利用勾股定理列方程解决问题15802.pdf

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1、利用勾股定列方程解决问题 勾股定理：直角三角形两条直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方;如图 1即：a2+b2=c2 我们可以发现：直角三角形的三条,只要知道其中的两条的长,就可以用勾股定理去求第三条边的长;但有时我们会遇到这样的问：如图 1 在直角三角形中,一条边a=3,另外两条边 b+c=9,求 b 的长 方法：遇到这样的问题,我们可以将勾股定理和方程集合起用,通常叫我们求哪一条边长,我们就设哪一条边长为 x 即 b=x,则另一条边长可以用含有 x 的代数式来表示即 c=9x,现在三条边都表示出来了,我们可以利用勾股定理列方程：32+x2=9x2;下面我们就列用这样的方法来解决两个

2、例题：例 1、一张直角三角形的纸片,如图 2 所示折叠,使两个锐角的顶点 A、B 重合,若B=30,AC=3,求 DC 的长;分析：1、标已知,明确目标在哪个直角三角形中,设适当的未知数 x；2、利用折叠,找全等;1 你能从中找到全等三角形吗 2 折叠后出现的相等的线段有哪些 3 折叠后出现的相等的角有哪些 3、将已知边和未知边用含 x 的代数式表示转化到同一直角三角形中表示出来;4、利用勾股定理,列方程,解方程,得解;解：由折叠可知,DEADEB,B=DAB=30 在 RtABC 中,C=90 DAC=180-B-C-DAB=30 在 RtDCA 中,DAC=30 设 DC=x,则 DA=2

3、x 在 RtDAC 中,根据勾股定理得 DC2CA2=DA2,即 x232=2x2,3x2=3,x2=1,x 是正数 x=1 DC=1;例 2、如图 3 所示,将长方形纸片 ABCD 的一边 AD 向下折叠,点 D 落在 BC 边的F 处;已知 AB=CD=8cm,BC=AD=10cm,求 EC 的长;EDCBA(B)图 2 图1 a b c 分析：明确 EC 在 RtEFC 中,把重点放到 RtEFC 的三条边上,根据折叠可以知道 AFE ADE,其 中 AF=AD=10cm,EF=ED,AFE=90 ,并 且 EF EC=DC=8cm;在 RtABF 中,根据勾股定理可以得出 BF=6,则

4、 FC=4,在 RtFEC中,可以设 EC=x,则 EF=8x,根据勾股定理可以得 EC2FC2=EF2,即 x242=8x2;解：由折叠可得,AFEADE,AF=AD=10cm,EF=ED,AB=8 cm,EFEC=DC=8cm,在 RtABF 中,根据勾股定理得 68102222ABAFBF,FC=BC-BF=4cm,设 EC=xcm,则 EF=DCEC=8xcm,在 RtEFC 中,根据勾股定理得 EC2FC2=EF2,即 x242=8x2,x=3cm,EC 的长为 3cm;解题步骤归纳：1、标已知,明确目标在哪个直角三角形中,设适当的未知数 x；2、利用折叠,找全等;3、将已知边和未知边用含 x 的代数式表示转化到同一直角三角形中表示出来;4、利用勾股定理,列出方程,解方程,得解;练习：1、如图将矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠,顶点 D 恰好落在 BC 边上 F 处,已知 CE=3,AB=8,则 BF=_;2、在ABC 中,AB=AC=5,BC=6,若点 P 在边 AB 上移动,则 CP 的 最小值是_;3、一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如图所示正方形 DEFH 的边长为 2 米,坡角A=30,B=90,BC=6米当 正方形 DEFH 运动到什么位置,即当 AE=_米时,有 DC2=AE2+BC2;答案：1、6 2、3、314 EFDCBA图 3