应先把它化为x的形式，然后应用幂函数的积分公式(2)来求不定积分 三、不定积分的性质 根据不定积分的定义，可以推得它有如下两个性质：因为 )()()(xkfdxxfkdxxkf，所以有 5 性质 1 被积函数中的不为零的常数因子可以提到积分号之外，即 dxxfkdxxf)()(，)0(k 又因为 dxxfdxxf)()(21)()()()(2121xfxfdxxfdxxf，所以有 性质 2 两

11、个函数的代数和的不定积分等于每个函数的不定积分的代数和，即 dxxfdxxfdxxfxf)()()()(2121 性质 2 对于有限个函数都是成立的 利用基本积分表以及不定积分的两个性质，可以求出一些简单函数的不定积分 直接利用基本积分和性质来求积分的方法称为直接积分法 例 7 求 dxxx)5(2 解 dxxdxxdxxxdxxx2125212525)5()5(Cxx232731072 注意 检验积分结果是否正确，只要对结果求导，看它的导数是否等于被积函数，相等时结果是正确的，否则结果是错误的 例 8 求 dxxx23)1(解 dxxxxdxxxxxdxxx)133(133)1(222323

12、 dxxdxxdxxdx2133 Cxxxx1ln33212 例 9 求 dxxex)cos32(解 xdxdxedxxexxcos32)cos32(xdxdxexcos32 Cxexsin32 注意 得到的xe和xcos的两个不定积分，各含有任意常数 因为任意常数的和仍然是任意常数，故可以合成最后结果中的一个C今后再有同样情况不再重复说明了 例 10 求 dxexx2 解 CeCeedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2 6 例 11 求 dxxxxx)1(122 解 dxxdxxdxxxxxdxxxxx22222111)1()1()1(1 Cxxarctanln 例 1

13、2 求 dxxx241 解 dxxxdxxxdxxx)111(1111222424 Cxxxdxxdxdxxarctan3111322 例 13 求 xdx2tan 解 xdx2tanCxxdxxdxdxxtansec)1(sec22 例 14 求 dxx2sin2 解 dxxdxxdxx)cos1(212cos12sin2 Cxxxdxdx)sin(21)cos(21 例 15 求 dxxx2cos2sin122（同上例一样，先利用三角恒等式变形，然后再求积分）解 Cxx d xdxxdxxxcot4csc42sin12cos2sin12222 小结：本节学习了原函数的概念，不定积分的概念，

14、不定积分的性质，学习了几个简单的积分公式，并通过几个例子熟悉积分公式的使用 课堂练习：1、填空题 (1)设)(),(21xFxF是)(xf的两个不同的原函数，且0)(xf，则有)()(21xFxF ；(2)若)(xf的导函数是xsin，则)(xf的所有原函数为 2、求下列不定积分(1)dxxxx)1)(1(；(2)dxxx2)32(；(3)dxxxx)tan(secsec；(4)dxxxxx2222sinsin 7 第二节 换元积分法 本节主要内容 1不定积分的第一类换元法；2不定积分的第二类换元法 讲解提纲：利用基本积分表与积分的性质，所能计算的不定积分是非常有限的因此，有必要进一步来研究不

15、定积分的求法 本节把复合函数的微分法反过来求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法，简称换元法换元法通常分成两类 一、第一类换元法 设)(uF为)(uf的原函数，即)()(ufuF或CuFduuf)()(如果)(xu，且)(x可微，则)()()()()()()(xufxxFxuFxFdxd，即)(xF为)()(xxf的原函数，或)()()()()()()(xuxuduufCuFCxFdxxxf 因此有 定理 1 设)(uF为)(uf的原函数，)(xu可微，则)()()()(xuduufdxxxf (1)公式(1)称为第一类换元积分公式 例题选讲：例 1 求 xdx2

16、cos2(x2cos是一个复合函数：uxcos2cos,xu2)解 Cxxxdxdxxxdx2sin22cos2cos)2(2cos2 例 2 求 dxx231(x231是一个复合函数：ux1231,xu23)解 dxxxdxx)23(23121231 Cxxdx23ln21)23(23121 例 3 求 dxxex22(被积函数的一个因子为uxee2,2xu，剩下的因子x2恰好是中间变量2xu 的导数)解 CeCeduedxedxxexuuxx22222 8 例 4 求 dxxx21(设21xu，则xdxdu2，即xdxdu 21)解 CxCuduudxxx23223212)1(3131)2

17、1(1 例 5 求 xdxtan(因为xxxcossintan,xdxdxcossin，所以设xucos)解 CxCuduudxxxxdxcoslnln1cossintan 类似地可得 Cxxdxsinlncot*例 35 求 dxxxxxex)tan12(22(Cxxexcosln)1(312322)在对变量代换比较熟练以后，就不一定写出中间变量u 例 6 求 dxxa221 解：Caxaaxdaxadxaxadxxaarctan1111111122222 例 7 求 dxaxch 解 Caxashaxdaxchadxaxch 例 8 求 dxxa221(0a)解 Caxaxdaxdxaxa

18、dxxaarcsin1111112222 例 9 求 dxax221()11(21122axaxaax)解 dxaxaxadxax)11(21122)(1)(121axdaxaxdaxa CaxaxaCaxaxaln21lnln21 9 例 10 求 dxxx)ln21(1 解 xdxdxxxlnln211)ln21(1 Cxxdxln21ln21)ln21(ln21121 例 11 求 dxxex3(利用dxxxd21)解 Cexdexdedxxexxxx333332)3(322 对于下面一些不定积分的例子，它们的被积函数中含有三角函数，在计算这种积分的过程中，往往要用到一些三角恒等式 例

19、12 求 dxx3sin 解 dxx3sin)(c o s)c o s1()(c o ss i n22xdxxxd Cxx3cos31cos 例 13 求 xdxx52cossin 解 )(s i n)s i n1(s i nc o sc o ss i nc o ss i n2224252xdxxx d xxxx d xx)(sin)sinsin2(sin642xdxxx Cxxx753sin71sin52sin31 例 14 求 xdx2cos 解 x d xdxdxxxdx2cos2122cos1cos2 Cxxxxddx2sin41222cos4121 例 15 求 xdx4cos 解

20、由于)2cos2cos21(41)22cos1()(coscos22224xxxxx)24cos2cos223(41)24cos12cos21(41xxxx，所以有 Cxxxdxxxxdx324sin42sin83)24cos2cos223(41.cos4 10 例 16 求 xdxcsc 解 2c o s2t a n22c o s2s in2s inc s c2xxxdxxdxxdxxdx Cxxxd2t a nln2tan2tan 因为 xxxxxxxxxcotcscsincos1sin2sin22cos2sin2tan2，所以上述不定积分又可表为：Cxxxdxcotcsclncsc 例

21、17 求 xdxsec 解 )2()2s in(1c o s1s e cxdxdxxxdx CxxCxx|tansec|ln|)2cot()2cos(|ln 例 18 求 xdx6sec 解 xdxx d xxx d xt a n)t a n1(s e c)(s e cs e c222226 Cxxxxdxx5342tan51tan32tantan)tantan21(例 19 求 xdxx35sectan 解 xxdxxdxxxxxdxxsecsec)1(sectansecsectansectan2222435 xdxxxsec)secsec2(sec246 Cxxx35sec31sec52s

22、ec71 例 20 求 dxxx2cos3cos 解 利用三角学中的即化和差公式)cos()cos(21coscosBABABA 可得)5cos(cos212cos3cosxxxx，于是有 11 dxxx2cos3cosxdxxdxdxxxcos215cos21)cos5(cos21 Cxxxxxdsin215sin101sin21)5(5cos5121 上面所举的例子，可以使我们认识到公式(1)在求不定积分中所起的作用像复合的求导法则在微分学中一样，公式(1)在积分学中也是经常使用的但利用公式(1)来求不定积分，一半却比利用复合的求导法则求函数的导数要来得困难，因为其中需要一定的技巧，而且如

23、何适当地选择变量代换)(xu没有一般途径可循，因此要掌握换元法，除了熟悉一些典型的例子外，还要做较多的练习才行 上述各例用的都是第一类换元法，即形如)(xu的变量代换下面介绍另一种形式的变量代换)(tx，即所谓第二类换元法 二、第二类换元法 定理 2 设)(tx是单调的，可导的函数，且0)(t，又设)()(ttf具有原函数，则有换元公式)(1)()()(xtdtttfdxxf，(2)其中)(1xt为)(tx的反函数公式(2)称为第二类换元积分公式 证明 设)()(ttf的原函数为)(t，记)()(1xFx，利用复合函数及反函数的求导法则，得到)()()(1)()()(xftftttfdxdtd

24、tdxF，即)(xF是)(xf的原函数所以有)(11)()()()()(xtdtttfCxCxFdxxf 应用第二类换元法的关键：选取适当的)(t，使变换)(tx后的积分容易得到结果 下面举例说明换元公式(2)的应用 例 21 求 dxxa22,(0a)(利用等式 1cossin22tt)解 令taxsin，(22t)，则tdtadxcos，taxcosa22，所以有 dxxa22dtta22cos Cttadtta)42sin2(22cos122 根据taxsin作一辅助直角三角形，利用边角关系来实现替换 由于 axt sin，222cosaxat，所以有 a 22xa x t 12 axt

25、arcsin，2222cossin22sinaxaxttt 故 dxxa22Cxaxaxa2a r c s in2222 例 22 求 dxax221(利用等式 tt22sectan1)解 令taxtan，(22t)，则taaxsec22，tdtadx2sec，于是有 dxax221Ctttdttatdtatanseclnsecsecsec2 回代可得 1222222)ln()ln(1CaxxCaaxxdxax，(aCCln1)例 23 求 dxax221(利用等式 1sectan22tt)解 注意到被积函数的定义域为ax 和ax两个 区间，因此要分别讨论：(i)当ax 时，令taxsec,(

26、20 t)，则 taaxtan22，tdttadxtansec，于是有 dxax221tdttatdttasectantansec Ctt)tanln(sec 为了把tsec和ttan换成x的函数，根据axt sec作辅助三角形（如右图所示），得到 aaxt22tan，因此有 dxax22112222)ln()ln(CaxxCaaxax，(aCCln1)(ii)当ax时，令ux，则au，由(i)中的结果，有 a 22xa x t a 22xa x t 13 CaxxCauuduaudxax)ln()ln(1122222222 222222)ln(lnCaxxCaaxx，(aCCln22)把在a

27、x 和ax内的结果合起来，可写作 dxax221Caxx22ln 下面通过例子来介绍一种也很有用的代换到代换，利用它常可消去被积函数的分母中的变量因子x 例 24 求 dxxxa422 解 设tx1，则dttdx21，于是 dtttadttttadxxxa21222422422)1()1(11，分0t和0t两种情况讨论有相同的结果，即 Cxaxadxxxa3223224223)(以三角函数代换来消去二次根式，将这种方法称为三角代换法一般地，根据被积函数的根式类型，常用的变换如下：(1)被积函数中含有22xa，令taxsin或taxcos；(2)被积函数中含有22ax，令taxtan或txcot

28、；(3)被积函数中含有22ax，令taxsec或taxcsc 下面 9 个结果也作为基本积分公式使用（其中常数0a）：(16)Cxdxxcoslntan；(17)Cxdxxsinlncot；(18)xdxsecCxx|tansec|ln；(19)xdxcscCxx|cotcsc|ln；(20)Caxadxxaarctan1122；(21)dxax221Caxaxaln21；14(22)Caxdxxaarcsin122；(23)Caxxdxax)ln(12222；(24)Caxxdxax|ln12222 例 25 求 322xxdx 解 )1()2()1(12121322222xdxdxxxxx

29、dx Cx21arctan21 例 26 求 942xdx(利用公式(23)解 222223)2()2(213)2(94xxdxdxxdx Cxx)942(212 例 27 求 21xxdx(利用公式(24)解 Cxxxdxxdx512arcsin)21()25()21(1222 课堂练习：1.填空题(1)dxx3sin 3c o sxd；(2)ddxxex22 ；(3)dxx2911 xd3a r c t a n 2.求下列不定积分(1)dxex3；(2)dxxxsin1；(3)dxxxx)32()13(1002 15 第三节 分部积分法 本节主要内容 1.不定积分的分部积分法；2.分部积分

30、法中u与dv的选取 讲解提纲：前面我们在复合函数求导法则的基础上，得到了换元积分法 现在我们利用两个函数乘积的求导法则，来推导另一个求积分的基本方法分部积分法 设函数)(xuu 及)(xvv 具有连续导数，则有 vuvuvu)(或写为 dvuduvvud)(在等式两端求不定积分，得 dxvudxuvdxvu)(或写为 dvuduvvud)(，移项，得 duvvudvu (1)或 dxuvvudxvu (2)公式(1)或(2)称为不定积分的分部积分公式如果求dxvu有困难，而求vdxu比较容易时，分部积分公式就可以发挥作用了 例题选讲：例 1 (1)求 xdxx sin；(2)求 xdxx co

31、s 解 (1)令xu，而dvxdxdx)(cossin，则)(cossinxxdxdxxCxxxxdxxxsincoscoscos；(2)xxdxdxxsincosCxxxxdxxxcossinsinsin 注意 本题(1)中，如果令xusin，221xdxdx，则有 xdxx sin21)(sin2xxd)(sinsin2122xdxxx cossin2122xdxxxx，可见，上式右端的积分比原来的积分更不容易求出 16 因此，如果u和dv选取不当，就求不出结果，换句话说，在应用分部积分法时，恰当选取u和dv是一个关键一般地，u和dv的选择原则如下：(1)v要容易求得；(2)vdu比udv

32、更容易计算 例 2 求 dxxex 解 令xu，而dveddxexx)(，则 Cxedxexeexddxxexxxxx)1()(例 3 求 dxexx2 解 令2xu，dxedvx，则有)()(2222xdeexedxdxexxxxx Cxxedxxeexxxx)22(222 总结上面三个例子可以知道：若被积函数是幂函数和正（余）弦函数或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分步积分法，并设幂函数为u，这样用一次分步积分法就可以使幂函数的幂次降低一次，这里假定幂指数是正整数 例 4 求 xdxx ln 解 令xuln，xdxdv，则)(ln2ln22lnln222xdxxxxxdxdxx Cxx

33、xdxxxx4ln22ln2222 例 5 求 xdxarcsin 解 令xuarcsin，dxdv，则 dxxxxxxxdxxxdx21arcsin)(arcsinarcsinarcsin)1(1121arcsin22xdxxx Cxxx21arcsin 例 6 求 xdxarctan 解 令xuarctan，dxdv，则 dxxxxxxxdxxxdx21arctan)(arctanarctanarctan 17 Cxxxxdxxx)1ln(21arctan)1(1121arctan222 总结上面三个例子可以知道：如果被积函数是幂函数与对数函数乘积或是幂函数与反三角函数函数乘积，可以考虑用

34、分部积分法，并设对数函数或反三角函数为u 在分部积分法运用比较熟练以后，就不必再写出哪一部分选作u，哪一部分选作dv，只要把被积函数凑成)()(xdx的形式，便可以使用分部积分公式 下面几个例子中所用的方法也是比较典型的 例 7 求 xdxexcos 解 xdxexexdexdxexxxxsincoscoscos，等式右端的积分与等式左端的积分是同一类型对右端的积分再用一次分部积分法，得 xdxexexexdexexdxexxxxxxcossincossincoscos，容易求得)sin(cos21cosxxexdxexx u和dv的选择规律：被积函数的表达式()(xPn为多项式)(xu dv

35、 axdxxPnsin)(,axdxxPncos)(,dxexPaxn)()(xPn axdxsin,axdxcos,dxeax xdxxPnln)(,xdxxPnarcsin)(,xdxxPnarctan)(,arcsin,lnxx xarctan dxxPn)(bxdxeaxsin,bxdxeaxcos axe，bxsin，bxcos均可选作)(xu，余下作为dv 例 8 求 xdx3sec 解 x d x3s e cxxd tansecxx t a ns e cdxxx2tansecdxxxxx)1(secsectansec2xdxxdxxxsecsectansec3xdxxxxx3se

36、c|tansec|lntansec 由于上式右端的第三项就是所求的积分xdx3sec，把它移到等号左端去，再两端各除以 2，便得 Cxxxxxdx|)tansec|lntan(sec21sec3 18 例 9 求 nnaxdxI)(22，其中n为正整数 解 用分部积分法，当1n时有 dxaxxnaxxaxdxnnn)()1(2)()(222122122 dxaxaaxnaxxnnn)()(1)1(2)(222122122，即)(1(2)(211221nnnnIaInaxxI，于是 )3(2)()1(2111222nnnInaxxnaI 以此作递推公式，并由CaxaIarctan11，即可得nI

37、 在积分的过程中往往要兼用换元法和分部积分法，如例 5，下面再来举一个例子 例 10 求 dxex 解 令 tx，则2tx，tdtdx2，因此有 CxeCetedttetdtedxexttttx)1(22 2 2 小结：本节主要学习了不定积分的第一类换元积分法和第二类换元积分法 第一类换元法也称为“凑微分”的方法第二类换元法主要介绍了三种三角代换，即taxsin或taxcos，taxtan与taxsec，分别适用于三类函数)(22xaf，)(22axf与)(22axf“倒代换”tx/1也属于第二类换元法 课堂练习：求下列不定积分(1)x d xx s in；(2)x d xln；(3)x d

38、xa r c s in；(4)x d xxln2；(5)dxexx23 (6)dxxxx21arctan；(7)x d xex22s in；(8)x d xxa r c t a n2 19 第四节 有理函数的积分 本节主要内容：1 有理函数积分方法；2 三角函数有理式积分方法；3 简单无理式的积分方法 讲解提纲：一、有理函数的积分 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即具有如下形式的函数：mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()(，(1)其中m和n都是非负整数；naaa,10及mbbb,10都是实数，并且0,000ba 假定在分子多项式)(xP与分母多项

39、式)(xQ之间是没有公因式的(i)当有理函数(1)的分子多项式的次数n小于其分母多项式的次数m，即mn 时，称这有理函数是真分式；(ii)当mn 时，称这有理函数是假分式 利用多项式的除法，总可以将一个假分式化成一个多项式和一个真分式之和的形式 例如，1111223xxxxx 多项式的积分较容易求得，而要计算真分式的积分需要用到真分式的下列性质：如果多项式)(xQ在实数范围内能分解成一次因式和二次质因式的乘积，如 )()()()()(220srxxqpxxbxaxbxQ 其中04,0422srqp，那么真分式)()(xQxP可以分解成如下部分分式之和：axAaxAaxAxQxP121)()()

40、()(bxBbxBbxB121)()(qpxxNxMqpxxNxMqpxxNxM21222211)()(srxxSxRsrxxSxRsrxxSxR21222211)()(，(2)其中iiiiiRNMBA、及iS等都是常数 有理函数(2)化为部分分式之和的一般规律：1)分母)(xQ中如果有因式kax)(，那末分解后有下列k个部分分式之和：20 axAaxAaxAkkk121)()(，其中kAAA,21都是常数特别地，如果1k，那么分解后有了axA；2)分母)(xQ中如果有因式kqpxx)(2，其中042qp，那么分解后有下列k个部分分式之和：qpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk21

41、222211)()(，其中iiNM,都是常数特别地，如果1k，那么分解后有qpxxNMx2 真分式化为部分分式之和的待定系数法：例如，真分式)3)(2(36532xxxxxx可分解成 32)3)(2(3xBxAxxx，其中BA,为待定常数，可以用如下的方法求出待定系数 第一种方法 两端去分母后，得)2()3(3xBxAx，(3)或 )23()(3BAxBAx 因为这是恒等式，等式两端x的系数和常数项必须分别相等，于是有,3)23(,1BABA 从而解得 6,5BA 第二种方法 在恒等式(3)中，代人特殊的x值，从而求出待定的常数在(3)式中令2x，得5A；令3x，得6B 同样得到 3625)3

42、)(2(3xxxxx 又如，真分式2)1(1xx可分解成 1)1()1(122xCxBxAxx，再求待定系数CBA,两端去分母后，得 21)1()1(12xCxBxxA (4)在(4)式中，令0 x，得1A；令1x，得1B把BA,的值代入(4)式，并令2x，得C2211，即1C所以有 11)1(11)1(122xxxxx 再如，真分式)1)(21(12xx可分解成 22121)1)(21(1xCBxxAxx，两端去分母后，得)21)()1(12xCBxxA，或 ACxCBxBA)2()2(12 (5)比较(5)式两端x的各同次幂的系数及常数项，有.1,02,02CACBBA 解之得 51,52

43、,54CBA 于是 22151522154)1)(21(1xxxxx 例题选讲：下面举几个有理真分式的积分例子 例 1 求 dxxxx6532 解 因为 3625)3)(2(36532xxxxxxxx 得 dxxdxxdxxxdxxxx3162-15 36256532 Cxx|3|ln6|2-|-5ln 22 例 2 求 dxxxx3222 解 由于分母已为二次质因式，分子可写为 3)22(212xx，得 323322221 323)22(213222222xxdxdxxxxdxxxxdxxxx 2222)2()1()1(332)32(21xxdxxxxd Cxxx21arctan23)32l

44、n(212 例 3 求 2)1(xxdx；解 对分式2)1(1xx作部分分式分解：2)1(1xx2)1(1xCxBxA，通分后比较分子系数得 1)1()1(2CxxBxxA，(1)以1x代入得1C；以0 x代入得1A；因为右边无2x项，所以1AB则 2)1(1xx2)1(1111xxx 所以有 2)1(xxdx2)1(1xdxxdxxdx 1lnlnxxCx11Cxxx111ln 例 3 求 dxxx2)1(1 解 因为 22)1(1111)1(1xxxxx，23 所以有 dxxxxdxxx)1(1111)1(122 dxxdxxdxx2)1(1111 Cxxx111lnln 例 4 求 dx

45、xx)1)(21(12 解 根据分解式(5)，计算得 22151522154)1)(21(1xxxxx，因此得 dxxxxdxxx22151522154)1)(21(1 dxxdxxxdxx221151125121252 dxxxdxxdx2221151)1(1151)21(21152 Cxxxarctan51)1ln(51|21|ln52 2 注意 有理函数的积分虽说是有章可循，但计算比较烦琐，所以不到万不得已，尽量用其它方法处理例如本例的第(1)题用凑微分法要简便得多：dxxxx3422dxxxxxd34)34(2122Cxx34ln212 有了以上基础，有理分式和积分就转化为整式的积分及

46、以下 4 种简单分式的积分及以下4 种简单分式的积分：(1)caxaxdxln；(2)Caxkaxdxkk1)(11)(，),2(Nkk；(3)dxqpxxNMx2，)04(2qp；(4)dxqpxxNMxk)(2，)204(2Nkkqp 24 利用2)2(2MPNPxMNMx，则 qpxxdxMPNqpxxqpxxdMdxqpxxNMx2222)2()(2 及 kkkqpxxdxMPNqpxxqpxxdMdxqpxxNMx)()2()()(2)(2222，这些都是已学过的积分 总之，有理函数分解为多项式及部分分式之和以后，各个部分都能积出，且原函数都是初等函数此外，由代数学知道，从理论上讲，

47、多项式)(xQ都可以在实数范围内分解成一 次因式及二次因式的乘积，从而把有理函数)()(xQxP分解为多项式与部分分式之和因此，有 理函数的原函数都是初等函数 二、可化为有理函数的积分举例 1.三角函数有理式的积分 如果),(vuR为关于vu,的有理式，则)cos,(sinxxR称为三角函数有理式我们不深入讨论，仅举几个例子说明这类函数的积分方法 例 5 求 dxxxx)cos1(sinsin1 解 如果作变量代换 2tanxu，可得 212sinuux，2211cosuux，duudx212，因此得 12)111(12)121()cos1(sinsin122222duuuuuuuudxxxx

48、 duuu)12(21Cuuu)|ln22(212 Cxxx|2tan|ln212tan2tan412 2.简单无理式的积分 例 6 求 dxxx1 解 为去掉根号，可以设ux 1，于是12 ux，ududx2，从而所求积分为 25 duuduuuuduuudxxx)111(2122112222 CxxCuu)1arctan1(2)arctan(2 例 7 求 321xdx 解 令 ux32，得 23 ux，duudx23，duuuduuuduuuxdx)111(311131321223 Cuuu)|1|ln23(2 Cxxx|21|ln323)2(233332 例 8 求 xxdx)1(3

49、解 被积函数中出现了两个根式x及3x，为了能同时消去这两个根式，可令6tx，得 dttdx56，代入得 dtttttdttxxdx22325316)1(6)1(Cttdtt()arctan6()11162 Cxx)arctan6(66 例 9 求 dxxxx11 解 为了去掉根号，可以令txx1，于是21txx，112tx，22)1(2ttdtdx，从而所求积分为 dtttdtttttdxxxx12)1(2)1(1122222 Ctttdtt11ln2)111(22 26 Cttt1ln1ln222 Cxxxxxln)11ln(212 以上四个例子表明，如果被积函数中含有简单根式nbax 或n

50、dcxbax，可以令这个 简单根式为u由于这样的变换具有反函数，且反函数是u的有理函数，因此原积分即可化为有理函数的积分 小结：本节学习了不定积分的分部积分法 对两类不同形式的被积函数给出了分部积分的参考原则，也讨论了分部方法与换元方法结合使用的例题 课堂练习：求下列不定积分(1)dxx133；(2)dxxxx)1)(1(122；(3)dxxxcossin11；(4)dxxx cossin13；(5)dxx3111；(6)dxxx41；(7)dxxxxx1)1(；(8)dxxxx111 第五节 积分表的使用 本节主要内容：积分表的使用 讲解提纲：积分计算比导数计算灵活复杂，为提高求积分的效率，