北京市朝阳区高三第二学期二模文科数学试题[]5868.pdf

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1、北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学学科测试（文史类）2013.第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合0,1,3M，3,Nx xa aM，则MN=A.0 B.0,3 C.1,3,9 D.0,1,3,9（2）已知p：(1)(2)0 xx，q：2log(1)1x，则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件（3）函数()sin()4f xx（xR）的图象的一条对称轴方程是 A0 x B.4x C.4x D2x （4）执行如图所示

2、的程序框图，若输出的结果是16，则判断框内的条件是 A.6n?B.7n?C.8n?D.9n？（5）若双曲线22221(0,0)xyabab的渐近线与抛物线22yx相切，则此双曲线的离心率等于 A 2 B3 C6 D9 （6）将一个质点随机投放在关于,x y的不等式组3419,1,1xyxy所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是 A 12 B 6 C112 D16（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 A16 B13 C12 D1 （第 7 题图）否 开始 S=0 n=1 S=S+n 输出 S 结束 是 n=n+2 1 1 1 正视图 侧视图（）已

3、知函数()21(0)xf xaa，定义函数(),0,()(),0.f xxF xf xx 给出下列命题：()()F xf x；函数()F x是奇函数；当0a 时，若0mn，0mn，总有()()0F mF n成立，其中所有正确命题的序号是 A B C D 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上.（9）i为虚数单位，计算3i1 i （10）已知向量(2,1),(3,)xab，若(2)abb，则x的值为 .（11）已知等差数列 na的公差为2，3a是1a与4a的等比中项，则首项1a_,前n项和nS_.（12）若直线l与圆2

4、2(1)4xy相交于A,B两点，且线段AB的中点坐标是(1,2)，则直线l的方程为 .（13）某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨(x为600的约数)，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x万元.若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨（14）数 列21n的 前n项1,3,7,21n组 成 集 合1,3,7,21()nnAnN，从 集 合nA中 任 取k(1,2,3,)kn个数，其所有可能的k个数的乘积的和为kT（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12nnSTTT 例如当1n 时，11A，11T，11S；当2n 时，21,3A，113T ，21 3T ，21 3

5、 1 37S .则当3n 时，3S ；试写出nS 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（15）（本小题满分 13 分）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且()f A 2cossin()22AA22sincos22AA.（）求函数()f A的最大值；（）若()0,612f ACa，求 b 的值 （16）（本小题满分 13 分）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于 6 米为不合格，成绩在 6 至 8 米（含 6 米不含 8 米）的为及格，成绩在 8 米

6、至 12 米（含 8 米和 12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过 12 米）为优秀把获得的所有数据，分成2,4),4,6),6,8),8,10),10,12五组，画出的频率分布直方图如图所示已知有 4 名学生的成绩在 10 米到 12 米之间（）求实数a的值及参加“掷实心球”项目 测试的人数；（）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；（）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取 2 名学生再进行其它项目的测试，求所抽 取的 2 名学生来自不同组的概率 （17）（本小题满分 14 分）如图，已知四边形ABCD是正方形，EA 平面ABCD，

7、PDEA，22ADPDEA，F,G,H分别为BP,BE,PC的中点.（）求证：FG平面PDE；（）求证：平面FGH 平面AEB；（）在线段PC上是否存在一点M,使PB 平面EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由.（18）（本小题满分 13 分）B D C F G H A E P 组距 频率 米 频率分布直方图 0.025 0.075 2 4 6 8 10 0.150 0.200 12 a 已知函数()axf xax21，()lng xaxx（0a）.（）求函数()f x的单调区间；（）求证：当0a 时，对于任意12,0,ex x，总有12()()g xf x成立.（19）（本小

8、题满分 14 分）已知椭圆2222:1xyCab0ab的右焦点F(1,0)，长轴的左、右端点分别为12,A A,且121FA FA.（）求椭圆C的方程；（）过焦点F斜率为k(0)k 的直线l交椭圆C于,A B两点，弦AB的垂直平分线与x轴相交于点D.试问椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形？若存在，试求点E到y轴的距离；若不存在，请说明理由.（20）（本小题满分 13 分）已知实数12,nx xx（nN且2n）满足|1ix 1,2,in，记121(,)nijij nS x xxx x .（）求2(1,1,)3S 及(1,1,1,1)S 的值；（）当3n 时，求123(,)S x xx的

9、最小值；（）当n为奇数时，求12(,)nS x xx的最小值 注：1ijij nx x 表示12,nx xx中任意两个数ix,jx（1ijn）的乘积之和.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试答案（文史类）2013.5 一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案 D A B C B C A C 二、填空题：题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案 2 i-1或3 8；nn92 nN 30 xy 30 63；(1)221n n（注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分）三、解答题：（15）（本小题满分 13 分）（）22()2cossins

10、incos2222AAAAf A sincos2sin()4AAA.因为0A，所以444A.则所以当42A，即34A时，()f A取得最大值，且最大值为2.7 分（）由题意知()2sin()04f AA，所以sin()04A 又知444A，所以04A，则4A.因为12C，所以712AB，则3B.由sinsinabAB得，6 sinsin33sinsin4aBbA 13 分（16）（本小题满分 13 分）解：（）由题意可知(0.20.150.0750.025)21a，解得0.05a.所以此次测试总人数为4400.05 2 答：此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为 40 人 4 分（）由图可知，

11、参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为(0.150.05)20.4，则估计从 该 市 初 二 年 级 男 生 中 任 意 选 取 一 人，“掷 实 心 球”成 绩 为 优 秀 的 概 率 为0.4 7 分（）设事件 A：从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取 2 名学生来自不同组 由已知，测试成绩在2,4有 2 人，记为,a b；在4,6有 6 人，记为,A B C D E F 从这 8 人中随机抽取 2 人有,ab aA aB aC aD aE aF bA bB bC bD bE bF，,AB AC AD AE AF BC BD BE BF CD CE CF DE DF E

12、F共 28 种情况 事件 A 包括,aA aB aC aD aE aF bA bB bC bD bE bF共 12 种情况 所以123()287P A 答：随机抽取的 2 名学生来自不同组的概率为37 13 分（17）（本小题满分 14 分）（）证明：因为F,G分别为PB，BE的中点，所以FGPE.又因为FG平面PED，PE平面PED，所以FG平面PED.4 分 （）因为EA 平面ABCD，所以EACB.又因为CBAB，ABAEA，所以CB 平面ABE.由已知F,H分别为线段PB,PC的中点，所以FHBC.则FH 平面ABE.而FH 平面FGH，所以平面FGH平面ABE.9 分（）在线段PC上

13、存在一点M，使PB 平面EFM.证明如下：在直角三角形AEB中，因为1AE,2AB,所以5BE.在直角梯形EADP中，因为1AE，2ADPD,所以5PE，所以PEBE.又因为F为PB的中点，所以EFPB.要使PB 平面EFM，只需使PBFM.因为PD 平面ABCD，所以PDCB，又因为CBCD，PDCDD,所以CB 平面PCD，而PC 平面PCD，所以CBPC.若PBFM，则PFMPCB,可得PMPFPBPC.由已知可求得2 3PB，3PF，2 2PC，所以3 22PM.14 分（18）（本小题满分 13 分）解：（）函数()f x的定义域为R，A E B D C P F G H M()()(

14、)()()()axaxxfxxx2222211111.当a 0时，当x变化时，()fx，()f x的变化情况如下表：x(,)1 1(,)1 1 1(,)1()fx 0 0 ()f x 当a 0时，当x变化时，()fx，()f x的变化情况如下表：x(,)1 1(,)1 1 1(,)1()fx 0 0 ()f x 综上所述，当a 0时，()f x的单调递增区间为(,)1 1，单调递减区间为(,)1，(,)1；当a 0时，()f x的单调递增区间为(,)1，(,)1，单调递减区间为(,)1 1.5 分 （）由（）可知，当0a 时，()f x在(,)0 1上单调递增，()(0)f xf；()f x在

15、(,e1上单调递减，且2e(e)e1afaa.所以(0,ex时，()f x a.因为()lng xaxx，所以()1ag xx，令()0g x，得xa.当0ea时，由()0g x，得0 xa；由()0g x，得xa，所以函数()g x在(0,)a上单调递增，在(,ea上单调递减.所以max()()lng xg aaaa.因为(ln)(2ln)(2lne)0aaaaaaaa，所以对于任意12,0,ex x，总有12()()g xf x.当ea 时，()0g x在(0,e上恒成立，所以函数()g x在(0,e上单调递增，max()(e)e g xgaa.所以对于任意12,0,ex x，仍有12()

16、()g xf x.综上所述，对于任意12,0,ex x，总有12()()g xf x.13 分（19）（本小题满分 14 分）解：（）依题设1(,0)Aa，2(,0)A a，则1(1,0)FAa ，2(1,0)FAa.由121FA FA，解得22a，所以21b.所以椭圆C的方程为2212xy.4 分 （）依题直线l的方程为(1)yk x.由22(1),22yk xxy得2222214220kxk xk.设11(,)A x y,22(,)B xy,弦AB的中点为00(,)M xy，则2122421kxxk，21222(1)21kx xk，202221kxk，0221kyk，所以2222(,)21

17、 21kkMkk.直线MD的方程为22212()2121kkyxkkk，令0y，得2221Dkxk，则22(,0)21kDk.若四边形ADBE为菱形，则02EDxxx，02EDyyy.所以22232(,)21 21kkEkk.若点E在椭圆C上，则2222232()2()22121kkkk.整理得42k，解得22k.所以椭圆C上存在点E使得四边形ADBE为菱形.此时点E到y的距离为123 27.14 分 （20）（本小题满分 13 分）解：（）由已知得222(1,1,)11333S (1,1,1,1)1 1 1 1 1 12S 3 分 （）3n 时，123121 32313(,)ijijSS x

18、 x xx xx xx xx x 固定23,xx，仅让1x变动，那么S是1x的一次函数或常函数，因此2323min(1,),(1,)SSxxSxx 同理2333(1,)min(1,1,),(1,1,)SxxSxSx 2333(1,)min(1,1,),(1,1,)SxxSxSx 以 此 类 推，我 们 可 以 看 出，S的 最 小 值 必 定 可 以 被 某 一 组 取 值1的123,x xx所 达 到，于 是12311,2,3min(,)kxkSS x x x 当1kx （1,2,3k）时，22221231231()()2Sxxxxxx 212313()22xxx 因为123|1xxx，所以

19、13122S ，且当121xx，31x ，时1S ，因此min1S 7 分（）121(,)nijij nSS x xxx x 121312321nnnnx xx xx xx xx xxx.固定23,nxxx，仅让1x变动，那么S是1x的一次函数或常函数，因此2323min(1,),(1,)nnSSxxxSxxx 同理2333(1,)min(1,1,),(1,1,)nnnSxxxSxxSxx 2333(1,)min(1,1,),(1,1,)nnnSxxxSxxSxx 以 此 类 推，我 们 可 以 看 出，S的 最 小 值 必 定 可 以 被 某 一 组 取 值1的12,nx xx所 达 到，于 是1211,2,min (,)knxknSS x xx 当1kx （1,2,kn）时，222212121()()2nnSxxxxxx 2121()22nnxxx 当n为奇数时，因为12|1nxxx，所以1(1)2Sn，另一方面，若取12121nxxx，1112221nnnxxx，那么1(1)2Sn，因此min1(1)2Sn 13 分