高中数学各章节基础练习-立体几何基础题10603.pdf

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1、-1-立体几何基础 A 组题一、选择题：1下列命题中正确命题的个数是 （）三点确定一个平面 若点 P 不在平面内，A、B、C 三点都在平面内，则 P、A、B、C 四点不在同一平面内 两两相交的三条直线在同一平面内 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 A.0 B.1 C.2 D.3 答案：A 2已知异面直线a和b所成的角为50，P 为空间一定点，则过点 P 且与a、b所成的角都是30的直线条数有且仅有 （）A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 答案：B 3已知直线l平面，直线m平面，下列四个命题中正确的是 （）(1)若/，则ml (2)若，则ml/(3)若ml/，则 (4)若 ml，

2、则/A.(3)与（4）B.（1）与（3）C.（2）与（4）D.（1）与（2）答案：B 4已知m、n为异面直线，m平面，n平面，l，则l （）A.与m、n都相交 B.与m、n中至少一条相交 C.与m、n都不相交 D.至多与m、n中的一条相交 答案：B 5设集合 A=直线，B=平面，BAC，若Aa，Bb，Cc，则下列命题中的真命题是 （）A.cababc/B.cacbba/C.cabcba/D.cabcba/答案：A 6已知a、b为异面直线，点 A、B 在直线a上，点 C、D 在直线b上，且 AC=AD，BC=BD，则直线a、b所成的角为 （）A.90 B.60 C.45 D.30 答案：A 7下

3、列四个命题中正确命题的个数是 （）有四个相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱 各侧面都是正方形的四棱柱是正方体 底面是正三角形，各侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个 答案：D -2-8设 M=正四棱柱，N=长方体，P=直四棱柱，Q=正方体，则这些集合之间关系是 （）A.QMNP B.QMNP C.QNMP D.QNMP 答案：B 9正四棱锥 PABCD 中，高 PO 的长是底面长的21，且它的体积等于334cm，则棱 AB 与侧面 PCD 之间的距离是 （）A.cm2 B.cm2 C.cm1 D.cm22 答案：A 10纬度为的纬圈上有 A、B 两点

4、，弧在纬圈上，弧 AB 的长为cosR（R 为球半径），则 A、B 两点间的球面距离为 （）A.R B.R)(C.R)2(D.R)2(答案：D 11长方体三边的和为 14，对角线长为 8，那么 （）A.它的全面积是 66 B.它的全面积是 132 C.它的全面积不能确定 D.这样的长方体不存在 答案：D 12正四棱锥 PABCD 的所有棱长都相等，E 为 PC 的中点，那么异面直线 BE 与 PA 所成角的余弦值等于 （）A.21 B.22 C.32 D.33 答案：D 13用一个过正四棱柱底面一边的平面去截正四棱柱，截面是 （）A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.一般平行四边形 答案：B 二

5、、填空题：14正方体1111DCBAABCD 中，E、F、G 分别为 AB、BC、CC1的重点，则 EF 与 BG 所成角的余弦值为_ 答案：510 15二面角 a内一点 P 到两个半平面所在平面的距离分别为22和 4，到棱a的距离为24，则这个二面角的大小为_ 答案：16575 或 16.四边形 ABCD 是边长为a的菱形，60BAD，沿对角线 BD 折成120的二面角 ABDC 后，AC与 BD 的距离为_ 答案：a43 -3-17 P 为120的二面角a内一点，P 到、的距离为 10，则 P 到棱a的距离是_ 答案：3320 18如图：正方形 ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平

6、面成60的二面角，则异面直线 AD 与 BF 所成角的余弦值是_ 答案：42 CDBAFE 19已知三棱锥 PABC 中，三侧棱 PA、PB、PC 两两互相垂直，三侧面与底面所成二面角的大小分别为,，则222coscoscos_ 答案：1 20若四面体各棱的长是 1 或 2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是_（只需写出一个可能的值）。答案：)12141211(611或 21三棱锥 PABC 的四个顶点在同一球面上，PA、PB、PC 两两互相垂直，且这个三棱锥的三个侧面的面积分别为6,32,2，则这个球的表面积是_ 答案：18 三、解答题：22已知直线a，直线a直线b，b，求证：/b 答案

7、：略 23如图：在四面体 ABCD 中，BCDAB平面，BC=CD，90BCD，30ADB，E、F 分别是 AC、AD 的中点。（1）求证：平面 BEF平面 ABC；（2）求平面 BEF 和平面 BCD 所成的锐二面角。答案：（1）略；（2）36arctan -4-BDACFE 27如图所示：已知PAO 所在的平面，AB 是O 的直径，C 是O 上任意一点，过 A 作PCAE 于 E，求证：PBCAE平面。答案：略 P E A O B C 24已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为a，求异面直线 B1C 和 BD1间的距离。答案：a66 25如图：正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为

8、a，E、F、G 分别是 AB、CC1、B1C 的中点，求异面直线EG 与 A1F 的距离。答案：a42 D1C1B1A1DCBAFGHE 26矩形 ABCD 中，AB=6，BC=32，沿对角线 BD 将ABD向上折起，使点 A 移至点 P，且 P 在平面BCD 上射影位 O，且 O 在 DC 上，（1）求证：PCPD；（2）求二面角 PDBC 的平面角的余弦值；（3）求直线 CD 与平面 PBD 所成角正弦值。-5-答案：（1）略，（2）31，（3）32 DBPC 28已知：空间四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,M、N 分别为 BC 和 AD 的中点，设 AM和 C

9、N 所成的角为，求cos的值。答案：32 29已知：正三棱锥 SABC 的底面边长为a，各侧面的顶角为30，D 为侧棱 SC 的重点，截面DEF过 D 且平行于 AB，当DEF周长最小时，求截得的三棱锥 SDEF 的侧面积。答案：2832a 30在四面体 ABCD 中，AB=CD=5，AC=BD=52，AD=BC=13,求该四面体的体积。答案：8 立体几何基础 B 组题 一、选择题：1 在直二面角AB的棱 AB 上取一点 P，过 P 分别在、两个平面内作与棱成45 的斜线 PC、PD，那么CPD的大小为 （）A.45 B.60 C.120 D.12060 或 答案：D 2如果直线l、m与平面、

10、满足：l，/l，m和m，那么必有（）A.且ml B.且/m C./m且ml D./且 答案：A 3在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 （）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 答案：D E F 4如图：在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长 为 3 的正方形，EF/AB，23EF，EF 与面 AC 的距 D C 离为 2，则该多面体的体积为 （）-6-A.29 B.5 C.6 D.215 A B 答案：D 5如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的大小关系是 （）A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.大小关系不确定 答案：D

11、 6已知球的体积为36，则该球的表面积为 （）A.9 B.12 C.24 D.36 答案：D 7已知/MN，AM1，且1MM，MNNA，若2MN，31AM，4NA，则NM1等于 （）A.15 B.5 C.13 D.132 答案：A 8异面直线a、b成60角，直线ac，则直线b与c所成角的范围是 （）A.90,30 B.90,60 C.120,60 D.120,30 答案：A 9一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面 （）A.至多只有一个是直角三角形 B.至多只有两个是直角三角形 C.可能都是直角三角形 D.必然都是非直角三角形 答案：C 10如图：在斜三棱柱 ABCA1B1C1

12、的底面ABC中，B1 C1 90A，且ACBC 1，过 C1作HC1底面 ABC，A1 垂足为 H，则点 H 在 （）A.直线 AC 上 B.直线 AB 上 B C C.直线 BC 上 D.ABC内部 A 答案：B 11如图：三棱锥 SABC 中，21SCSGFSBFEASE，则截面 EFG 把三棱锥分成的两部分的体积之比为 （）A.9:1 B.7:1 C.8:1 D.25:2 答案：C ACBSFGE -7-12正四面体内任意一点到各面的距离和为一个常量，这个常量是 （）A.正四面体的一个棱长 B.正四面体的一条斜高的长 C.正四面体的高 D.以上结论都不对 答案：C 13球面上有三点 A、

13、B、C，每两点之间的球面距离都等于大圆周长的61，过三点的小圆周长为4，则球面面积为 （）A.16 B.24 C.32 D.48 答案：D 二、填空题：14、是两个不同的平面，nm,是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：nm n m以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是_答案：或 15关于直角 AOB 在平面内的射影有如下判断：可能是0的角；可能是锐角；可能是直角；可能是钝角；可能是180的角，其中正确判断的序号是_(注：把你认为是正确判断的序号都填上)答案：16如图所示：五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点 M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得

14、出l面 MNP 的图形的序号是_ MNlP lMNP lPMN lMPN lPMN 答案：17如图：平面/平面/平面，且在、之间。若和的距离是 5，和的距离是 3，直线l和、分别交于 A、B、C，AC=12，则 AB=_，BC=_ 答案：29215或 -8-llACPBDQ 18已知三条直线两两异面，能与这三条直线都相交的直线有_条。答案：无数 19一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为 1 的正三角形，这样的三棱锥体积为_（写出一个可能值）答案：123122242或或 20正三棱锥两相邻侧面所成角为，侧面与底面所成角为，则2coscos2=_ 答案：1 21正四面体的四

15、个顶点都在表面积为36的一个球面上，则这个正四面体的高等于_ 答案：4 22如图所示：A1B1C1D1是长方体的一个斜截面，其中 AB=4，BC=3，CC1=12，AA1=5，则这个几何体的体积为_ ABCDA1B1C1D1 答案：102 三、解答题：23已知平面/平面，AB、CD 是夹在、间的两条线段，A、C 在内，B、D 在内，点 E、F分别在 AB、CD 上，且nmFDCFEBAE:，求证：/EF 24 在底面是直角梯形的四棱锥 SABCD 中，90ABC，ABCDSA面，SA=AB=BC=1，21AD，（如图），（1）求四棱锥 SABCD 的体积；（2）求面 SCD 与面 SAB 所成

16、二面角的正切值。-9-答案：（1）41ABCDSV，（2）22 BCDSA 25 从二面角MN内一点 A 分别作 AB平面于 B，AC平面于 C，已知 AB=3cm，AC=1cm，60ABC，求：（1）二面角MN的度数；（2）求点 A 到棱 MN 的距离。答案：（1）120，（2）2132 26如图：在棱长为a的正方体CBAOOABC 中，E、F 分别是棱 AB、BC 上的动点，且 AE=BF，（1）求证：ECFA；（2）当三棱锥BEFB 的体积取得最大值时，求二面角BEFB的大小。答案：（1）略，（2）22arctan O1C1B1A1OCABEF 27已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1

17、，AB=1，AA1=2，点 E 为 CC1中点，点 F 为 BD1中点（如图），（1）证明 EF 为 BD1与 CC1的公垂线；（2）求点 D1到面 BDE 的距离。-10-D1C1B1A1DCBAEF 答案：（1）略，（2）332 28如图：在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，90ACB，侧棱 AA1=2，D、E分别是 CC1与 A1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD的重心 G。（1）求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点 A1到平面 AED 的距离。C1A1B1CABGDE 答案：（1）32arcsin，（2）3

18、62 29如图：三棱柱111BAOOAB，平面 OBB1O1平面 OAB，601OBO，90AOB，且OB=OO1=2，OA=3,求:（1）二面角 O1ABO 的大小；（2）异面直线 A1B 与 AO1所成角的大小。(上述结果用反三角函数值表示)答案：（1）7arctan，（2）71arccos -11-C1B1A1CBA 30PD矩形 ABCD 所在平面，连 PB，PC，BD，求证：90BPCPBD，如图。DCBAP 31长方形纸片 ABCD，AB=4，BC=7，在 BC 边上任取一点 E，把纸片沿 AE 折成直二面角，问 E 点取何处时，使折起后两个端点 B、D 之间的距离最短？答案：当

19、BE=4 时，BD 的最小值为37 32如图：BCD内接于直角梯形 A1A2A3D，已知沿BCD三边把BDA1、BCA2、CDA3翻折上去，恰好使 A1、A2、A3重合成 A，（1）求证：CDAB；（2）若101DA，821AA，求二面角 ACDB 的大小。答案：（1）略，（2）817arctan A1DA2A3BC 32如图：四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PD平面 ABCD，AD=PD，E、F 分别为 CD、PB的中点。（1）求证：EF平面 PAB；（2）设 AB=2BC，求 AC 与平面 AEF 所成的角的大小。-12-CDABPFE 答案：（1）略，（2）63arcsi

20、n 33在三棱锥 PABC 中，PA、BC 的长度分别为a、b，PA 与 BC 两条异面直线间的距离为h，且 PA与 BC 所成的角为，求三棱锥 PABC 的体积。答案：sin61abh 34如图所示：四棱锥 PABCD 中，侧面 PDC 是边长为 2 的正三角形，且与底面垂直，底面 ABCD 是面积为32的菱形，ADC为菱形的锐角，M 为 PB 的重点，（1）求证：CDPA；（2）求二面角 PABD 的度数；（3）求证：平面 CDM平面 PAB；（4）求三棱锥 CPDM 的体积。CBADPM 答案：（1）略，（2）45，（3）略，（4）21 35 如图所示：直三棱柱 ABCA1B1C1中，A

21、C=BC=AA1=2，90ACB，E 为 BB1中点，901DEA，（1）求证：CD平面 A1ABB1；（2）求二面角 CA1ED 的大小；（3）求三棱锥 A1CDE 的体积。答案：（1）略，（2）45，（3）1 -13-A1C1B1ABCDE 36 如图所示：已知在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，AC=BC，D 为 AB 的中点，平面 A1B1C1平面 ABB1A1，异面直线 BC1与 AB1互相垂直。（1）求证：AB1平面 A1CD；（2）若 CC1与平面 ABB1A1的距离为 1，371CA，51AB，求三棱锥ACDA 1的体积。答案：（1）略，（2）35 A1B1C1ACBD 立体几何

22、基础 C 组题 一、选择题：1过空间任一点作与两条异面直线成60的直线，最多可作的条数是 （）A.4 B.3 C.2 D.1 答案：A 2用一块长方形钢板制作一个容积为 4m3的无盖长方体水箱，可用的长方形钢板有下列四种不同的规格（长宽的尺寸如各选项所示，单位均为 m）。若既要够用，又要所剩最小，则应选择钢板的规格是 （）A.52 B.5.52 C.1.62 D.53 答案：C 3已知集合 M=直线的倾斜角，集合 N=两条异面直线所成的角，集合 P=直线与平面所成的角，则下列结论中正确的个数是 （）（1）2,0()(PNM （2）,0()(PNM（3）2,0()(PNM （4）)2,0()(P

23、NM A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 -14-答案：D 4已知圆锥的底面半径为 R，高为 3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A.22 R B.249R C.238R D.225R 答案：B 5一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （）A.3 B.4 C.33 D.6 答案：A 6如图：四棱锥 PABCD 的底面为正方形，P PD平面 ABCD，PD=AD=1，设点 C 到平面 PAB 的距离为1d，点 B 到平面 PAC 的距离2d，则有（）A.211dd B.121 dd D C C.211dd D.112 dd A B 答案：D

24、7平行六面体 ABCDA1B1C1D1的六个面都是菱形，则 D1在面 ACB1上的射影是1ACB的（）A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 答案：D 8设正三棱锥 PABC 的高为 PO，M 为 PO 的中点，过 AM 作与棱 BC 平行的平面，将三棱锥截为上、下两部分，则这两部分体积之比为 （）A.254 B.2521 C.214 D.174 答案：C 9 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是332,那么该三棱柱的体积是 （）A.396 B.316 C.324 D.348 答案：D 10在侧棱长为32的正三棱锥 SABC 中，40CSABSCASB，过 A 作

25、截面 AEF，则截面的最小周长为 （）A.22 B.4 C.6 D.10 答案：C 11设 O 是正三棱锥 PABC 底面ABC的中心，过 O 的动平面与 PABC 的三条侧棱或其延长线的交点分别记为 Q,R,S，则和式PSPRPQ111满足 （）A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值 C.既有最大值又有最小值，且最大值与最小值不等 D.是一个与平面 QRS 为之无关的常量 答案：D 12三棱锥的三个侧面两两互相垂直，且三条侧棱长之和为 3，则三棱锥体积的最大值为（）-15-A.1 B.61 C.31 D.6 答案：B 二、填空题：13过正方体的每三个顶点都可确定一个平面，其中能与这个

26、正方体的 12 条棱所成的角都相等的不同平面的个数为_个 答案：8 14在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边 AB、AC 互相垂直，则222BCACAB。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥 ABCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则_”答案：BCDADBACDABCSSSS2222 15下图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题（1）AB 与 EF 所在直线平行；（2）AB 与CD 所在直线异面；（3）MN 与 BF 所在直线成60角；（4）MN 与 CD 所在直线互相垂直，其中正确命

27、题的序号为_（将所有正确的都填入空格内）NEAFCBDM 答案：（2）、（4）16如图：在透明塑料制成的长方体 ABCDA1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边 BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个命题：D1C1B1A1DCBAHGFE HBCDA1B1C1D1AGFE 水的部分始终呈棱柱形；水面四边形 EFGH 的面积不变；棱 A1D1始终与水面 EFGH 平行；当容器倾斜如图所示时，BEBF 是定值，其中所有正确命题的序号是_ 答案：17已知将给定的两个全等的正三棱锥的底粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为 2，则最远的两

28、顶点间的距离为_ 答案：3 三、解答题：-16-18在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=a，bBC，cAA 1，求异面直线 BD1和 B1C 所成角的余弦值。答案：2222222cbcbabc 19如图所示：四棱锥 PABCD 的底面是边长为a的正方形，PA面 ABCD，（1）平面 PAD平面 ABCD 所成的二面角为60，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面 PAD 与面 PCD 所成的二面角恒大于90。答案：（1）333aVABCDP，（2）略 BADCP 20如图：已知平行六面体DCBAABCD 的底面 ABCD 是菱形，且BCDCDCCBC11，（1）证明：

29、BDCC 1；（2）当1CCCD的值为多少时，能使CA1平面 C1BD？请给出证明。O1A1D1A1BACD 答案：（1）略，（2）11CCCD 21在长方体 ABCDA1B1C1D1中，已知 AA1=2，AB=3，AD=a,求：（1）异面直线 B1C 与 BD1所成的角；（2）当a为何值时，使 B1CBD1？答案：（1）4134arccos222aaa，（2）2a 22如图：正三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱长为 2，底面边长为 1，M 是 BC 的中点，在直线 CC1上找一点N，使 MNAB1.答案：41CN -17-A1C1B1ACBMN 23如图：正方形 ABCD、ABEF 的边长都是

30、 1，而且平面 ABCD、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM=BN=a，)20(a。（1）求 MN 的长；（2）当a为何值时，MN 的长最小；（3）当 MN 长最小时，求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角的大小。CBEFADNM 答案：（1）)20(21)22(2aaMN （2）22a （3）)31arccos(24正三棱柱 ABCA1B1C1的棱 AA1上存在动点 P，已知 AB=2，AA1=3，求截面 PBC 与 PB1C1所成二面角的最值。答案：34arctanmax，3min 25如图所示：平面 EAD平面 ABCD，ADE是等边三角形

31、，ABCD 是矩形，F 是 AB 的中点，G 是AD 的中点，EC 与平面 ABCD 成30的角。（1）求证：EG平面 ABCD；（2）当 AD=2 时，求二面角 EFCG 的度数；（3）当 AD 的长是多少时，D 点到平面 EFC 的距离为 2，请说明理由。答案：（1）略，（2）45，（3）6AD -18-ABCDEFG C1B1A1CABD 26如图所示：斜三棱柱 ABCA1B1C1中，90ACB，BC=2，B1在底面 ABC 上的射影 D 恰是 BC中点，侧棱与底面成60角，侧面 A1ABB1与侧面 B1BCC1成30角，。求该柱体的侧面积和体积。答案：3 27如图：长方体1111DCB

32、AABCD 中，11 AAAD，,2AB点 E 在棱AB 上移动。（1）证明：DAED11；（2）当 E 为 AB 的中点时，求点 E 到面 ACD1的距离；（3）AE 等于何值时，二面角DECD1的大小为4。D1 C1 A1 B1 D C A E B 答案：（1）略（2）31（3）32 28如图：在四棱锥ABCDP中，底面ABCD为矩形，侧棱ABCDPA底面，3AB，1BC，2PA，E 为 PD 的中点。（1）求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值；（2）在侧面 PAB 内找一点 N，使PACNE平面,并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离。P E D C A B -19-答案：（1）14

33、73（2）1、63 29如图：在直二面角EABD中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，EBAE，F 为 CE 上的点，且ACEBF平面。（1）求证：BCEAE平面；（2）求二面角EACB的大小；（3）求点 D 到平面 ACE 的距离。D C F A B E 答案：（1）略（2）36arcsin（3）332 30如图：在斜三棱柱111CBAABC 中，ACAABA11，aBAAAACAB11,，侧面 B1BCC1与底面 ABC 所成的二面角为120，E、F 分别是棱 B1C1、A1A 的中点。（1）求 A1A 与底面 ABC 所成的角；（2）证明FCB/11平面EA；（3）求经过 A1、A、B、C 四点的球的体积。C1 E A1 B1 F C A B 答案：（1）60（2）略（3）32734a