2012高考真题分类汇编10：概率1598.pdf

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1、 1 2012 高考真题分类汇编：概率 1.【2012 高考真题辽宁理 10】在长为 12cm 的线段 AB上任取一点 C.现作一矩形，领边长分别等于线段 AC，CB的长，则该矩形面积小于 32cm2的概率为(A)16 (B)13 (C)23 (D)45【答案】C【解析】设线段 AC 的长为xcm，则线段 CB 的长为(12x)cm,那么矩形的面积为(12)xxcm2，由(12)32xx，解得48xx或。又012x，所以该矩形面积小于 32cm2的概率为23，故选 C【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算，以及分析问题的能力，属于中档题。2.【2012 高考真题湖北理

2、 8】如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆.在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A21 B112 C2 D1【答案】A【解析】令1OA，扇形 OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为1S，围成 OC 为2S，作对称轴 OD，则过 C 点。2S即为以 OA 为直径的 半 圆 面积 减 去三 角形OAC的面 积，82212121212122S。在扇形 OAD 中21S为扇形面第 8 题图 2 积减去三角形 OAC 面积和22S，1622811812221SS，4221SS，扇形OAB 面积41S，选 A.3.【2012 高考真题广东理

3、7】从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数为 0 的概率是 A.49 B.13 C.29 D.19【答案】D 【解析】法一：对于符合条件“个位数与十位数之和为奇数的两位数”分成两种类型：一是十位数是奇数，个位数是偶数，共有2555个，其中个位数为 0 的有 10,30,50,70,90共 5个；二是十位数是偶数，个位数是奇数，共有2054，所以9120255P故选 D 法二：设个位数与十位数分别为yx,，则12kyx，k1,2,3,4,5,6,7,8,9，所以yx,分别为一奇一偶，第一类x为奇数，y为偶数共有251515 CC个数；第二类x为偶数，y为奇数共有201514 CC

4、个数。两类共有 45 个数，其中个位是 0，十位数是奇数的两位有10,30,50,70,90 这 5 个数，所以其中个位数是 0 的概率是91455，选 D。4.【2012 高考真题福建理 6】如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P，则点 P恰好取自阴影部分的概率为 A.14 B.15 C.16 D.17【答案】.【解 析】根 据 定 积 分 的 几 何 意 义 可 知 阴 影 部 分 的 面 积61|)2132()(1022310 xxdxxxS，而正方形的面积为，所以点恰好取自阴影部分的概率为61故选 5.【2012 高考真题北京理 2】设不等式组20,20yx，表示平

5、面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 3（A）4 （B）22 （C）6 （D）44 【答案】D【解析】题目中2020yx表示的区域如图正方形所示，而动点 D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此4422241222P，故选 D。6.【2012 高考真题上海理 11】三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）。【答案】32【解析】三位同学从三个项目选其中两个项目有27232323CCC中，若有且仅有两人选择的项目完成相同，则有18122323CC

6、C，所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为322718。7.【2012 高考真题新课标理 15】某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 1 或元件 2正常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布2(1000,50)N，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 【答案】83【解析】三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N 得：三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为12p 超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率2131(1)4Pp 那么该部件的使用寿

7、命超过 1000 小时的概率为2138ppp.4 8.【2012高考江苏 6】（5 分）现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项，3为公比的等比数列，若从这 10 个数中随机抽取一个数，则它小于 8 的概率是 【答案】35。【考点】等比数列，概率。【解析】以1 为首项，3为公比的等比数列的 10 个数为 1，3，9，-27，其中有5 个负数，1 个正数 1 计 6 个数小于 8，从这 10 个数中随机抽取一个数，它小于 8 的概率是63=105。9.【2012高考真题四川理 17】(本小题满分 12 分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故

8、障的概率分别为110和p。（）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；（）设系统A在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望E。【答案】本题主要考查独立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查实际问题的数学建模能力，数据的分析处理能力和基本运算能力.【解析】10【2012 高考真题湖北理】（本小题满分 12 分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量 X（单位：mm）对工期的影响如下表：5 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量 X 小于 300，700，900 的概率分别为 0.3，0.7，0.9.求：（）工

9、期延误天数Y的均值与方差；（）在降水量 X 至少是300的条件下，工期延误不超过 6 天的概率.【答案】（）由已知条件和概率的加法公式有：(300)0.3,P X(300700)(700)(300)0.70.30.4PXP XP X，(700900)(900)(700)0.90.70.2PXP XP X.(900)1(900)10.90.1P XP X.所以Y的分布列为：于是，()00.320.460.2100.13E Y；2222()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8D Y.故工期延误天数Y的均值为 3，方差为9.8.（）由概率的加法公式，(300)1(300)

10、0.7P XP X，又(300900)(900)(300)0.90.30.6PXP XP X.由条件概率，得(6300)(900300)P YXP XX(300900)0.66(300)0.77PXP X.故在降水量 X 至少是300mm 的条件下，工期延误不超过 6 天的概率是67.11.【2012高考江苏 25】（10 分）设为随机变量，从棱长为 1 的正方体的 12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1 （1）求概率(0)P；（2）求的分布列，并求其数学期望()E【答案】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体 8 个顶点中的一个，

11、过任意 1 个顶点恰有 3 条棱，共有238C对相交棱。232128834(0)=6611CPC。（2）若两条棱平行，则它们的距离为 1 或2，其中距离为2的共有6 对，降水量 X 300X 300700X 700900X 900X 工期延误天数Y 0 2 6 10 Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 6 212661(2)=6611PC，416(1)=1(0)(2)=1=111111PPP。随机变量的分布列是：0 1 2()P 411 611 111 其数学期望6162()=12=111111E。【考点】概率分布、数学期望等基础知识。【解析】（1）求出两条棱相交时相交棱

12、的对数，即可由概率公式求得概率(0)P。（2）求出两条棱平行且距离为2的共有 6 对，即可求出(2)P，从而求出(1)P（两条棱平行且距离为 1 和两条棱异面），因此得到随机变量的分布列，求出其数学期望。12.【2012 高考真题广东理 17】（本小题满分 13 分）某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示，其中成绩分组区间是：40,5050,6060,7070,8080,9090,100 （1）求图中 x 的值；（2）从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人，该 2 人中成绩在 90 分以上（含 90 分）的人数记为，求得数学期望 【答案】本题是在概率与统计的交

13、汇处命题，考查了用样本估计总体等统计知识以及离散型随机变量的分布列及期望，考查学生应用数学知识解决实际问题的能力，难度中等。【解析】7 13.【2012 高考真题全国卷理 19】（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在 10 平前，一方连续发球 2 次后，对方再连续发球 2 次，依次轮换.每次发球，胜方得 1 分，负方得 0 分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得 1 分的概率为 0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球.（）求开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2 的概率；（）表示开始第 4 次发球时乙

14、的得分，求的期望.【答案】8 14.【2012 高考真题浙江理 19】(本小题满分 14 分)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球，且规定：取出一个白球的 2 分，取出一个黑球的 1 分现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3 个球，记随机变量 X 为取出 3 球所得分数之和()求 X 的分布列；()求 X 的数学期望 E(X)【答案】本题主要考察分布列，数学期望等知识点。()X 的可能取值有：3，4，5，6 35395(3)42CP XC；21543920(4)42C CP XC；12543915(5)42C CP XC；34392(6)42CP XC 故，所求 X 的分布列为 X

15、 3 4 5 6 P 542 20104221 1554214 214221 ()所求 X 的数学期望 E(X)为：E(X)645105191()34564221142121ii P Xi 15.【2012高考真题重庆理 17】（本小题满分 13 分，（）小问 5 分，（）小问 8 分.）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票.约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响.（）求甲获胜的概率；（）求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望 9【答案】16.【2012 高考真题江西理 29】（本题满分 1

16、2 分）如图，从 A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0，2，0），B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6 个点中随机选取 3 个点，将这 3 个点及原点 O 两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量 V（如果选取的 3 个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积 V=0）。（1）求 V=0 的概率；(2)求 V 的分布列及数学期望。【答案】10 【点评】本题考查组合数，随机变量的概率，离散型随机变量的分布列、期望等.高考中，概率解答题一般有两大方向的考查.一、以频率分布直方图为载体，考查统计学中常见的数据特征：如平均数，中位数，频数，频率等或

17、古典概型；二、以应用题为载体，考查条件概率，独立事件的概率，随机变量的期望与方差等.来年需要注意第一种方向的考查.17.【2012高考真题湖南理 17】本小题满分 12 分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量 1至 4件 5至 8件 9至 12件 13 至 16件 17 件及以上 顾客数（人）x 30 25 y 10 结算时间（分钟/人）1 1.5 2 2.5 3 已知这 100位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55.（）确定 x，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；（）若

18、某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.（注：将频率视为概率）【答案】（1）由已知,得251055,35,yxy所以15,20.xy 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的 100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得 153303251(1),(1.5),(2),10020100101004p Xp Xp X 201101(2.5),(3).100510010p Xp X X的分布为 X 1 1.5 2 2.5 3 P 320 310 14 15 110 X 的数学

19、期望为 11 33111()11.522.531.920104510E X.（）记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5分钟”，(1,2)iXi 为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则 121212()(11)(11.5)(1.51)P AP XXP XXP XX且且且.由于顾客的结算相互独立，且12,XX的分布列都与 X 的分布列相同，所以 121212()(1)1)(1)(1.5)(1.5)(1)P AP XP XP XP XP XP X(333333920202010102080.故该顾客结算前的等候时间不超过 2.5分钟的概率为980.【解析】【点评】本题考查概率统计的基础知

20、识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和 100位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55知 251010055%,35,yxy从而解得,x y，计算每一个变量对应的概率，从而求得分布列和期望；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得 该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.18.【2012 高考真题安徽理 17】（本小题满分 12 分）某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作

21、结束。试题库中现共有nm道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类试题的数量。（）求2Xn的概率；（）设mn，求X的分布列和均值（数学期望）。【答案】本题考查基本事件概率、条件概率，离散型随机变量及其分布列，均值等基础知识，考查分类讨论思想和应用于创新意识。【解析】（I）2Xn表示两次调题均为A类型试题，概率为12nnmnmn（）mn时，每次调用的是A类型试题的概率为12p，随机变量X可取,1,2n nn 21()(1)4P Xnp，1(1)2(1)2P Xnpp，21(2)4P Xnp X n 1n 2n P 14 12 14 12 111(1)(

22、2)1424EXnnnn。答：（）2Xn的概率为12nnmnmn，（）求X的均值为1n。19.【2012 高考真题新课标理 18】（本小题满分 12 分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，nN）的函数解析式.（2）花店记录了 100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以 100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（

23、ii）若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？请说明理由.【答案】（1）当16n 时，16(105)80y 当15n 时，55(16)1080ynnn 得：1080(15)()80(16)nnynNn （2）（i）X可取60，70，80 (60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P XP XP X X的分布列为 X 60 70 80 P 0.1 0.2 0.7 600.1700.2800.776EX 222160.160.240.744DX （ii）购进 17 枝时，当天的利润为(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.1617

24、50.5476.4y 76.476 得：应购进 17 枝 20.【2012 高考真题山东理 19】（19）（本小题满分 12 分）13 先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得 1 分，没有命中得0 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23,每命中一次得 2 分，没有命中得 0 分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.（）求该射手恰好命中一次得的概率；（）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.【答案】14 15 21.【2012 高考真题福建理 16】（本小题满分 13 分）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次

25、出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为 2 年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取 50 辆，统计书数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；(II)若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为 X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为 X2，分别求 X1，X2的分布列；（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由.【答案】16 22.【2012 高考真题北京理 17】（本小题共

26、 13 分）近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60（）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（）试估计生活垃圾投放错误额概率；（）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为cba,其中 a0，cba=600。当数据cba,的方差2s最大时，写出cba

27、,的值（结论不要求证明），并求此时2s的值。（注：)()()(1222212xxxxxxnsn，其中x为数据nxxx,21的平均数）解：（）由题意可知：4002=6003。（）由题意可知：200+60+403=100010。（）由题意可知：22221(120000)3sabc，因此有当600a，0b，0c 时，有280000s23.【2012高考真题陕西理 20】（本小题满分 13 分）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：17 从第一个顾客开始办理业务时计时。（1）估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务

28、的概率；（2）X表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望。【答案】18 24.【2012 高考真题天津理 16】（本小题满分 13 分）现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏.（）求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率；（）求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；用 X，Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记YX，求随机变量的分布列与数学期望E.【答案】19