三角形重心、外心、垂心、内心地向量表示及其性质85474.docx30081.pdf

《三角形重心、外心、垂心、内心地向量表示及其性质85474.docx30081.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角形重心、外心、垂心、内心地向量表示及其性质85474.docx30081.pdf（13页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 实用文案 三角形“四心”向量形式的充要条件应用 1 O 是 ABC 的重心 OA OB OC 0;S B OC S AOC SAOB 1 S AB C OA OB OC 0;若 O 是 ABC 的重心，则 3 故 u u ur u u ur u u ur u u ur G 为 ABC 的重心.PG 1 (PA PB PC)3 2 O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA;若 O 是 ABC(非直角三角形)的垂心，则 S BOC：S AOC：S AOB tan A：tan B tan C 故 tan A OA tan BOB tan C OC 0 3 O 是 ABC 的外心|

2、OA|OB|OC|(或 OA 2 2 2 OB OC)：S ：S AOB sin ：AOB sin 2A:sin 2B:sin 2C 若 O 是 ABC 的外心则 S BOC AOC BOC sin AOC sin 故 sin 2A OA sin 2BOB sin 2C OC 0 4 O 是内心 OA(AB AC)OB(BA BC)OC(CA CB)0 ABC 的充要条件是|AB|AC|BA|BC|CA|CB|引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 AB,BC,CA 的单位向量为 e1,e2,e3，则刚才 O 是 ABC 内心的充要条件可以写成 OA(e1 e3)OB(e1 e2)OC(e2

3、e3)0，O 是 ABC 内心 的充 要条 件也 可以是 aOA bOB cOC 0 。若 O 是 ABC 的 内心，则 S BOC ：S AOC ：S AOB a：b：c 故 aOA bOB cOC 0 或 sin A OA sin BOB sin COC 0;uuur uuur uuur uuur uuur uuur r P 是 ABC 的内心;e1 A|AB|PC|BC|PA|CA|PB 0 e2 uuur uuur 向量 (AB AC)(0)所在直线过 ABC 的内心(是 BAC 的角平 B C uuur uuur|AB|AC|分线所在直线)；P (一)将平面向量与三角形内心结合考查

4、例 1 O 是 平 面 上 的 一 定 点，A,B,C 是 平面 上 不 共 线的 三个 点，动 点 P 满 足 OP OA(AB AC)，0,则 P 点的轨迹一定通过 ABC 的（）AB AC 标准文档 实用文案 （A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心 解析：因为 AB uuur uuuruuur e1和 e2，又 是向量 AB 的单位向量设 AB 与 AC 方向上的单位向量分别为 AB OP OA AP，则原式可化为 AP(e1 e2)，由菱形的基本性质知 AP 平分 BAC，那么在 ABC 中，AP 平分 BAC，则知选 B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例 2 H

5、是ABC 所在平面内任一点，HA HB HB HC HC HA点 H 是ABC 的垂心 .由 HA HB HB HC HB (HC HA)0HB AC 0 HB AC,同理 HC AB，HA BC.故 H 是ABC 的垂心.（反之亦然（证略）例 3.(湖南)P 是ABC 所在平面上一点，若 PA PB PB PC PC PA，则 P 是ABC 的（D）A 外心 B内心 C重心 D 垂心 解析:由 PA PB PB PC 得 PA PB PB PC 0.即 PB(PA PC)0,即 PB CA 0 则 PB CA,同理 PA BC,PC AB 所以 P 为 ABC 的垂心.故选 D.(三)将平面

6、向量与三角形重心结合考查“重心定理”例 4 G 是ABC 所在平面内一点，GA GB GC=0 点 G 是ABC 的 重心.证明 作图如右，图中 GB GC GE 连结 BE 和 CE，则 CE=GB，BE=GC BGCE 为平行四边形 D 是 BC 的中点，AD 为 BC 边上的中线.将 GB GC GE 代入 GA GB GC=0，得 GA EG=0 GA GE 2GD，故 G 是ABC 的重心.（反之亦然（证略）例 5 P 是ABC 所在平面内任一点.G 是ABC 的重心 PG 1 PC).(PA PB 3 证明 PG PA AG PB BG PC CG 3PG(AG BG CG)(PA

7、 PB PC)G 是ABC 的重心 GA GB GC=0 AG BG CG=0，即 3PG PA PB PC 标准文档 实用文案 由此可得 PG 1(PA PB PC).（反之亦然（证略）3 uuur uuur uuur r 例 6 若 O 为 ABC 内一点，OA OB OC 0 ，则 O 是 ABC 的（）A 内心 B外心 C垂心 D 重心 uuur uuur uuur r uuur uuur uuur 解析：由 OA OB OC 0 得 OB OC OA，如图以 OB、OC 为相邻两边构作平行四边形，则 uuur uuur uuur uuur 1 uuur 2 OE，同理可证其它两边上的

8、这个性 OB OC OD，由平行四边形性质知 OE OD，OA 2 质，所以是重心，选 D。(四)将平面向量与三角形外心结合考查 uuur uuur uuur 例 7 若 O 为 ABC 内一点，OA OB OC，则 O 是 ABC 的（）A 内心 B外心 C垂心 D 重心 解析：由向量模的定义知 O 到 ABC 的三顶点距离相等。故 O 是 ABC 的外心，选 B。(五)将平面向量与三角形四心结合考查 例 8已知向量 OP1，OP2，OP3 满足条件 OP1+OP2 +OP3=0，|OP1|=|OP2|=|OP3|=1，求证 P1 P2 P3 是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五 B

9、 组第 6 题）证明 由已知 1+OP 2=-3，两边平方得 1 2=1，OP OP OP OP 2 同理 OP 2 3=3 1=1，OP OP OP P1 P2|=|P2 P3|=|P3 P1|=3，从而P1 2 3 是正三角形.|P P 反之，若点 O 是正三角形P1 P2P3 的中心，则显然有 OP1+OP2 +OP3=0 且|OP1|=|OP2|=|OP3|.即 O 是ABC 所在平面内一点，OP1+OP2+OP3 =0 且|OP1|=|OP2|=|OP3|点 O 是正P1 P2P3 的中心.例 9 在ABC 中，已知 Q、G、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H 三

10、点共线，且 QG:GH=1:2 。【证明】：以 A 为原点，AB 所在的直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系。设 A(0,0)、B 标准文档 实用文案 （x1,0）、C(x 2,y 2)，D、E、F 分别为 AB、BC、AC 的中点，则有：D（x1,0)、x1 x 2 y 2、x 2,y 2)由题设可设 Q（x 1,y 3)、H(x 2,y 4),2 E(,)F(2 2 2 2 2 x 1 x 2 y 2 uuuur uuur x 2 x 1 y 2 y G(,)AH ，,y 3)(x 2,y 4)QF (C(x,y)3 3 2 2 2 2 2 uuur(x 2 x 1,y 2)BC uu

11、uur uuur Q AH BC uuuur uuur AH?BC x 2(x 2 y 4 x 2(x 2 x1)y 2 uuur uuuur Q QF AC uuur uuuur (x 2 QF?AC x 2 2 y 3 x 2(x 2 x1)2 y 2 F H E x 1)y 2 y 4 0 G Q x A D B(x1,0)x 1)y 2(y 2 y 3)0 2 2 y 2 2 uuuur x 1,y 4 y 3)（2x 2 x1,3x 2(x 2 x 1)y 2)QH(x 2 2 2 2y2 2 uuur x 1 x1,y 2 y 3)（2x 2 x 1,y 2 x 2(x 2 x 1

12、)y 2)QG (x 2 3 2 3 6 3 2y 2 2 (2x 2 x 1,3x 2(x 2 x 1)y 2)1(2x 2 2 x 1,3x 2(x 2 x 1)y 2)6 6y2 6 3 2y 2 2=1 uuuur QH 3 uuuur uuur 即 QH=3QG，故 Q、G、H 三点共线，且 QG：GH=1：2 例 10 若 O、H 分别是ABC 的外心和垂心 .求证 OH OA OB OC.证明 若ABC 的垂心为 H，外心为 O，如图.连 BO 并延长交外接圆于 D，连结 AD，CD.AD AB，CD BC.又垂心为 H，AH BC，CH AB，AH CD，CH AD，四边形 A

13、HCD 为平行四边形，标准文档 实用文案 AH DC DO OC，故 OH OA AH OA OB OC.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的 距离是重心到外心距离的 2 倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例 11 设 O、G、H 分别是锐角ABC 的外心、重心、垂心 .求证 1 OGOH 3 证明 按重心定理 G 是ABC 的重心 OG 1(OA OB OC)3 按垂心定理OH OA OB OC 由此可

14、得 1 OH.OG 3 一、“重心”的向量风采 uuur uuur uuur 0，则 G 是 ABC 的重心如图【命题 1】G 是 ABC 所在平面上的一点，若 GA GB GC .C P A B M A G A C B O 图 图 【命题 2】已知 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 uuur uuur uuur uuur (0，)，则 P 的轨迹一定通过 ABC 的重心.OP OA(AB AC)，uuur uuur uuur(0，uuur uuur 【解析】由题意 AP (AB AC)，当)时，由于 (AB AC)表示 BC 边上的中线所在 直线的向量，

15、所以动点 P 的轨迹一定通过 ABC 的重心，如图.二、“垂心”的向量风采 标准文档 实用文案 【命题 3】P 是 ABC 所在平面上一点，若 PA PB PB PC PC PA，则 P 是 ABC 的垂心 uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur【解析】由 PA PB PB PC，得 PB(PA PC)0，即 PB CA 0，所以 PB CA 同理可证 uuur uuur uuur uuur PC AB，PA BC P 是 ABC 的垂心如图.A C C B P E M H P A F B 图 O图 【命题 4】已知 O 是平

16、面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 uuur uuur uuur uuur uuurAB uuurAC )，则动点 P 的轨迹一定通过 ABC 的垂心 OP OA ，(0，AB cos B AC cosC uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB uuurAC uuurAB uuurAC 0，【解析】由题意 AP ，由于 BC AB cos B AC cosC AB cos B AC cosC uuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur AB BC AC BC 即 uuur uuur BC CB

17、 0,所以 AP 表示垂直于 BC 的向量，即 P 点在过点 A 且 AB cos B AC cosC 垂直于 BC 的直线上，所以动点 P 的轨迹一定通过 ABC 的垂心，如图.三、“内心”的向量风采 【命题 5】已知 I 为 ABC 所 在平 面上 的一 点，且 AB c，AC b，BC a 若 uur uur uur 0，则 BI 是 ABC 的内心 C aIA bIB cIC O c a P I A C A B b 标准文档 实用文案 图 图 uur uur uuur uur uur uuur b uur uuur uuur【解析】IB IA AB，IC IA AC，则由题意得(a c

18、)IA bAB c AC 0，uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB AC，bAB cAC AC AB AB AC AC AB uuur uuur AB AC uur bc AI a b c 同理可证：BI 平分 【命题 6】已知 uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB AC AB AC uuur uuur uuur 与 uuur 分别为 AB 和 AC 方向上的单位向量，AB AC AB AC uur BAC AI 与 BAC 平分线共线，即 AI 平分 ABC，CI 平分 ACB 从而 I 是 AB

19、C 的内心，如图.O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 uuur uuur uuur uuur AB AC，(0，)，则动点 P 的轨迹一定通过 ABC 的内心 OP OA uuur uuur AB AC uuur uuur uuur uuur 【解析】AB AC，当(0，BAC 的平分线所在直线 由题意得 AP uuur uuur)时，AP 表示 AB AC 方向的向量，故动点 P 的轨迹一定通过 ABC 的内心，如图.四、“外心”的向量风采 uuuur uuuur uuuur【命题 7】已知 O 是 ABC 所在平面上一点，若 OA2 OB 2OC 2，则

20、 O 是 ABC 的外心 B C M P B O A A C 标准文档 O 实用文案 图 图 uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur 2uuur 2uuur uuur uuur 【解析】若 OA OB OC ，则 OA OB OC，OA OB OC，则 O 是 ABC 的外 心，如图。【命题 7】已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 uuur uuur uuur uuur uuur OB OC AB AC，(0，)，则动点 P 的轨迹一定通过 ABC 的外心。OP 2 uuur uuur AB cos B AC cosC uu

21、ur uuur uuur uuur uuur【解析】由于 OB OC 过 BC 的中点，当(0，)时，uuurAB uuurAC 表示垂直于 BC 2 AB cos B AC cosC 的向量（注意：理由见二、4 条解释。），所以 P 在 BC 垂直平分线上，动点 P 的轨迹一定通过 ABC 的外心，如图。补充练习 1 已知 A、B、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形 ABC 的重心，动点 P 满足 OP=1 (1 OA+1 OB+2 OC),则点 P 一定为三角形 ABC 的（B）3 2 2 A.AB 边中线的中点 B.AB 边中线的三等分点（非重心）C.重心 D.AB 边的中点 1.B

22、 取 AB 边的中点 M，则 OA OB 2OM，由 OP=1 (1 OA+1 OB+2 OC)可得 3 2 2 标准文档 实用文案 3 OP 3OM 2MC，MP 2 边上的中线的一个三等分点，且 MC ，即点 P 为三角形中 AB 点 P 不过重心，故选 B.3 uuuuur uuuuuur uuuuuur uuuuur uuuuuur 2 2 2 2 2 2 在同一个平面上有 ABC 及一点满足关系式：O A BC OB CA OC uuuuuur AB 2，则为 ABC 的 （D）外心 内心 C 重心 D 垂心 uuur uuur uuur 2 已知ABC 的三个顶点 A、B、C 及平

23、面内一点 P 满足：PA PB PC 0，则 P 为 ABC 的 （C ）外心 内心 C 重心 D 垂心 3 已知 O 是平面上一 定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足：OP OA(AB AC)，则 P 的轨迹一定通过 ABC 的（C ）外心 内心 C 重心 D 垂心 4 已知ABC，P 为三角形所在平面上的动点，且动点 P 满足：uuur uuur uuur uuur uuur uuur ，则 P 点为三角形的 （D PA?PC PA?PB PB?PC 0 ）外心 内心 C 重心 D 垂心 5 已知ABC，P 为三角形所在平面上的一点，且点 uuur uuur uuur

24、P 满足：a PA b PB c?PC 0，则 P 点 为三角形的 （B）外心 内心 C 重心 D 垂心 2 2 2 AB?CP，则 P 点轨迹一定通过 ABC 的：6 在三角形 ABC 中，动点 P 满足：CA CB （B ）外心 内心 C 重心 D 垂心 1 AB AC AB AC 7.已知非零向量 AB 与 AC 满足(+)BC=0 且=,则ABC 为()2|AB|AC|AB|AC|A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 标准文档 实用文案 uuur uuur 解析：非零向量与满足 AB AC)=0，即角 A 的平分线垂直于 BC，AB=AC，又(

25、uuur uuur|AB|AC|uuur uuur 1 cosA AB AC，A ABC 为等边三角形，选 D uuur uuur =|AB|AC|2，所以 3 8.ABC 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H，OH m(OA OB OC)，则实数 m=1 9.点 O 是 ABC 所在平面内的一点，满足 OA OB OB OC OC OA，则点 O 是 ABC 的（B）（A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点 （D）三条高的交点 10.如图 1，已知点 G 是 ABC 的重心，过 G 作直线与 AB，AC 两边分别交于 M，N 两点，且 uu

26、uuv uuuv AM xAB，uuuv uuuv 1 3。AN y AC，则 1 x y uuuv uuuv uuuv O，证 点 G 是 ABC 的重心，知 GA GB GC uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv 1 uuuv uuuv 得 AG(AB AG)(AC AG)O，有 AG 3(AB AC)。又 M，N，G 三点共线（A 不在直线 MN 上），于是存在 ,uuuv uuuuv uuuv 1)，使得 AG AM AN(且 uuuv uuuv uuuv 1 uuuv uuuv 有 AG xAB y AC=3(AB AC)，1 1，于是得 1 1 得 x y 3

27、。3 x y 标准文档 实用文案 1、课前练习 已知 是 2 2 2 1.1 O 内的一点，若 OA OB OC，则 O 是ABC 的 ABC A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 1.2 在ABC 中，有命题 AB AC BC；AB BC CA 0；若 AB AC?AB AC 0，则ABC 为等腰三角形；若 AB?AC 0，则ABC 为锐角三角形，上述命题中正确的是 A、B、C、D、例 1、已知ABC 中，有 AB AC?BC 0 和 AB?AC 1,试判断ABC 的形状。AB AC AB AC 2 练习 1、已知ABC 中，AB a，BC b，B 是ABC 中的最大角，若 a?b 0，试

28、判断ABC 的形状。4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题 2 2 2 2 2 2 例 2、已知 O 是ABC 所在平面内的一点，满足 OA BC OB AC OC AB ，则 O 是ABC 的 标准文档 实用文案 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题 AB AC，例 3、已知 P 是ABC 所在平面内的一动点，且点 P 满足 OP OA,0,AB AC 则动点 P 一定过ABC 的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 练 习 2、已知 O 为 平面 内一 点，A、B、C 平面 上不 共 线的 三 点，动 点 P 满足 OP OA

29、 AB 1 0,，则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的 BC,2 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 例 4、已 知 O 是 ABC 所 在 平 面 内 的 一 点 ，动 点 P 满 足 OP OA AB AC 0,，则动点 P 一定过ABC 的 ,AB cosB AC cosC A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 练 习 3、已 知 O 是 ABC 所 在 平 面 内 的 一 点，动 点 P 满 足 OB OC AB AC，则动点 P 一定过ABC 的 OP AB cosB,0,2 AC cosC A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 例 5、已知点 G 是的重心，过 G 作直线与

30、 AB、AC 分别相交于 M、N 两点，且 AM x?AB,AN y?AC，求证：1 1 3 x y 7、作业 1、已知 O 是ABC 内的一点，若 OA OB OC 0，则 O 是ABC 的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 标准文档 实用文案 2、若ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 1，且 OA OB OC 0，则 OA?OB 等于 A、1 B、0 C、1 D、1 2 2 3、已知 O 是 ABC 所在平面上的一 点，A、B、C、所 对的过分别是 a、b、c 若 a?OA b?OB c?OC 0，则 O 是ABC 的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 4、已知 P 是ABC 所在平面内与 A 不重合的一点，满足 AB AC 3AP，则 P 是ABC 的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 5、平面上的三个向量 OA、OB、OC 满足 OA OB OC 0，OA OB OC 1，求证：ABC 为正三角形。6、在ABC 中，O 为中线 AM 上的一个动点，若 AM 2，求 OA(OB OC)标准文档