黑龙江省哈尔滨名校2023学年高三最后一模数学试题(含解析)35731.pdf

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1、2023 学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回 2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 05 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置 3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符 4作答选择题，必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用 05 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效 5如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每

2、小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知函数 3sin3cos0f xxx，对任意的1x，2x，当 1212f xf x 时，12min2xx，则下列判断正确的是（）A16f B函数 f x在,6 2 上递增 C函数 f x的一条对称轴是76x D函数 f x的一个对称中心是,03 2若不相等的非零实数x，y，z成等差数列，且x，y，z成等比数列，则xyz（）A52 B2 C2 D72 3 设F为抛物线24xy的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若0FAFBFC，则|FAFBFC（）.A9 B6 C38 D316 4如图，双曲线2222:10,0 xyCabab的左，右焦点分别是1

3、2,0,0,FcF c直线2bcya与双曲线C的两条渐近线分别相交于,A B两点.若12,3BF F则双曲线C的离心率为（）A2 B4 23 C2 D2 33 5已知4sin5，且sin 20，则tan4的值为（）A7 B7 C17 D17 6i是虚数单位，21izi则|z（）A1 B2 C2 D2 2 7函数()sin(0)f xx 的图象向右平移12个单位得到函数()yg x的图象，并且函数()g x在区间,6 3 上单调递增，在区间,3 2 上单调递减，则实数的值为（）A74 B32 C2 D54 8若点(3,4)P 是角的终边上一点，则sin 2（）A2425 B725 C1625 D

4、85 9设ln3a，则lg3b，则（）Aababab Bababab Cababab Dababab 10将函数 sin2f xx的图象向左平移02个单位长度，得到的函数为偶函数，则的值为（）A12 B6 C3 D4 11如图所示，在平面直角坐标系xoy中，F是椭圆22221(0)xyabab的右焦点，直线2by 与椭圆交于B，C两点，且90BFC，则该椭圆的离心率是（）A63 B34 C12 D32 12已知函数log()ayxc（a，c是常数，其中0a 且1a）的大致图象如图所示，下列关于a，c的表述正确的是（）A1a，1c B1a，01c C01a，1c D01a，01c 二、填空题：本

5、题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，准线为 l，P 为 C 上一点，PQ 垂直 l 于点 Q，M，N 分别为 PQ，PF 的中点，MN 与 x 轴相交于点 R，若NRF=60，则|FR|等于_.14某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对 3 名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票这 3 名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的 88%，75%，46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为百分之_“我身边的榜样”评选选票 候选人 符号 注：1同意画“”，不同意画“”2每张选票“”的个数不超过2时才为有效

6、票 甲 乙 丙 15数列 na满足递推公式21nnnaaa，且12201920202020aaaa，则222122019aaa_.16已知实数满足则的最大值为_.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）已知曲线221:149xyC，直线l：2,22,xtyt（t为参数）.（I）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（II）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，PA的最大值与最小值 18（12 分）如图 1，已知四边形 BCDE 为直角梯形，90B，/BECD，且222BECDBC，A 为 BE的中点.将EDA沿 AD 折到PDA位置

7、(如图2)，连结 PC，PB 构成一个四棱锥PABCD （）求证ADPB；（）若PA 平面ABCD 求二面角BPCD的大小；在棱 PC 上存在点 M，满足01PMPC，使得直线 AM 与平面 PBC 所成的角为45，求的值 19（12 分）已知函数 3cos2sin2f xxx，将 f x的图象向左移0 个单位，得到函数 yg x的图象.（1）若4，求 yg x的单调区间；（2）若0,2，yg x的一条对称轴是12x，求 yg x在0,2x的值域.20（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAB 底面ABCD，H为棱AB的中点，E为棱DC上任意一点，且不与D点、C点重

8、合212ABADPAPH，（1）求证：平面APE 平面ABCD；（2）是否存在点E使得平面APE与平面PHC所成的角的余弦值为63？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由 21（12 分）已知矩阵010Aa的逆矩阵1020Ab.若曲线1C：2214xy在矩阵 A 对应的变换作用下得到另一曲线2C，求曲线2C的方程.22（10 分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是3(13xtcostytsin 为参数），曲线C的参数方程是2 32 32 3xcosysin（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；（2）已知射线102OM：与曲线C交

9、于,O M两点，射线22ON：与直线l交于N点，若OMN的面积为 1，求的值和弦长OM 2023 学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【答案解析】利用辅助角公式将正弦函数化简，然后通过题目已知条件求出函数的周期T，从而得到，即可求出解析式，然后利用函数的性质即可判断.【题目详解】3sin3cos2 3sin3fxxxx，又sin13x，即2 32 3sin2 33x，有且仅有2 32 312 满足条件；又12min2xx，则22TT，22T，函数 2 3sin 23fxx，对

10、于 A，22 3sin363f，故 A 错误；对于 B，由222232kxkkZ，解得51212kxkkZ，故 B 错误；对于 C，当76x时，7722 3sin2 3sin6333f，故 C 错误；对于 D，由22 3sin0333f，故 D 正确.故选：D【答案点睛】本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质，熟记性质是解题的关键，属于基础题.2、A【答案解析】由题意，可得2xzy，2zxy，消去y得2220 xxzz,可得2xz，继而得到2zy ，代入即得解【题目详解】由x，y，z成等差数列，所以2xzy，又x，z，y成等比数列，所以2zxy，消去y得2220 xxzz，所以220 x

11、xzz，解得1xz或2xz，因为x，y，z是不相等的非零实数，所以2xz，此时2zy ，所以15222xyz 故选：A【答案点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.3、C【答案解析】设11(,)A x y，22(,)B xy，33(,)C xy，由0FAFBFC可得123316xxx，利用定义将|FAFBFC用123,x xx表示即可.【题目详解】设11(,)A x y，22(,)B xy，33(,)C xy，由0FAFBFC及1(,0)16F，得111(,)16xy221(,)16xy331(,)(0,0)16xy，故123316xx

12、x，所以123111|161616FAFBFCxxx38.故选：C.【答案点睛】本题考查利用抛物线定义求焦半径的问题，考查学生等价转化的能力，是一道容易题.4、A【答案解析】易得(,)2 2c bcBa，过 B 作 x 轴的垂线，垂足为 T，在1FTB中，利用1tan3BTFT即可得到,a b c的方程.【题目详解】由已知，得(,)2 2c bcBa，过 B 作 x 轴的垂线，垂足为 T，故12cFT，又12,3BF F所以1tan33BTFT，即232bcbaca，所以双曲线C的离心率21()2bea.故选：A.【答案点睛】本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到,

13、a b c的方程或不等式，本题属于容易题.5、A【答案解析】由4sin5及sin 20得到sin、cos，进一步得到tan，再利用两角差的正切公式计算即可.【题目详解】因为4sin5，所以4sin5，又sin22sincos0，所以3cos5，4tan3，所以41tan13tan7441tan13.故选：A.【答案点睛】本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.6、C【答案解析】由复数除法的运算法则求出z，再由模长公式，即可求解.【题目详解】由22(1)1,|21iizi zi .故选:C.【答案点睛】本题考查复数的除法和模，属于基础

14、题.7、C【答案解析】由函数 sin(0)f xx 的图象向右平移12个单位得到1212g xsinxsinx（）（）（），函数 g x在区间,6 3 上单调递增，在区间,3 2 上单调递减，可得3x时，g x取得最大值，即23122k（），kZ，0，当0k 时，解得2，故选 C.点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”的规律求解出 g x，根据函数 g x在区间,6 3 上单调递增，在区间,3 2 上单调递减可得3x时，g x取得最大值，求解可得实数的值.8、A【答案解析】根据三角函数的定义，求得43sin,cos55，再由正弦

15、的倍角公式，即可求解.【题目详解】由题意，点(3,4)P 是角的终边上一点，根据三角函数的定义，可得43sin,cos55，则4324sin22sincos2()5525 ，故选 A.【答案点睛】本题主要考查了三角函数的定义和正弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中根据三角函数的定义和正弦的倍角公式，准确化简、计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9、A【答案解析】根据换底公式可得ln3ln10b，再化简,ab ab ab，比较ln3,ln101,ln101的大小，即得答案.【题目详解】10ln3lg3log3ln10b，ln3 ln101ln3 ln10 1ln3ln3ln3

16、,ln3ln10ln10ln10ln10abab，ln3 ln3ln10ab.ln30,ln100，显然abab.310,ln 3ln10ee,即ln3 1ln10,ln3ln101，ln3 ln10 1ln3 ln3ln10ln10，即abab.综上，ababab.故选：A.【答案点睛】本题考查换底公式和对数的运算，属于中档题.10、D【答案解析】利用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解，得到答案【题目详解】将将函数 sin2f xx的图象向左平移个单位长度，可得函数 sin2()sin(22)g xxx 又由函数 g x为偶函数，所以2,2kkZ，解得,42k

17、kZ，因为02，当0k 时，4，故选 D【答案点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题 11、A【答案解析】联立直线方程与椭圆方程，解得B和C的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示可得2232ca，由离心率定义可得结果.【题目详解】由222212xyabby，得322xaby，所以3,22bBa，3,22bCa.由题意知,0F c，所以3,22bBFca，3,22bCFca.因为90BFC,所以BFCF,所以22222223333102244442bacBF C

18、Fcacacaca.所以2232ca，所以63cea，故选：A.【答案点睛】本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心率公式，属于基础题.12、D【答案解析】根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项.【题目详解】从题设中提供的图像可以看出01,log0,log10aaacc，故得01,01ca，故选：D【答案点睛】本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、2【答案解析】由题意知：2FH，PFPQ，/MN QF，/PQ OR.由NRF=60，可得PQF为等边三角形，MFPQ

19、，可得 F 为 HR 的中点，即求FR.【题目详解】不妨设点 P 在第一象限，如图所示，连接 MF，QF.抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，准线为 l，P 为 C 上一点 2FH，PFPQ.M，N 分别为 PQ，PF 的中点，/MN QF，PQ 垂直 l 于点 Q，PQ/OR，PFPQ，NRF=60，PQF为等边三角形，MFPQ，易知四边形MQHF和四边形MQFR都是平行四边形，F 为 HR 的中点，2FRFH，故答案为：2.【答案点睛】本题主要考查抛物线的定义，属于基础题.14、91【答案解析】设共有选票100张，且1,2,3票对应张数为,x y z，由此可构造不等式组化简得到9zx，由

20、投票有效率越高z越小，可知min9z，由此计算可得投票有效率.【题目详解】不妨设共有选票100张，投1票的有x，2票的有y，3票的有z，则由题意可得：23887546209100,xyzxyzx y zN，化简得：9zx，即9zx，投票有效率越高，z越小，则0 x，9z，故本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为1009100%91%100 故答案为：91%.【答案点睛】本题考查线性规划的实际应用问题，关键是能够根据已知条件构造出变量所满足的关系式.15、2020【答案解析】可对12nnnaaa左右两端同乘以1na得12121nnnnnaaaa a，依次写出211nnnnnaa a

21、aa，21121nnnnnaaaaa，222312aa aa a，累加可得22223112nnnaaaa aa a，再由12aa得22221231nnnaaaaa a，代入2019n 即可求解【题目详解】12nnnaaa左右两端同乘以1na有12121nnnnnaaaa a，从而211nnnnnaa aaa，21121nnnnnaaaaa，222312aa aa a，将以上式子累加得22223112nnnaaaa aa a.由12aa得22221231nnnaaaaa a.令2019n，有222122019201920202020aaaaa.故答案为：2020【答案点睛】本题考查数列递推式和累

22、加法的应用，属于基础题 16、【答案解析】直接利用柯西不等式得到答案.【题目详解】根据柯西不等式：，故，当，即，时等号成立.故答案为：.【答案点睛】本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）2cos,3sin,xy260 xy；（II）最大值为22 55，最小值为2 55.【答案解析】试题分析：（I）由椭圆的标准方程设cos,sin22xy，得椭圆的参数方程为2cos,3sin,xy，消去参数t即得直线的普通方程为260 xy；（II）关键是处理好PA与角30的关系 过点P作与l垂直的直线，

23、垂足为H，则在PHA中，12PHdPA，故将PA的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点(2cosP，3sin)到定直线260 xy的最大值与最小值问题处理 试题解析：（I）曲线 C 的参数方程为2cos,3sin,xy（为参数）直线l的普通方程为260 xy（II）曲线 C 上任意一点(2cos,3sin)P到l的距离为54cos3sin65d则 02 55sin()6sin305dPA其中为锐角，且4tan3 当sin()1 时，PA取到最大值，最大值为22 55 当sin()1时，PA取到最小值，最小值为2 55【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程；2、点到直线的距离公式；3、解直角三角形

24、18、()详见解析；()120，0或23【答案解析】()可以通过已知证明出AD 平面 PAB，这样就可以证明出ADPB；()?以点 A 为坐标原点，分别以 AB，AD，AP 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，可以求出相应点的坐标，求出平面 PBC 的法向量为n、平面 PCD 的法向量m，利用空间向量的数量积，求出二面角BPCD的大小；求出平面 PBC 的法向量，利用线面角的公式求出的值.【题目详解】证明：()在图 1 中，/ABCD，ABCD，ABCD为平行四边形，/ADBC，90B，ADBE，当EDA沿 AD 折起时，ADAB，ADAE，即ADAB，ADPA，又ABPAA，,ABPAB

25、 PAPABAD面面平面 PAB，又PB 平面 PAB，ADPB 解：()以点 A 为坐标原点，分别以 AB，AD，AP 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，由于PA 平面 ABCD 则(0,A0，0)，(1,B0，0)，(1,C1，0)，(0,P0，1)，(0,D1，0)(1,PC 1，1)，(0,BC 1，0)，(1,DC 0，0)，设平面 PBC 的法向量为(,nxy，)z，则00PC nxyzBC ny，取1z，得(1,n 0，1)，设平面 PCD 的法向量(,mab，)c，则00m PCabcm DCa，取1b，得(0,m 1，1)，设二面角BPCD的大小为，可知为钝角，则11c

26、os222m nm n ，120 二面角BPCD的大小为120 设 AM 与面 PBC 所成角为，(0,AMAPPM0，1)(1，1，1)(，1)，平面 PBC 的法向量(1,n 0，1)，直线 AM 与平面 PBC 所成的角为45，22212sincos,22(1)AM nAM nAMn，解得0或23【答案点睛】本题考查了利用线面垂直证明线线垂直，考查了利用向量数量积，求二面角的大小以及通过线面角公式求定比分点问题.19、（1）增区间为5,63kkkZ，减区间为,36kkkZ；（2）2,3.【答案解析】（1）由题意利用三角函数图象变换规律求得 yg x的解析式，然后利用余弦函数的单调性，得出

27、结论；（2）由题意利用余弦函数的图象的对称性求得，再根据余弦函数的定义域和值域，得出结论【题目详解】由题意得 2cos 26fxx（1）yf x向左平移4个单位得到 22cos 22cos 2463g xxx，增区间：解不等式22223kxkkZ，解得563kxkkZ，减区间：解不等式22223kxkkZ，解得36kxkkZ.综上可得，yg x的单调增区间为5,63kkkZ，减区间为,36kkkZ；（2）由题易知，2cos 226g xx，因为 yg x的一条对称轴是12x，所以266k，kZ，解得26k，kZ.又因为0,2，所以3，即 52cos 26g xx.因为0,2x，所以55112,

28、666x，则53cos 21,62x，所以 yg x在0,2x的值域是2,3.【答案点睛】本题主要考查三角函数图象变换规律，余弦函数图象的对称性，余弦函数的单调性和值域，属于中档题 20、（1）证明见解析 （2）存在，E为DC中点【答案解析】（1）证明AP 面ABCD，即证明平面APE 平面ABCD；（2）以A为坐标原点，AD为x轴正方向，AB为y轴正方向，AP为z轴正方向，建立空间直角坐标系 利用向量方法得11211126cos3341m nmn，解得12，所以E为DC中点【题目详解】（1）由于H为AB中点，112AHAB 又2PH，故222PHAPAH，所以PAH为直角三角形且90PAH，

29、即PAAB 又因为PA 面PAB，面PAB面ABCDAB，面PAB 面ABCD，故AP 面ABCD，又PA 面PAE，所以面PAE 面ABCD（2）由（1）知AP 面ABCD，又四边形ABCD为矩形，则APADAB，两两垂直 以A为坐标原点，AD为x轴正方向，AB为y轴正方向，AP为z轴正方向，建立空间直角坐标系 则(0,0,0),P(0,0,1),(0,1,0),(1,2,0)AHC，设1 200 1E,，,，则0,0,11,2,00 111,1,0APAEPHHC，设平面APE的法向量为mxyz，则有00200zm APxym AE，令2x，则1y，则平面APE的一个法向量为12 10m,

30、，同理可得平面PHC的一个法向量为1111n ,，设平面APE与平面PHC所成角为，则由题意可得11211126cos3341m nmn，解得12，所以点E为DC中点【答案点睛】本题主要考查空间几何位置关系的证明，考查空间二面角的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21、221xy【答案解析】根据1AAE，可解得,a b，设,P x y为曲线1C任一点，在矩阵A对应的变换作用下得到点,Q x y，则点Q在曲线2C上，根据变换的定义写出相应的矩阵等式，再用,x y表示出,x y，代入曲线1C的方程中，即得.【题目详解】1AAE，0102100001ab，即0100201ba.121ba，

31、解得121ab，01102A.设,P x y为曲线1C任一点，则2214xy，又设,P x y在矩阵 A 变换作用得到点,Q x y，则01102xxyy ，即2yxxy ，所以2yxxy即2xyyx 代入2214xy，得221yx，所以曲线2C的方程为221xy.【答案点睛】本题考查逆矩阵，矩阵与变换等，是基础题.22、（1）132sin,4 3sin；（2）,6 2 3.【答案解析】（1）先把直线l和曲线C的参数方程化成普通方程，再化成极坐标方程；（2）联立极坐标方程，根据极径的几何意义可得,OMON，再由面积112OMNSOMON可解得极角，从而可得OM【题目详解】（1）直线l的参数方程

32、是3(13xtcostytsin 为参数），消去参数t得直角坐标方程为：310 xy 转换为极坐标方程为：310cossin，即132sin 曲线C的参数方程是2 32 32 3xcosysin（为参数），转换为直角坐标方程为：22(2 3)12xy，化为一般式得224 30 xyy 化为极坐标方程为：4 3sin （2）由于02，得4 3OMsin，113322ONcossinsincos 所以12 3123OMNsinSOMONcossin，所以33tan，由于02，所以6，所以2 3OM 【答案点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、直角坐标方程与极坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.