2020年中考数学第二轮重点难点题型突破一圆的基本性质证明与计算45274.pdf

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1、1类型一圆的基本性质证明与计算命题点1垂径定理例 1、如图，CD 是O 的直径，AB 是弦(不是直径)，AB CD 于点E，则下列结论正确的是()A AE BEB.AD BCCD 12 AECD ADE CBE【答案】：D命题点2圆周角定理例 2、如图，点O 为优弧AB所在圆的圆心，AOC 108，点D 在 AB 的延长线上，BD BC，则D_【答案】：27重难点1垂径定理及其应用例 3、已知AB 是半径为5 的O 的直径，E 是 AB 上一点，且BE 2.(1)如图1，过点E 作直线CD AB，交O 于 C，D 两点，则CD _；图 1图 2图 3图 4探究：如图2，连接AD，过点O 作 O

2、F AD 于点F，则OF _；(2)过点E 作直线CD 交O 于 C，D 两点若AED 30，如图3，则CD _；若AED 45，如图4，则CD _【答案】：（1）8,5（2）9182【思路点拨】由于CD 是O 的弦，因此利用圆心到弦的距离(有时需先作弦心距)，再利用垂径定理，结合2勾股定理，求出弦的一半，再求弦【变式训练1】如图，点 A，B，C，D 都在半径为2 的O 上 若 OA BC，CDA 30，则弦BC 的长为()A 4B 2 2C.3D 2 3【答案】：D【变式训练2】【分类讨论思想】已知O 的半径为10 cm，AB，CD 是O 的两条弦，AB CD，AB 16 cm，CD 12

3、cm，则弦AB 和 CD 之间的距离是_【答案】：2cm 或 14cm方法指导1垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线，三个结论是平分弦，平分弦所对的优弧与劣弧2圆中有关弦的证明与计算，通过作弦心距，利用垂径定理，可把与圆相关的三个量，即圆的半径，圆中一条弦的一半，弦心距构成一个直角三角形，从而利用勾股定理，实现求解3事实上，过点E 任作一条弦，只要确定弦与AB 的交角，就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦长重难点2圆周角定理及其推论例 3、已知O 是ABC 的外接圆，且半径为4.(1)如图1，若A 30，求BC 的长；(2)如图2，若A 45：求BC 的长；若点C 是 AB的中点，求

4、AB 的长；(3)如图3，若A 135，求BC 的长图 1图 2图 3【答案】（1）4（2）4 2.,8（3）4 2.【点拨】连接OB，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2 倍，构建可解的等腰三角形求解3【解析】解：(1)连接OB，OC.BOC 2 A 60，OB OC，OBC 是等边三角形 BC OB 4.(2)连接OB，OC.BOC 2 A 90，OB OC，OBC 是等腰直角三角形 OB OC 4，BC 4 2.点C 是 AB的中点，ABC A 45.ACB 90.AB 是O 的直径AB 8.(3)在优弧BC上任取一点D，连接BD，CD，连接BO，CO.A 135，D 45.BOC

5、2 D 90.OB OC 4，BC 4 2.【变式训练3】如图，BC 是O 的直径，A 是O 上的一点，OAC 32，则B 的度数是()A 58B 60C 64D 68【答案】：A【变式训练4】将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上点A，B 的读数分别为88，30，则ACB 的大小为()A 15B 28C 29D 34【答案】C方法指导1 在圆中由已知角求未知角，同(等)弧所对的圆心角和圆周角的关系是一个重要途径，其关键是找到同一条弧2弦的求解可以通过连接圆心与弦的两个端点，构建等腰三角形来解决3一条弦所对的两种圆周角互补，即圆内接四边形的对角互补模型建立在半径已知的圆内

6、接三角形中，若已知三角形一内角，可以求得此角所对的边易错提示注意同弧所对的圆心角是圆周角的2 倍，避免把数量关系弄颠倒4重难点3圆内接四边形例 4、如图，四边形ABCD为O 的内接四边形延长AB 与 DC 相交于点G，AO CD，垂足为E，连接BD，GBC 50，则DBC 的度数为()A 50B 60C 80D 90【答案】C【思路点拨】延长AE 交O 于点M，由垂径定理可得CD 2DM，所以CBD 2 EAD.由圆内接四边形的对角互补，可推得ADE GBC，而ADE 与EAD 互余，由此得解【变式训练5】如图所示，四边形ABCD为O 的内接四边形，BCD 120，则BOD的大小是()A 80

7、B 120C 100D 90【答案】B【变式训练6】如图，四边形ABCD内接于O，E 为 BC 延长线上一点若A n，则DCE _【答案】n方法指导1找圆内角(圆周角，圆心角)和圆外角(顶角在圆外，两边也在圆外或顶点在圆上，一边在圆内，另一边在圆外)的数量关系时，常常会用到圆内接四边形的对角互补和三角形外角的性质2 在同圆或等圆中，如果一条弧等于另一条弧的两倍，则较大弧所对的圆周角是较小弧所对圆周角的两倍能力提升51如图，在O 中，如果AB 2AC，那么()A AB ACB AB 2ACC AB 2ACD AB 2AC【答案】C2如图，在半径为4 的O 中，弦AB OC，BOC 30，则AB

8、的长为()A 2B 2 3C 4D 4 3【答案】D3如图，在平面直角坐标系中，O经过原点O，并且分别与x 轴、y 轴交于点B，C，分别作OE OC 于点E，OD OB 于点D.若 OB 8，OC 6，则O的半径为()A 7B 6C 5D 4【答案】C4 如图，在O 中，弦 BC 与半径OA 相交于点D，连接AB，OC.若A 60，ADC 85，则C 的度数是()A 25B 27.5C 30D 35【答案】D5如图，ABC 是O 的内接三角形，AB AC，BCA 65，作CD AB，并与O 相交于点D，连接BD，则DBC 的大小为()6A 15B 35C 25D 45【答案】A6如图，分别延长

9、圆内接四边形ABDE的两组对边，延长线相交于点F，C.若F 27，A 53，则C 的度数为()A 30B 43C 47D 53【答案】C7如图，小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2 cm 的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位：cm)，请你帮小华算出圆盘的半径是_cm.【答案】10cm8如图，BAC 的平分线交ABC 的外接圆于点D，ABC 的平分线交AD 于点E.(1)求证：DE DB；(2)若BAC 90，BD 4，求ABC 外接圆的半径【答案】：(1)证明：AD 平分BAC，BE 平分ABC，BAE CAD，ABE CB

10、E.BD CD.DBC BAE.DBE CBE DBC，DEB ABE BAE,7DBE DEB.DE DB.(2)连接CD.BD CD，CD BD 4.BAC 90，BC 是直径BDC 90.BC BD2 CD2 4 2.ABC 外接圆的半径为2 2.9如图，四边形ABCD中，AD BC，ABC 90，AB 5，BC 10，连接AC，BD，以BD 为直径的圆交AC于点E.若 DE 3，则AD 的长为()A 5B 4C 3 5D 2 5提示：过点D 作 DF AC 于点F，利用ADF CAB，DEF DBA可求解【答案】D10如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是 AC的中点，DE

11、AB 于点E，且DE 交 AC 于点F，DB 交 AC于点G.若EFAE34，则CGGB _【答案】5511如图1 是小明制作的一副弓箭，点A，D 分别是弓臂BAC 与弓弦BC 的中点，弓弦BC 60 cm.沿 AD 方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC 始终保持圆弧形，弓弦不伸长如图2，当弓箭从自然状态的点D 拉到点D1时，有 AD1 30 cm，B1D1C1 120.(1)图 2 中，弓臂两端B1，C1的距离为30 3cm；(2)如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为(10 5 10)cm.8【答案】330,1051012如图所示，AB 为O 的直径，CD

12、为弦，且CD AB，垂足为H.(1)如果O 的半径为4，CD 4 3，求BAC 的度数；(2)若点E 为 ADB的中点，连接OE，CE.求证：CE 平分OCD；(3)在(1)的条件下，圆周上到直线AC 的距离为3 的点有多少个？并说明理由【答案】：(1)AB 为O 的直径，CD AB，CH 12CD 2 3.在 Rt COH中，sin COH CHOC32，COH 60.BAC 12 COH 30.(2)证明：点E 是 ADB的中点，OE AB.又CD AB，OE CD.ECD OEC.又OE OC，OEC OCE.OCE DCE，即CE 平分OCD.(3)圆周上到直线AC 的距离为3 的点有2 个因为AC上的点到直线AC 的最大距离为2，ADC上的点到直线AC 的最大距离为6，2 3 6，根据圆的轴对称性，ADC到直线AC 的距离为3 的点有2 个