大学物理(吴百诗)习题答案3运动守恒定律23784.pdf

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1、大学物理练习册运动守恒定律 8 冲量和动量定理3-1 质量 m=10kg 的物体在力 Fx=30+4t N 的作用下沿 x 轴运动，试求（1）在开始 2s 内此力的冲量 I；（2）如冲量 I=300Ns，此力的作用时间是多少？（3）如物体的初速 v1=10m/s，在 t=6.86s 时，此物体的速度 v2为多少？解：(1)sN68d)430(d2020tttFIxx(2)300230d)430(d200tttttFIttxt，s86.6t(3)1212mvmvppI，s86.6t，sN300I，m/s20)1010300(101)(112mvImv 3-2 质量 m=1kg 的物体沿 x 轴运

2、动，所受的力如图 3-2 所示。t=0 时，质点静止在坐标原点，试用牛顿定律和动量定理分别求解 t=7s 时此质点的速度。解：(1)75355502ttttF 50t，ttvm2dd，500d2d1ttvmv，(m/s)25251mv 75t，355ddttvm，75d)355(d21ttvmvv，(m/s)352v(2)s)(N35)107(21d70tFI，212mvmvmvI，(m/s)352v 动量守恒定律 3-3 两球质量分别为 m1=3.0g，m2=5.0g，在光滑的水平桌面上运动，用直角坐标 xOy 描述运动，两者速度分别为cm/s81iv，cm/s)168(2jiv，若碰撞后两

3、球合为一体，则碰撞后两球速度v的大小为多少？与 x 轴的夹角为多少？解：系统动量守恒 jivmvmvmm8064)(221121，jiv108 cm/s8.1210822 vv，与x轴夹角 3.51810arctan 3-4 如图 3-4 所示，质量为 M 的 1/4 圆弧滑槽停在光滑的水平面上，一个质量为 m 的小物体自圆弧顶点由静止下滑。求当小物体滑到底时，圆弧滑槽在水平面上移动的距离。解：系统在水平方向动量守恒 0)(VMmv，MVmv 两边对整个下落过程积分 tttVMtvm00dd 令s和S分别为m和M在水平方向的移动距离，则 ttvs0d，ttVS0d，MSms。又 SRs，所以

4、RMmmS 另解：m相对于M在水平方向的速度 vMMmVvv。对整个下落过程积分 tttvMMmtv00dd，sMMmR，在水平方向的移动距离 RMmmsRS 图 3-2 10 O t/s F/N 5 7 m M R 图 3.4 大学物理练习册运动守恒定律 9 质心 质心运动定律 3-5 求半径为 R 的半圆形匀质薄板的质心（如图 3-3 所示）。解：设薄板质量为m，面密度为22Rm。由质量分布对称性知，质心在x轴上。在距o点为x的地方取一宽度为xd细长条，对应的质量 xxRmd2d22，由质心定义 34d2d0220RxxRxmmmxxRRc 3-6 一根长为 L，质量均匀的软绳，挂在一半径

5、很小的光滑钉子上，如图 3-6 所示。开始时，BC=b，试用质心的方法证明当 BC=2L/3 时，绳的加速度为 a=g/3，速率为)92(222bbLLLgv。解：由软绳在运动方向的受力和牛顿定律 LayLyg)(，gLLya2，gaLy3132 yvvtyyvtvgLLyadddddddd2，LbvyLyLgvv320d)2(d 22922bbLLLgv 另解(用质心)当bBC 时，链系的质心为 LbLbLmbbbLbLyc22222)(22 当LBC32时，链系的质心为 Lyc185 又重力的功等于物体动能的增量 221)(mvyymgcc，)(22ccyygv，22922bbLLLgv

6、角动量（动量矩）及其守恒定律 3-7 已知质量为 m 的人造卫星在半径为 r 的圆轨道上运行，其角动量大小为 L，求它的动能、势能和总能量。（引力势能rmmGEp21，G为万有引力常数）解：rmvL，mrLv，222221mrLmvEk 设地球质量eM，rmMGEep，由牛顿定律 rvmrmMGe22，2mvrmMGe，22mrLEep O y x R 图 3-5 C B b 图 3-6 大学物理练习册运动守恒定律 10 22222222mrLmrLmrLEEEpk 3-8 质量为 m 的质点在 xOy 平面内运动，其位置矢量为j tbi tarsincos，其中、ba为常量，求（1）质点动量

7、的大小；（2）质点相对于原点的角动量。解：(1)j tbi tatrvcossindd )cossin(j tbi tamvmp，tbtamppcossin222(2)kabmj tbi tamj tbi taprL)cossin()sincos(3-9 质量均为 m 的两个小球 a 和 b 固定在长为 l 的刚性轻质细杆的两端，杆可在水平面上绕 O 点轴自由转动，杆原来静止。现有一个质量也为 m 的小球 c，垂直于杆以水平速度ov与 b 球碰撞（如图 3-9 所示），并粘在一起。求（1）碰撞前 c 球相对于 O 的角动量的大小和方向；（2）碰撞后杆转动角速度。解：(1)0vmrL 方向垂直纸

8、面向下。0043lmvrmvL(2)系统对o点的角动量守恒。设碰撞后杆的角速度为，则 )41(41)43()2(43430lmllmllmv，lv19120 功和动能定理 3-10 一人从 10m 深的井中提水，已知水桶与水共重 10kg，求（1）匀速上提时，人所作的功；（2）以 a=0.1m/s2匀加速上提时，人所作的功；（3）若水桶匀速上提过程中，水以 0.2kg/m 的速率漏水，则人所作的功为多少？解：(1)0 mgF，mgF，J980dd100100ymgyFA(2)mamgF，)(agmF，J990d)(d100100yagmyFA(3)0)2.0(gymF，gymF)2.0(，J8

9、82d)2.0(d100100yymgyFA 3-11 质量 m=6kg 的物体，在力 Fx=3+4x N 的作用下，自静止开始沿 x 轴运动了 3m，若不计摩擦，求（1）力 Fx所作的功；（2）此时物体的速度；（3）此时物体的加速度。解：(1)J27d)43(d3030 xxxFAx(2)由动能定理 222132212121mvmvmvA，m/s322mAv(3)由牛顿定律 2m/s5.26343mFaxx 3-12 质量为 m 的物体自静止出发沿 x 轴运动，设所受外力为 Fx=bt，b 为常量，求在 T s 内此力所作的功。解：由牛顿定律 tvmbtFdd，vtvmtbt00dd，mbt

10、v22，Tt 时，mbTv22 由动能定理 mTbmvmvmvA8212121422202 O a c b 图 3.9 l m m m 0vl/4 大学物理练习册运动守恒定律 11 另解：tmbttvxd2dd2，mTbtmbtbtxFATx8d2d4202 保守力的功和势能 3-13 质量为 m 的小球系在长为 l 的轻绳一端，绳的另一端固定，把小球拉至水平位置，从静止释放，如图3-13 所示，当小球下摆角时，（1）绳中张力T对小球做功吗？合外力gmTF对小球所做的功为多少？（2）在此过程中，小球势能的增量为多少？并与（1）的结果比较；（3）利用动能定理求小球下摆角时的速率。解：(1)rTd

11、，0drTAT，张力T对小球不做功。21sind)d(ddd)(yyFmglymgj yi xjmgrgmrgmTA(2)sin)(12mglyymgEp，可见重力的功等于小球势能增量的负值。(3)由动能定理 221sinmvmgl，sin2glv 3-14 质量为 m 的质点沿 x 轴正方向运动，它受到两个力的作用，一个力是指向原点、大小为 B 的常力，另一个力沿 x 轴正方向、大小为 A/x2，A、B 为常数。（1）试确定质点的平衡位置；（2）求当质点从平衡位置运动到任意位置 x 处时两力各做的功，并判断两力是否为保守力；（3）以平衡位置为势能零点，求任意位置处质点的势能。解：(1)BxA

12、F2，0F时，BAx 0(2)11(dd021100 xxAxxAxFAxxxx，)(dd02200 xxBxBxFAxxxx 1A、2A只与始末位置有关，即两力均为保守力。(3)ABBxxAxxBxxAxBxAxFExxxxp2)()11(d)(d00200 功能原理和机械能守恒 3-15 如图 3-15 所示，一质量为 m 的物块放置在斜面的最底端 A 处，斜面的倾角为 ，高度为 h，物块与斜面的动摩擦因数为，今有一质量为 m 的子弹以速度0v沿水平方向射入物块并留在其中，且使物块沿斜面向上滑动，求物块滑出顶端时的速度大小。解：以物块和子弹为研究对象，碰撞前后系统沿平行斜面方向动量守恒 子

13、弹射入物块后的速度大小为1v，则 10)(cosvmmmv，mmmvvcos01 取斜面底部为势能零点，物块滑出顶端时的速度大小为2v，由功能定理 ghmmvmmvmmhgmm)()(21)(21sincos)(2221 O Tgm图 3-13 0vh A 图 3.15 大学物理练习册运动守恒定律 12)1cot(2cos202ghmmmvv 3-16 劲度系数为 k 的轻质弹簧，一端固定在墙上，另一端系一质量为 mA 的物体 A，放在光滑水平面上，当把弹簧压缩 x。后，再靠着 A 放一质量为 mB 的物体 B，如图 3-16 所示。开始时，由于外力的作用系统处于静止状态，若撤去外力，试求 A

14、 与 B 离开时 B 运动的速度和 A 能到达的最大距离。解：(1)弹簧到达原长时A开始减速，A、B分离。设此时速度大小为v，由机械能守恒 220)(2121vmmkxBA，BAmmKxv0(2)A、B分离后，A继续向右移动到最大距离mx处，则 222121mAkxvm，BAAAmmmmxkmvx0 3-17 如图 3-17 所示，天文观测台有一半径为 R 的半球形屋面，有一冰块从光滑屋面的最高点由静止沿屋面滑下，若摩擦力略去不计。求此冰块离开屋面的位置以及在该位置的速度。解：由机械能守恒 221)sin1(mvmgR，)sin1(22 gRv 冰块离开屋面时，由牛顿定律 Rvmmg2sin，

15、32sin，8.4132arcsin gRgRv32)sin1(2 碰撞 3-18 一质量为 m0以速率 v0运动的粒子，碰到一质量为 2 m0的静止粒子。结果，质量为 m0的粒子偏转了450，并具有末速 v0/2。求质量为 2 m0的粒子偏转后的速率和方向。解：碰撞前后动量守恒 sin245sin2cos245cos200000000vmvmvmvmvm 00368.02254vvv，7.28445sinarcsin0vv 3-19 图 3-19 所示，一质量为 m 的小球 A 与一质量为 M 的斜面体 B 发生完全弹性碰撞。（1）若斜面体放置在光滑的水平面上，小球碰撞后竖直弹起，则碰撞后斜面体和小球的运动速度大小各为多少？（2）若斜面体固定在水平面上，碰撞后小球运动的速度大小为多少？运动方向与水平方向的夹角为多少？解：(1)以小球和斜面为研究对象，水平方向动量守恒。设碰撞后小球和斜面速度大小为v、V，则 A B O x0 x 图 3-16 R 图 3.17 A B vv 图 3-19 0m 0v x y 02m 20v v 大学物理练习册运动守恒定律 13 MVmv，vMmV。又根据能量守恒定理 222212121MVvmmv，MmMvv(2)由动能守恒知 vv。小球与斜面碰撞时，斜面对小球的作用力在垂直于斜面方向，碰撞前后在平行于斜面方向动量守恒 coscosvmmv，