职高数学第一轮复习教案-4平面向量5049.pdf

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1、职高数学 平面向量 第一轮复习-1-向量的概念 一、高考要求：理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.二、知识要点：1.有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以 A 为始点,B为终点的有向线段记作AB,应注意:始点一定要写在终点的前面,已知AB,线段 AB 的长度叫做有向线段AB的长(或模),AB的长度记作AB|.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.2.向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用

2、有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段AB表示向量时,我们就说向量AB.另外,在印刷时常用黑体小写字母a、b、c、等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a、b、c、等.与向量有关的概念有:(1)相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a和b同向且等长,即a和b相等,记作a=b.(2)零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定.(3)位置向量:任给一定点 O和向量a,过点 O作有向线段OAa,则点 A相对于点 O 的位置被向量a所 aaa唯一确定,这时向量a又常叫做点 A 相对于点 O 的位置向量.(4)相

3、反向量:与向量a等长且方向相反的向量叫做向量a的相反向量,记作a.显然,()0aa.(5)单位向量:长度等于 1的向量,叫做单位向量,记作e.与向量a同方向的单位向量通常记作0a,容易看出:0aaa .(6)共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a平行于向量b,记作ab.零向量与任一个向量共线(平行).三、典型例题：例:在四边形ABCD中,如果ABDC且ABBC ,那么四边形 ABCD是哪种四边形?四、归纳小结：1.用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据.2.共线

4、向量(平行向量)是方向相同或相反的向量,可能有下列情况:(1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.五、基础知识训练：职高数学 平面向量 第一轮复习-2-（一）选择题：1.下列命题中:(1)向量只含有大小和方向两个要素.(2)只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量.(3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.(4)点 A 相对于点B 的位置向量是BA.正确的个数是()A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4个 2.设 O 是正ABC 的中心,则向量,AO OB OC是(

5、)A.有相同起点的向量 B.平行向量 C.模相等的向量 D.相等向量 3.ab的充要条件是()A.ab B.ab 且ab C.ab D.ab 且a与b同向 4.AABB是四边形ABB A 是平行四边形的()A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 5.依据下列条件,能判断四边形 ABCD是菱形的是()A.ADBC B.ADBC且ABCD C.ABDC且ABAD D.ABDC且ADBC 6.下列关于零向量的说法中,错误的是()A.零向量没有方向 B.零向量的长度为0 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向任意 7.设与已知向量a等长且方向相反的向量为b,则它们的和向

6、量ab等于()A.0 B.0 C.2a D.2b（二）填空题：8.下列说法中:(1)AB与BA的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同 (4)长度相等的两个向量必共线。错误的说法有 .9.下列命题中:(1)单位向量都相等(2)单位向量都共线(3)共线的单位向量必相等 (4)与一非零向量共线的单位向量有且只有一个.中正确的命题的个数有 个.10.下列命题中:(1)若a=0,则a=0.(2)若ab=,则ab或ab.(3)若a与b是平行向量,则ab=.(4)若0a,则0a.其中正确的命题是 (只填序号).（三）解答题：11.如图,四边形

7、ABCD 于 ABDE 都是平行四边形.(1)若AEa,求DB;(2)若CEb,求AB;(3)写出和AB相等的所有向量;(4)写出和AB共线的所有向量.职高数学 平面向量 第一轮复习-3-向量的加法与减法运算 一、高考要求：掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则.掌握向量加法的交换律与结合律.二、知识要点：1.已知向量a、b,在平面上任取一点 A,作ABa,BCb,作向量AC,则向量AC叫做向量a与b的和(或和向量),记作a+b,即abABBCAC.这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的三角形法则.2.已知向量a、b,在平面上任取一点 A,作ABa,ADb,如果 A、B、D 不共线,

8、则以 AB、AD 为邻边作平行四边形 ABCD,则对角线上的向量AC=a+b=AB+AD.这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的平行四边形法则.3.已知向量a、b,在平面上任取一点O,作OAa,OBb,则b+BA=a,向量BA叫做向量a与b的差,并记作a-b,即BA=abOAOB.由此推知:(1)如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是减向量的终点到被减向量的终点的向量;(2)一个向量BA等于它的终点相对于点 O的位置向量OA减去它的始点相对于点 O 的位置向量OB;(3)一个向量减去另一个向量,等于加上这个向量的相反向量.4.向量加法满足如下运算律:(1)abba;(2)()()

9、abcabc.三、典型例题：例 1:已知任意两个向量a、b,不等式ab ab 是否正确?为什么?例 2:作图验证:()abab .四、归纳小结：1.向量的加法有三角形法则(ABBCAC)或平行四边形法则(AB+AD=AC),向量的减法法则(ABOBOA).2.向量的加减法完全不同于数量的加减法.向量加法的三角形法则的特点是,各个加向量的首尾相接,和向量是首指向尾.向量减法的三角形法则的特点是,减向量和被减向量同起点,差向量是由减向量指向被减向量.3.任一向量等于它的终点向量减去它的起点向量(相对于一个基点).五、基础知识训练：职高数学 平面向量 第一轮复习-4-（一）选择题：1.化简ABACB

10、DDC的结果为()A.AC B.AD C.0 D.0 2.在ABC 中,BCa CAb,则AB等于()A.ab B.()ab C.ab D.ba 3.下列四式中不能化简为AD的是()A.()ABCDBC B.()()ADMBBCCM C.MBADBM D.OCOACD 4.如图,平行四边形 ABCD 中,下列等式错误的是()A.ADABBD B.ADACCD C.ADABBCCD D.ADDCCA 5.下列命题中，错误的是()A.对任意两个向量a、b,都有ab ab B.在ABC 中,0ABBCCA C.已知向量AB,对平面上任意一点O,都有ABOBOA D.若三个非零向量a、b、c满足条件0

11、abc,则表示它们的有向线段一定能构成三角形 6 下列等式中，正确的个数是():0aa;baab;()aa;()0aa;()abab.A.2 B.3 C.4 D.5（二）填空题：6.在ABC 中,ABCA=,BCAC=.7.化简:ABACBDCD=,01122330A AA AA AA A=.（三）解答题：8.若某人从点 A 向东位移 60m到达点 B,又从点 B 向东偏北30方向位移 50m到达点C,再从点 C 向北偏西60方向位移 30m到达点 D,试作出点 A 到点 D 的位移图示.职高数学 平面向量 第一轮复习-5-6.3 数乘向量 一、高考要求：掌握数乘向量的运算及其运算律.二、知识

12、要点：1.数乘向量的一般定义:实数和向量a的乘积是一个向量,记作a.当0时,a与a同方向,aa=;当0时,a与a反方向,aa=;当0或0a 时,000a.2.数乘向量满足以下运算律:(1)1a=a,(-1)a=a;(2)()()aa;(3)()aaa;(4)()abab.三、典型例题：例 1:化简:111(2)(52)463ababb 例 2:求向量x:112()(3)42xabxcc 四、归纳小结：向量的加法、减法与倍积的综合运算,通常叫做向量的线性运算.五、基础知识训练：（一）选择题：1.下列关于数乘向量的运算律错误的一个是()A.()()aa B.()aaa C.()abab D.()a

13、bab 2.D,E,F分别为ABC 的边 BC,CA,AB 上的中点,且,BCa CAb,给出下列命题,其中正确命题的个数是()12ADab;12BEab;1122CFab;0ADBECF.A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知 AM 是ABC 的 BC 边上的中线,若,ABa ACb,则AM等于()A.1()2ab B.1()2ba C.1()2ab D.1()2ab 职高数学 平面向量 第一轮复习-6-4.设四边形 ABCD中,有12DCAB,且ADBC,则这个四边形是()A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形（二）填空题：5.化简:2(34)3(23)abcabc=.6.若向

14、量x满足等式:2()0 xax,则x=.7.数乘向量a的几何意义是 .（三）解答题：8.已知向量(也称矢量),a b,求作向量122xab.9.已知a、b不平行,求实数 x、y使向量等式3(10)(47)2xay byaxa恒成立.10.任意四边形ABCD中,E 是 AD 的中点,F 是 BC 的中点,求证:1()2EFABDC.a b 职高数学 平面向量 第一轮复习-7-平行向量和轴上向量的坐标运算 一、高考要求：掌握向量平行的条件,理解平行向量基本定理和轴上向量的坐标及其运算.二、知识要点：1.平行向量基本定理:如果向量0b,则ab的充分必要条件是,存在唯一的实数,使ab.该定理是验证两向

15、量是否平行的标准.2.已知轴,取单位向量e,使e与 同方向,对轴 上任意向量a,一定存在唯一实数 x,使axe.这里的 x叫做a在轴 上的坐标(或数量),x的绝对值等于a的长,当a与e同方向时,x 是正数,当a与e反方向时,x 是负数.(1)设1ax e,2bx e,则ab=当且仅当12xx;ab+=12()xx e.这就是说,轴上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等;轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.(2)向量AB的坐标通常用 AB 表示,常把轴上向量运算转化为它们的坐标运算,得著名的沙尔公式:AB+BC=AC.(3)轴上向量的坐标运算:起点和终点在轴上的向量的坐标等于它的终点坐

16、标减去起点坐标.即在轴 x 上,若点 A 的坐标为1x,点 B 的坐标为2x,则 AB=21xx.可得到数轴上两点的距离公式:21ABxx =.三、典型例题：例 1:已知:MN 是ABC 的中位线,求证:1,2MNBC MNBC.例 2:已知:13,3ae be,试问向量a与b是否平行?并求ab :.例 3:已知:A、B、C、D 是轴 上任意四点,求证:0ABBCCDDA 四、归纳小结：1.平面向量基本定理给出了平行向量的另一等价的代换式,应用这一定理,可以通过向量的运算解决几何中的平行问题.即判断两个向量平行的基本方法是,一个向量是否能写成另一向量的数乘形式.2.数轴上任一点P 相对于原点

17、O 的位置向量OP的坐标,就是点P 的坐标,它建立了职高数学 平面向量 第一轮复习-8-点的坐标与向量坐标之间的联系.五、基础知识训练：（一）选择题：1.如果(,0)amb mR b,那么a与b的关系一定是()A.相等 B.平行 C.平行且同向 D.平行且反向 2.若3,5ABe CDe,且ADCB =,则四边形 ABCD是()A.平行四边形 B.梯形 C.等腰梯形 D.菱形 3.“1 1220a ea e”是“10a 且20a”的()A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件（二）填空题：4.若3,6ae be,那么a与b的关系是 .5.在轴上,若8,23ABBC,则

18、AC=.6.已知:数轴上三点 A、B、C的坐标分别是-5、-2、6,则AB=,CA=,CB =.（三）解答题：7.已知:点 E、F、G、H 分别是四边形 ABCD的边 AB、BC、CD、DA 的中点,求证:EF=HG.职高数学 平面向量 第一轮复习-9-向量的分解 一、高考要求：理解平面向量的分解定理.二、知识要点：1.平面向量的分解定理:设1a,2a是平面上的两个不共线的向量,则平面上任意一个向量c能唯一地表示成1a,2a的线性组合,即112212(,)cx ax a x xR.2.直线的向量参数方程：(t 为参数):APtAB;OPOAtAB;(1)OPt OA tOB.特别地,当12t

19、时,1()2OPOA OB,此为中点向量表达式.三、典型例题：例 1:如图,在ABC 中,M 是 AB 的中点,E是中线 CM 的中点,AE的延长线交 BC 于F,MHAF,交 BC 于点 H,设,ABa ACb,试用基底a、b表示BH、MH、EC.例 2:如图,A、B 是直线 上任意两点,O 是 外一点,求证:点 P 在直线 上的充要条件是:存在实数t,使(1)OPt OA tOB.四、归纳小结：平面向量分解定理告诉我们:平面上取定两个不平行的向量作为基向量,则平面上的任一向量都可以表示为基向量的线性组合.于是,向量之间的运算转化为对两个向量的线性运算.五、基础知识训练：（一）选择题：1.如

20、图,用基底向量1e、2e表示向量a、b、c、d,不正确的一个是()A.a=1e+22e B.b=21e+32e C.c=31e+2e D.d=1e+32e 职高数学 平面向量 第一轮复习-10-2.在平行四边形ABCD中,O 是对角线AC和BD的交点,122,4ABe BCe,则212ee等于()A.AO B.BO C.CO D.DO 3.已知平行四边形ABCD的两条对角线AC 和 BD 相交于点M,设,ABa ADb,则用基底向量a、b分别表示MA、MB、MC、MD中,错误的一个是()A.1122ab B.1122ab C.1122ab D.1122ab 4.若点 P 满足向量方程APtAB

21、,当 t 在 R 内任意取值时,点 P 的轨迹是()A.直线 OA B.直线 OB C.直线 AB D.一条抛物线（二）填空题：5.已知 O、A、B 三点不共线,则用向量OA、OB分别表示线段AB 的三等分点P、Q相对于点O 的位置向量为 .6.在ABC中,DEBC,并分别与边AB、AC交于点D、E,如果AD=13AB,ABa ACb,则用a、b表示向量DE为 .7.正方形 ABCD 中,E 为 DC 的中点,ABa ADb,则BE=.8.已知平行四边形的边 BC 和 CD 的中点分别为 E、F,试把向量EF表示成AB、AD的线性组合为 .（三）解答题：9.ABCD是梯形,ABCD且AB=2C

22、D,M、N 分别是DC和AB的中点,已知,ABa ADb,求BC和MN.职高数学 平面向量 第一轮复习-11-向量的直角坐标 一、高考要求：掌握向量的直角坐标和点的坐标之间的关系,熟练掌握向量的直角坐标运算,会求满足一定条件的点的坐标,掌握平行向量坐标间的关系.二、知识要点：1.在直角坐标系 XOY内,分别取与 x 轴、与 y轴方向相同的两个单位向量1e、2e,在 XOY平面上任作一向量a,由平面向量分解定理可知,存在唯一的有序实数对12(,)x x,使得1 122ax ex e,则12(,)x x叫做向量a在直角坐标系XOY中的坐标,记作12(,)ax x.2.向量的直角坐标:任意向量AB的

23、坐标等于终点B 的坐标减去起点A 的坐标,即若A11(,)x y、B22(,)xy,则22112121(,)(,)(,)ABOBOAxyx yxx yy.向量a的直角坐标12(,)a a,也常根据向量的长度和方向来求:12aaaa cos,s i n.3.向量的坐标运算公式:设1212(,),(,)aa abb b,则:12121122(,)(,)(,)aba ab bab ab;12121122(,)(,)(,)aba ab bab ab;1212(,)(,)aa aaa.三、典型例题：例 1:已知 A(-2,1)、B(1,3),求线段 AB 的中点 M 和三等分点 P、Q的坐标及向量PQ的

24、坐标.例 2:若向量(1,1)(1,1)(1,2)abc、,把向量c表示为a和b的线性组合.四、归纳小结：1.向量在直角坐标系中的坐标分别是向量在 x 轴和 y 轴上投影的数量,向量的直角坐标运算公式是通过对基向量的运算得到的.2.要求平面上一点的坐标,只须求出该点的位置向量的坐标.五、基础知识训练：（一）选择题：1.已知向量(2,3)a,向量(1,1)b ,下列式子中错误的是()A.(1,4)ab B.(3,2)ab C.5(10,15)a D.2(4,6)a 2.已知1212(,),(,)aa abb b,则ab的充要条件是()职高数学 平面向量 第一轮复习-12-A.11ab B.22a

25、b C.11ab且22ab D.11ab或22ab 3.已知点 A(-1,1),B(-4,5),若3BCBA,则点 C 的坐标是()A.(-10,13)B.(9,-12)C.(-5,7)D.(5,-7)4.已知点 A(1,2),B(-1,3),2OAOA,3OBOB,则A B 的坐标是()A.(-5,5)B.(5,-5)C.(-1,13)D.(1,-13)5.已知 A(1,5),B(-3,3),则AOB 的重心的坐标为()A.1(,2)2 B.1 4(,)3 3 C.2 8(,)3 3 D.2 8(,)3 3 6.已知向量(1,2)a,向量(2,3)b ,则32ab等于()A.(-1,-12)

26、B.(3,-5)C.(7,-12)D.(7,0)7.已知a=(-4,4),点 A(1,-1),B(2,-2),那么()A.aAB B.aAB C.aAB|D.aAB 8.已知点 A(1,2),B(k,-10),C(3,8),且 A,B,C三点共线,则 k=()A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 9.已知(3,2),(,4)mnx,mn,则 x=()A.6 B.-6 C.83 D.83（二）填空题：10.设平行四边形 ABCD 的对角线交于点 O,(3,7)AD,(2,1)AB ,则OB的坐标是 .11.已 知(1,2)(1,1)abc,且cpaqb,则p,q 的 值 分 别为 .12.若向

27、量(2,)am与(,8)bm是方向相反的向量,则 m=.（三）解答题：13.已知(1,2)a,(2,3)b ,实数 x,y满足等式(3,4)xayb,求 x,y.14.已知向量(3,4)OA,将向量OA的长度保持不变绕原点 O 沿逆时针方向旋转34到OA的位置,求点A的坐标.15.已知向量a=(-3,4)、b=(-1,1),点 A 的坐标为(1,0).(1)计算32ab;(4分)(2)当13ABa 时,求 B 点的坐标.(6分)职高数学 平面向量 第一轮复习-13-职高数学 平面向量 第一轮复习-14-向量的长度和中点公式 一、高考要求：熟练掌握向量的长度(模)的计算公式(即两点间的距离公式)

28、、中点公式.二、知识要点：1.向量的长度(模)公式:若12(,)aa a,则2212aaa;若 A11(,)x y,B22(,)xy,则222121()()ABxxyy.2.中点公式:若 A11(,)x y,B22(,)xy,点 M(x,y)是线段 AB 的中点,则 1212,22xxyyxy.三、典型例题：例 1:已知平行四边形 ABCD 的顶点 A(-1,-2),B(3,1),C(0,2),求顶点 D 的坐标.例 2:已知 A(3,8),B(-11,3),C(-8,-2),求证:ABC 为等腰三角形.四、归纳小结：向量的长度公式、距离公式是几何度量的最基本公式,中点公式是中心对称的坐标表示

29、.五、基础知识训练：（一）选择题：1.已知向量a=(3,m)的长度是 5,则 m 的值为()A.4 B.-4 C.4 D.16 2.若 A(1,3),B(2,5),C(4,2),D(6,6),则()A.ABCD B.ABCD C.ABCD D.ABCD 3.已知平行四边形 ABCD的顶点 A(-3,0),B(2,-2),C(5,2),则顶点 D的坐标是()A.(0,4)B.(2,2)C.(-1,5)D.(1,5)4.已知点P 的横坐标是7,点 P 到点 N(-1,5)的距离是10,则点P 的坐标是()A.(7,11)B.(7,-1)C.(7,11)或(7,-1)D.(7,-11)或(7,1)（

30、二）填空题：5.已知 A(-3,4),B(4,-3),则AB=,AB=,线段 AB 的中点坐标是 .职高数学 平面向量 第一轮复习-15-6.已知点 P(x,2),Q(-2,-3),M(1,1),且PQPM=,则 x 的值是 .（三）解答题：7.已知平行四边形 ABCD的顶点 A(-1,-2),B(3,-1),C(3,1),求顶点 D 的坐标.8.已知点 A(5,1),B(1,3),及13OAOA,13OBOB,求A B 的坐标和长度.职高数学 平面向量 第一轮复习-16-平移公式 一、高考要求：掌握平移公式,会求满足一定条件的点的坐标.二、知识要点：1.平移是一种基本的几何(保距)变换,它本

31、身就是一个向量.教材中有点的平移和坐标轴的平移(平面解析几何中讲到).2.在图形 F上任取一点 P(x,y),设平移向量12(,)aa a到图形F上的点(,)P x y,则点的平移公式为:12,xxa yya.三、典型例题：例1:一种函数2yx的图象F 平移向量(2,3)a 到F的位置,求图象F的函数解析式.例 2:已知抛物线 F:2611yxx经一平移变换为F:2yx,求平移变换公式.四、归纳小结：点的平移法则:函数 y=f(x)的图象平移向量12(,)aa a后,得到新图形的方程是:y-2a=f(x-1a).这就是说,在方程 y=f(x)中,把 x,y分别换成 x-1a,y-2a,即可得到

32、图象F的方程.五、基础知识训练：（一）选择题：1.点 A(-2,1)平移向量a=(3,2)后,得到对应点A的坐标是()A.(1,3)B.(1,-3)C.(-1,3)D.(-1,-3)2.将函数22yx的图象 F,平移向量a=(-3,1)到图象F,则F对应的解析式是()A.22(3)1yx B.22(3)1yx C.22(3)1yx D.22(3)1yx 3.将函数 y=2x的图象,平移向量a=(0,3)到,则的方程是()职高数学 平面向量 第一轮复习-17-A.y=23x B.y=2(x+3)C.y=6x D.y=2x+3 4.(2000高职-7)将函数sinyx的图象右移12个单位,平移后对

33、应的函数为()A.1sin()2yx B.1sin()2yx C.cosyx D.cosyx 5.将函数 y=sin2x的图象平移向量a得到函数sin(2)3yx的图象,则a为()A.(6,0)B.(6,0)C.(3,0)D.(3,0)6.将方程 x2-4x-4y-8=0表示的图形经过平移向量a变换到 x2=4y的图形,则a=()A.(2,3)B.(-2,3)C.(2,-3)D.(-2,-3)7.函数22(2)1yx的图象平移向量a后得到函数22yx的图象,则a为()A.(2,1)B.(-2,1)C.(2,-1)D.(-2,-1)（二）填空题：8.在平移变换下,点 A(1,0)变为A(4,3)

34、,则平移向量a=.9.F:抛 物 线21 45 7yxx经 一 平 移 变 换 到2:Fyx,其 平 移 变 换 公 式为 .10.把图形 F平移向量a=(2,3)后得到图象F,已知F的解析式为2614yxx,则 F 对应的函数解析式为 .（三）解答题：11.已知函数1yx的图象为 F,把 F平移向量a=(3,2)到图象F,求图象F的表达式.职高数学 平面向量 第一轮复习-18-向量的射影与内积 一、高考要求：了解向量在轴上投影的概念,掌握向量在轴上投影的数量计算,熟练掌握向量内积的概念及其运算性质,初步掌握向量的应用.二、知识要点：1.以 x 轴的正半轴为始边,以射线 OA 为终边的角,叫做

35、向量a的方向角.向量a在轴 上的投影数量为aa cos.2.两个向量a,b的内积揭示了长度、角度与向量投影之间的深刻联系:(1)两个向量的内积等于一个向量的长与另一个向量在这个方向上正投影数量的乘积,即,a baba bbaa b (cos)=(cos);(2)两个向量的内积等于这两个向量的模与它们夹角的余弦的积,即,a ba ba b cos;(3)两个向量的内积是数量而不是向量.3.内积运算的性质:(1)如果e是单位向量,则,a ee aaa e=cos;(2)0aba b;(3)a aa2或aa a=;(4),a ba ba bcos;(5)a bab .4.向量内积的坐标运算与运算律:

36、(1)向量内积的坐标运算:已知1212(,),(,)aa abb b,则1 12 2a baba b;(2)内积的运算律:交换律a bb a;结合律()()()a babba;分配律()abca cb c.三、典型例题：例 1:在直角坐标系 xOy中,已知OA的方向角为 60,OB的方向角为180,OC的方向角为 300,且它们的长度都等于2.(1)求OA,OB,OC的坐标;(2)求证:OA+OB+OC=0.例 2:已知(3,1)a,(1,2)b,求a b、a、b、,a b.四、归纳小结：要求会根据已知条件,求向量在轴上的投影数量;能直接用向量的内积公式,求两向量的内积或夹角;会证明两向量互相

37、垂直.五、基础知识训练：（一）选择题：职高数学 平面向量 第一轮复习-19-1.下面命题正确的是()A.向量的方向角在0,之间 B.向量在 x 轴的正投影的数量总是正数 C.0,a b,(,a b是两个非零向量)D.两个向量的内积仍是向量 2.若a b=0,则()A.0a B.0b C.0a 或0b D.ab 3.四边形 ABCD 中,0AB BC,ABDC,则四边形 ABCD是()A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形（二）填空题：4.已知a=6,b在a方向上的正投影数量为-8,则a b=.5.若(3,4)a,(1,7)b,则a b=,a b=.6.已知a=50,a的方向与轴 的正方向转角为 135,则a在 上的正射影的数量是 .（三）解答题：7.在直角坐标系 xOy中,已知OA的方向角为 0,OB的方向角为120,OC的方向角为 240,且它们的长度都等于5.(1)求OA,OB,OC的坐标;(2)求证:OA+OB+OC=0.8.已知点 A(2,1),B(3,5),C(-2,2),求证ABC为等腰直角三角形.