一线三等角4229.pdf

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1、 一线三等角 Revised on November 25,2020 一线三等角问题 一、问题引入 如图，ABC中，90B，CDAC，过 D作DEAB交 BC 延长线与 E。求证：ABCCED 其他常见的一线三等角图形 （等腰三角形中底边上一线三等角）（等腰梯形中底边上一线三等角）（直角坐标系中一线三等角）（矩形中一线三等角）（1）等腰三角形中一线三等角 例 1、如图，已知在ABC 中，AB=AC=6，BC=5，D是 AB 上一点，BD=2，E是 BC 上一动点，联结 DE，并作DEFB，射线 EF交线段AC 于 F（1）求证：DBEECF；（2）当 F是线段 AC 中点时，求线段 BE的长；

2、（3）联结 DF，如果DEF与DBE 相似，求 FC 的长 （1、本题中，第一问的结论是这类题共同的特性，只要等腰三角形底边上有三等角，必有三角形相似；（2、第二问中根据相似求线段的长，也很常见；有时候会反过来问，线段的长是多少是，三角线相似。变式练习 1 就是这类题型；（3、第三问，中间的三角形与左右两个形似时，有两种情况，一种是 DF 与底边平行，一种是E 为中点；(备用图)（4、在等腰三角形，将腰延长会交于一点，也构成等腰三角形，故而以上三点，在等腰梯形中也适用。变式练习 1（浦东新区 22 题）如图，已知等边ABC的边长为 8，点D、F、E分别在边AB、BC、AC上，3BD，E为AC中

3、 点，当BPD与PCE相似时，求BP的值.变式练习 2（宝山 22 题）如图 6，已知ABC中，ABAC,点E、F在边BC上，满足EAF=C.求证：2BF CEAB；（图 6）（2）等腰梯形中一线三等角 例 2.（长宁区 18 题）如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，2AD，4 2BC，45B，直角三角板含 45 度角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F.若ABE为等腰三角形，则CF的长等于 .例 3（徐汇区 25）如图，在梯形ABCD中，ADBC，6ABCDBC，3AD 点M为边BC的中点，以M为顶点作EMFB，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结

4、EF（1）求证：MEFBEM；（2）若BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；（3）若EFCD，求BE的长 例 4、（杨浦区基础考）四边形ABCD中，ADBC，090ABC，3ABDC，5BC 点P为射线BC上动点（不与点B、C重合），点E在直线DC上，且APE记1PAB，2EPC，BPx，CEy（1）当点P在线段BC上时，写出并证明1与2的数量关系；（2）随着点P的运动，（1）中得到的关于1与2的数量关系，是否改变若认为不改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的x的取值范围；（3）若 cos=13，试用x的代数式表示y（3）坐标系中一线三等角 例 5（金山区

5、 24）如图，住平面直角系中，直线AB：440yxaa分别交x轴、y轴于B、A两点，直线AE分别交x轴、y轴于E、A两点，D是x轴上的一点，OAOD，过D作CD x轴交AE于C，连接BC，当动点B在线段OD上运动（不与点O点D重合）且ABBC时(1)求证：ABOBCD；(2)求线段CD的长（用a的代数式表示）；(3)若直线AE的方程是1316yxb，求tanBAC的值 变 式 练 习 3、在 平 面 直 角 坐 标 系 XOY 中，AOB的 位 置 如 图 所 示，已 知0060,90AAOB,点 A 的坐标为1,3（1）求点 B 的坐标；（2）若抛物线cbxaxy2经过 A、O、B 三点，求函数解析式。（4）矩形中一线三等角 例 6、（长宁区 24 题）如图，在矩形ABCD中，4AB，6AD，点P是射线DA上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P，三角板两直角中的一边始终经过点C，另一直角边交射线BA于点E（1）判断EAP与PDC一定相似吗请证明你的结论；（2）设PDx，AEy，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）是否存在这样的点P，是EAP周长等于PDC周长的 2 倍若存在，请求出PD的长度；若不存在，请简要说明理由