黑龙江省牡丹江市重点中学2023学年高三冲刺模拟数学试卷(含解析)35600.pdf

《黑龙江省牡丹江市重点中学2023学年高三冲刺模拟数学试卷(含解析)35600.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《黑龙江省牡丹江市重点中学2023学年高三冲刺模拟数学试卷(含解析)35600.pdf（21页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2023 学年高考数学模拟测试卷 注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分 100 分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误的是（）A甲

2、得分的平均数比乙大 B甲得分的极差比乙大 C甲得分的方差比乙小 D甲得分的中位数和乙相等 2在ABC中，点 D 是线段 BC 上任意一点，2AMAD，BMABAC，则（）A12 B-2 C12 D2 3椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为 12 厘米，底面半径为 3 厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（）A50,6 B5,15 C2 50,5 D2 5,15 4关于函数()coscos 2f

3、 xxx，有下列三个结论:是()f x的一个周期；()f x在35,44上单调递增；()f x的值域为2 2,.则上述结论中，正确的个数为（）A0 B1 C2 D3 5 已知等差数列 na的公差不为零，且11a，31a，41a构成新的等差数列，nS为 na的前n项和，若存在n使得0nS，则n（）A10 B11 C12 D13 6函数的定义域为（）A，3）（3，+）B（-，3）（3，+）C，+）D（3，+）7已知实数,x y满足约束条件11220220 xyxyxy ，则23xy的最小值是 A2 B72 C1 D4 8已知函数()(N)kf xkx，ln1()1xg xx，若对任意的1c，存在实

4、数,a b满足0abc，使得()()()g af bg c，则k的最大值是()A3 B2 C4 D5 9已知0 x 是函数()(tan)f xx axx的极大值点，则a的取值范围是 A(,1)B(,1 C0,)D1,)10在ABC中，30C，2cos3A，152AC，则AC边上的高为（）A52 B2 C5 D152 11直线1ykx与抛物线 C：24xy交于 A，B 两点，直线/lAB，且 l 与 C 相切，切点为 P，记PAB的面积为 S，则SAB的最小值为()A94 B274 C3227 D6427 12已知幂函数()f xx的图象过点(3,5)，且1ae，3b，1log4c，则a，b，c

5、的大小关系为（）Acab Bacb Cabc Dcba 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13记 Sk1k+2k+3k+nk，当 k1，2，3，时，观察下列等式：S112n212n，S213n312n216n，S314n412n314n2，S5An612n5512n4+Bn2，可以推测，AB_ 14已知集合|21,Ax xkkZ，|2,Bx xk kZ，则AB _.15下图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是_.16设xR，则“38x”是“2x”的_条件.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）在ABC中，角A，B，C的对边

6、分别为,a b c，其中ac，222cos()sincosbcaBCbcCC.（1）求角C的值；（2）若45c，27 2a，D为AC边上的任意一点，求2ADBD的最小值.18（12 分）如图，ABCD是正方形，点P在以BC为直径的半圆弧上（P不与B，C重合），E为线段BC的中点，现将正方形ABCD沿BC折起，使得平面ABCD 平面BCP.（1）证明：BP 平面DCP.（2）三棱锥DBPC的体积最大时，求二面角BPDE的余弦值.19（12 分）已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点F在y轴正半轴上，圆心在直线12yx上的圆E与x轴相切，且EF，关于点1 0M ，对称.（1）求E和的标准方程；（2）过点

7、M的直线l与E交于AB，与交于CD，求证：2CDAB.20（12 分）在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，已知ab，且22coscosAB3sincos3sincosAABB.（）求角C的大小；（）若3c，求ABC面积的取值范围.21（12 分）已知向量22sin,3,cos,2cos1axbxx，f xa b.（1）求 f x的最小正周期；（2）若ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，且3,1,ab=3fA，求ABC的面积.22（10 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:10,0 xyCabab的短轴长为2，直线l与椭圆C相交于,A B两点，线段A

8、B的中点为M.当M与O连线的斜率为12时，直线l的倾斜角为4（1）求椭圆C的标准方程；（2）若2,ABP是以AB为直径的圆上的任意一点，求证：3OP 2023 学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】由平均数、方差公式和极差、中位数概念，可得所求结论【题目详解】对于甲，179888282939185.86x；对于乙，272748189969985.26x，故A正确；甲的极差为937914，乙的极差为997227，故B错误；对于甲，方差2126S.5，对于乙，方差221

9、06.5S，故C正确；甲得分的中位数为8288852，乙得分的中位数为8189852，故D正确 故选：B【答案点睛】本题考查茎叶图的应用，考查平均数和方差等概念，培养计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题 2、A【答案解析】设BDkBC，用,AB AC表示出BM，求出,的值即可得出答案.【题目详解】设BDkBCkACkAB 由2AMAD 112222kkBMBABDABACAB 1222kkABAC，1,222kk，12.故选：A【答案点睛】本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.3、C【答案解析】根据题意可知当玻

10、璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.【题目详解】当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.此时椭圆长轴长为221266 5，短轴长为 6，所以椭圆离心率262 5156 5e，所以2 50,5e.故选：C【答案点睛】本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.4、B【答案解析】利用三角函数的性质，逐个判断即可求出【题目详解】因为()()f xf x，所以是()f x的一个周期，正确；因为 2f，52242f，所以()f x在35,44上不单调递增，错误；因为()()fx

11、f x，所以()f x是偶函数，又是()f x的一个周期，所以可以只考虑0,2x时，()f x的值域 当0,2x时，cos0,1tx，22()coscos 2coscos22coscos121f xxxxxxxtt 221ytt 在 0,1上单调递增，所以()1,2f x ，()f x的值域为1,2，错误；综上，正确的个数只有一个，故选 B【答案点睛】本题主要考查三角函数的性质应用 5、D【答案解析】利用等差数列的通项公式可得16ad，再利用等差数列的前n项和公式即可求解.【题目详解】由11a，31a，41a构成等差数列可得 31431111aaaa 即13341413341422aaaadd

12、aaa aa aaa 又4111323aadaad 解得：16ad 又12(1)(12(1)(13)222nnnnSanddndd n 所以0nS 时，13n.故选：D【答案点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式，需熟记公式，属于基础题.6、A【答案解析】根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.【题目详解】因为函数，解得且；函数的定义域为,故选 A【答案点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3)若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求

13、出.7、B【答案解析】作出该不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，设23zxy，则2133yxz，易知当直线2133yxz经过点D时，z 取得最小值，由1220 xxy，解得112xy，所以1(1,)2D，所以min172(1)322z ，故选 B 8、A【答案解析】根据条件将问题转化为ln11xkxx，对于1x 恒成立，然后构造函数ln1()1xh xxx，然后求出()h x的范围，进一步得到k的最大值.【题目详解】()(N)kf xkx，ln1()1xg xx，对任意的1c，存在实数,a b满足0abc，使得()()()g af bg c，易得()()()g cf bf c，即ln

14、11ckcc恒成立，ln11xkxx，对于1x 恒成立,设ln1()1xh xxx，则22ln()(1)xxh xx，令()2lnq xxx，1()10q xx 在1x 恒成立，(3)32ln30(4)42ln 40qq，故存在0(3,4)x，使得 00q x，即002lnxx，当0(1,)xx时，()0q x，()h x单调递减；当0(,)xx时，()0q x，()h x单调递增.000min00ln()()1xxxh xh xx,将002lnxx代入得：000min000(2)()()1xxxh xh xxx，Nk，且min0()kh xx，3k 故选：A【答案点睛】本题考查了利用导数研究

15、函数的单调性，零点存在定理和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属于难题.9、B【答案解析】方法一：令()tang xaxx，则()fxxg x，21()cosg xax，当1a，(,)2 2x 时，()0g x，()g x单调递减，(,0)2x 时，()(0)0g xg，()()0f xx g x，且()()()0fxxg xg x，()0f x，即()f x在(,0)2上单调递增，(0,)2x时，()(0)0g xg，()()0f xx g x，且()()+()0f x=xg xg x，()0f x，即()f x在(0,)2上单调递减，0 x 是函数()f x的极大值点，1a满足题意；当1a

16、 时，存在(0,)2t使得1costa，即()0g t，又21()cosg xax在(0,)2上单调递减，,()0 xt时，()(0)0g xg，所以()()0f xx g x，这与0 x 是函数()f x的极大值点矛盾 综上，1a故选 B 方法二：依据极值的定义，要使0 x 是函数()f x的极大值点，须在0 x 的左侧附近，()0f x，即tan0axx；在0 x 的右侧附近，()0f x，即tan0axx易知，1a 时，yax与tanyx相切于原点，所以根据yax与tanyx的图象关系，可得1a，故选 B 10、C【答案解析】结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得BC边

17、长，由此求得AC边上的高.【题目详解】过B作BDCA，交CA的延长线于D.由于2cos3A，所以A为钝角，且25sin1cos3AA，所以sinsinsinCBACBAA C5321152sincoscossin32326ACAC.在三角形ABC中，由正弦定理得sinsinabAB，即152515236BC，所以2 5BC.在Rt BCD中有1sin2 552BDBCC，即AC边上的高为5.故选：C 【答案点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题.11、D【答案解析】设出,A B坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得AB，再由点到直线

18、的距离公式求得P到AB的距离，得到PAB的面积为S，作差后利用导数求最值【题目详解】设11,A x y，22,B x y，联立214ykxxy，得2440 xkx 则124xxk，21212242yyk xxk 则21244AByypk 由24xy，得24xy 12yx 设00,P x y，则012xk 02xk，20yk 则点P到直线1ykx的距离211dk 从而2212112SAB dkk 2223221141241SABkkkddd 令 3224f xxx 2681fxxx x 当413x时，0fx；当43x 时，0fx 故 min464327fxf，即SAB的最小值为6427 本题正确

19、选项：D【答案点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查利用导数求最值的问题解决圆锥曲线中的面积类最值问题，通常采用构造函数关系的方式，然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值.12、A【答案解析】根据题意求得参数，根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断.【题目详解】依题意，得35，故3log 5(1,2)，故3log 5101ea，33log 51b，3log 51log04c，则cab.故选：A.【答案点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查推理论证能力，属基础题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、14【答案解析】观察知各

20、等式右边各项的系数和为 1，最高次项的系数为该项次数的倒数，据此计算得到答案.【题目详解】根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为 1，最高次项的系数为该项次数的倒数，A16，A15212B1，解得 B112，所以 AB1116124 故答案为：14【答案点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力.14、【答案解析】利用交集定义直接求解【题目详解】解：集合|21,Ax xkkZ奇数，|2,Bx xk kZ偶数，AB 故答案为：【答案点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题 15、52【答案解析】根据流程图，运行程序即得.【题目详解】第一次运行

21、15S，1k；第二次运行15S，2k；第三次运行152S，3k；第四次运行532S；所以输出的 S 的值是52.故答案为：52【答案点睛】本题考查算法流程图，是基础题.16、充分必要【答案解析】根据充分条件和必要条件的定义可判断两者之间的条件关系.【题目详解】当38x 时，有2x，故“38x”是“2x”的充分条件.当2x 时，有38x，故“38x”是“2x”的必要条件.故“38x”是“2x”的充分必要条件，故答案为：充分必要.【答案点睛】本题考查充分必要条件的判断，可利用定义来判断，也可以根据两个条件构成命题及逆命题的真假来判断，还可以利用两个条件对应的集合的包含关系来判断，本题属于容易题.三

22、、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）4；（2）927 3.【答案解析】（1）利用余弦定理和二倍角的正弦公式，化简即可得出结果；（2）在ABC中，由余弦定理得63bAC，在BCD中结合正弦定理求出27sinBD，从而得出CD，即可得出2yADBD的解析式，最后结合斜率的几何意义，即可求出2ADBD的最小值.【题目详解】（1）222cos()sincosbcaBCbcCC，cos2cossincosAACC，由题知，ac，则AC ，则cos0A 2sincos1CC，sin21C，4C；（2）在ABC中，由余弦定理得2222coscababC，63bAC，设

23、3,4BDCA，其中3sin5A.在BCD中，sinsin4BDBC，27 2sinsin4BD，27sinBD，27 227(sincos)sin45sinsinCD，所以27(sincos)2 272cos263362727sinsinsinyADBD，2cos2cossin0sint，所以t的几何意义为(0,2),(sin,cos)两点连线斜率的相反数，数形结合可得2cos30sint，故2ADBD的最小值为927 3.【答案点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的实际应用，还涉及二倍角正弦公式和诱导公式，考查计算能力.18、（1）见解析（2）155【答案解析】（1）利用面面垂直的性质定理证得

24、CD 平面BPC，由此证得DCBP，根据圆的几何性质证得BPPC，由此证得BP 平面DCP.（2）判断出三棱锥DBPC的体积最大时P点的位置.建立空间直角坐标系，通过平面BPD和平面EPD的法向量，计算出二面角BPDE的余弦值.【题目详解】（1）证明：因为平面ABCD 平面,BPC ABCD是正方形，所以DC 平面BPC.因为BP 平面BPC，所以DCBP.因为点P在以BC为直径的半圆弧上，所以BPPC.又DCPCC，所以BP 平面DCP.（2）解：显然，当点P位于BC的中点时，BCP的面积最大，三棱锥DBPC的体积也最大.不妨设2BC，记AD中点为G，以E为原点，分别以,EB EP EG的方

25、向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，则(0,0,0),(1,0,0),(1,0,2),(0,1,0)EBDP，(2,0,2),(1,0,2),(1,1,2)BDEDPD 设平面BDP的法向量为111,mx y z，则11111220,20,BD mxzPD mxyz 令11x，得(1,1,1)m.设平面DEP的法向量为222,nxy z，则2222220,20,ED nxzPS nxyz 令22x，得(2,0,1)n，所以2 115cos,|535m nm nm n.由图可知，二面角BPDE为锐角，故二面角BPDE的余弦值为155.【答案点睛】本小题主要考查线面

26、垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19、（1）22211xy,24xy；（2）证明见解析.【答案解析】分析：（1）设的标准方程为22xpy，由题意可设2,Ea a结合中点坐标公式计算可得的标准方程为24xy半径1ra，则E的标准方程为22211xy （2）设l的斜率为k，则其方程为1yk x，由弦长公式可得2221kABk联立直线与抛物线的方程有2440 xkxk设1122,C x yD xy，利用韦达定理结合弦长公式可得2121CDkxx 2241kkk 则22222212=2kkkCDkkkAB即2CDAB 详解：（1）设的标准方程为22xpy，则0

27、,2pF 已知E在直线12yx上，故可设2,Ea a 因为,E F关于1,0M 对称，所以201,2202apa，解得1,2.ap 所以的标准方程为24xy 因为E与x轴相切，故半径1ra，所以E的标准方程为22211xy （2）设l的斜率为k，那么其方程为1yk x，则2,1E 到l的距离211kdk，所以2222 121kABdk 由24,1xyyk x消去y并整理得：2440 xkxk 设1122,C x yD xy，则12124,4xxk x xk，那么2121CDkxx 22121214kxxx x 2241kkk 所以2222222216+1212=281kkkkkkCDkkkkA

28、Bk 所以222CDAB，即2CDAB 点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式 20、（）3C；（）3 3(0,)4ABCS【答案解析】（）根据22coscosAB3sincos3sincosAABB，利用二倍角公式得到1cos21cos222AB33sin2sin222AB，再由辅助角公式得到sin 2sin 266AB，然后根据正弦函数的性质求解.（）根据（）由余弦定理得到223abab

29、，再利用重要不等式得到3ab，然后由1sin2ABCSabc求解.【题目详解】（）因为22coscosAB3sincos3sincosAABB，所以1cos21cos222AB33sin2sin222AB，3cos23cos2sin2sin22222ABAB，sin 2sin 266AB，2266AB或2266AB，AB或23AB，因为ab，所以23AB 所以3C；（）由余弦定理得：2222coscababC，所以2232ababab，所以3ab，当且仅当ab取等号，又因为ab，所以3ab，所以133 3sin(0,)244ABCSabcab【答案点睛】本题主要考查二倍角公式，辅助角公式以及余

30、弦定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21、（1）；（2）32或22【答案解析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算可得()sin()f xx223，利用正弦函数的周期性即可求解；（2）由（1）可求3sin(2)32A，结合范围52333A，可求A的值，由余弦定理可求c的值，进而根据三角形的面积公式即可求解【题目详解】（1）f xa b22sincos3(2cos1)xxx sin23cos2xx2sin(2)3x 最小正周期22T.（2）由（1）知 2sin 23fxx，2sin 233fAA 3sin 232A，又52A333 2A33或22A=33.解得3A或2A 当3A时，由余弦定

31、理得2222cosabcbcA 即 222312 1cos3 cc，解得=2c.此时113sin1 2sin2232 ABCSbcA.当2A时，由余弦定理得2222cosabcbcA.即 222312 1cos2cc ，解得=2c.此时112sin2 1 sin2222ABCSbcA.【答案点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算、正弦函数的周期性，考查余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于基础题 22、（1）2212xy；（2）详见解析.【答案解析】（1）由短轴长可知1b，设11(,)A x y，22(,)B xy，由设而不求法作差即可求得2

32、121221212yyxxbxxayy，将相应值代入即求得2a，椭圆方程可求；（2）考虑特殊位置，即直线l与x轴垂直时候，13OP 成立，当直线l斜率存在时，设出直线l方程ykxm，与椭圆联立，结合中点坐标公式，弦长公式，得到m与k的关系，将2|OM表示出来，结合基本不等式求最值，证明最后的结果【题目详解】解：（1）由已知，得1b 由22112222222211xyabxyab，两式相减，得 2121221212yyxxbxxayy 根据已知条件有，当12122xxyy 时，12121yyxx 2212ba，即2a 椭圆C的标准方程为2212xy（2）当直线l斜率不存在时，13OP ，不等式成

33、立.当直线l斜率存在时，设:l ykxm 由2222ykxmxy得222214220kxkmxm 2121222422,2121kmmxxx xkk，2216880km 2222222241,21 2121kmmkMOMmkkk 由22222 2121221kmABkk 化简，得2222122kmk 22222241212221kkOMkk 222412122kkk 令2411kt ，则 2443134tOMtttt 442 32 34 当且仅当3t 时取等号 42 331OM 1OPOM 3OP 当且仅当2314k时取等号 综上，3OP 【答案点睛】本题为直线与椭圆的综合应用，考查了椭圆方程的求法，点差法处理多未知量问题，能够利用一元二次方程的知识转化处理复杂的计算形式，要求学生计算能力过关，为较难题